數(shù)學(xué)建模思想在高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的應(yīng)用

摘要：數(shù)學(xué)建模思想是當(dāng)前比較熱門的一種數(shù)學(xué)教學(xué)研究思想，在各階段都有較高的滲透和使用效益.從根本上來講，數(shù)學(xué)分為代數(shù)和幾何，數(shù)學(xué)本身就是一種數(shù)字創(chuàng)建模型的一門學(xué)科，數(shù)字是表述，模型是直觀形象.對(duì)于高中數(shù)學(xué)來說，已經(jīng)較少出現(xiàn)單純的生活類應(yīng)用題，更多的是當(dāng)前更加抽象的前沿科學(xué)方面的數(shù)學(xué)應(yīng)用，因此數(shù)學(xué)建模思想在應(yīng)用類數(shù)學(xué)上較多出現(xiàn)，在數(shù)學(xué)概念方面研究較少，本文筆者就數(shù)學(xué)建模思想在高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的應(yīng)用作一簡(jiǎn)要探析.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)建模思想;概念教學(xué);應(yīng)用研究

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2022）15-0026-03

收稿日期：2022-02-25

作者簡(jiǎn)介：劉娜娜（1979.12-），女，福州省閩清人，本科，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

數(shù)學(xué)建模思想強(qiáng)調(diào)將抽象的數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)化為直觀的數(shù)學(xué)模型，比如高中數(shù)學(xué)最為常見的函數(shù)，就是把數(shù)學(xué)算式通過二元坐標(biāo)軸進(jìn)行直觀展現(xiàn)，進(jìn)而通過直觀的圖形讓學(xué)生更容易理解函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)于學(xué)生深度理解函數(shù)有著較強(qiáng)的輔助功能.但是以上所言皆是數(shù)學(xué)教材中直接給出的，對(duì)于滲透數(shù)學(xué)建模思想有著一定作用，對(duì)于讓學(xué)生深度理解數(shù)學(xué)概念作用較小，為使數(shù)學(xué)建模思想更加深入的運(yùn)用到數(shù)學(xué)概念教學(xué)上，還需要一定的技巧和方法.

1 數(shù)學(xué)建模思想的概念和基本性質(zhì)

從本質(zhì)上講，模型是結(jié)構(gòu)的一種形式，是基于對(duì)原型的形象化或抽象與模擬而獲得的一個(gè)相似反映，這樣的反映是確切的、精準(zhǔn)的，而不是失真的，比如建筑模型和地球儀等.數(shù)學(xué)模型則是符號(hào)類型的重要體現(xiàn)，是著眼于特殊目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)而基于部分現(xiàn)實(shí)世界所進(jìn)行的簡(jiǎn)化的、抽象化的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，而數(shù)學(xué)模型建立的過程就是數(shù)學(xué)建模，其需要以實(shí)際問題為依托進(jìn)行充分的簡(jiǎn)化和抽象，對(duì)參數(shù)和變量進(jìn)行確定，并且強(qiáng)化某些規(guī)律和方法的應(yīng)用，將參數(shù)與變量之間所確定的數(shù)學(xué)問題建立起來，并對(duì)這一數(shù)學(xué)問題進(jìn)行求解，對(duì)所得到的解進(jìn)行驗(yàn)證和解析，這樣就能夠進(jìn)一步確定模型是否能夠運(yùn)用于實(shí)際問題的解決之中，在不斷深化、反復(fù)循環(huán)、多次嘗試之中使之更加精準(zhǔn)精確.基于此，在正規(guī)與非正規(guī)以及顯示的數(shù)學(xué)系統(tǒng)之間，數(shù)學(xué)模型扮演著紐帶和橋梁的角色，這能夠?yàn)楦鱾€(gè)領(lǐng)域數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用提供有效的手段與支撐.數(shù)學(xué)模型也是數(shù)學(xué)思想方法的重要內(nèi)容，能夠幫助和引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行綜合、靈活地運(yùn)用，從而更好地進(jìn)行現(xiàn)實(shí)生活中問題的處理與解決，排列組合模型、集合模型、不等式和方程模型、三角函數(shù)模型、數(shù)列模型、函數(shù)模型等都是極為常見的數(shù)學(xué)模型形式.數(shù)學(xué)建模思想不是單純的數(shù)學(xué)計(jì)算，要明確數(shù)學(xué)建模是一項(xiàng)活動(dòng)或是一項(xiàng)行動(dòng)，是對(duì)抽象的數(shù)學(xué)語言的直觀化、形象化創(chuàng)造.因此，使用數(shù)學(xué)建模思想，要讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中具備創(chuàng)新思維、創(chuàng)造思維，敢于想象，并勇于將想象轉(zhuǎn)化為圖形等可以直觀看到的事物.

2數(shù)學(xué)建模思想在高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的重要作用數(shù)學(xué)建模思想不僅在數(shù)學(xué)應(yīng)用中有著重要作用，可以直觀體現(xiàn)數(shù)學(xué)語言表達(dá)的內(nèi)容，使學(xué)生在求解的過程變得容易掌握和理解，同時(shí)在數(shù)學(xué)概念中也有著較強(qiáng)的應(yīng)用價(jià)值.眾所周知，高中數(shù)學(xué)概念十分抽象，學(xué)生能夠理解全憑腦海中的畫面，否則學(xué)生理解起來很困難.而數(shù)學(xué)建模思想就是將抽象的數(shù)學(xué)語言，創(chuàng)作為可以直觀展現(xiàn)的圖形的過程，因此數(shù)學(xué)建模思想能夠有效幫助學(xué)生理解高中數(shù)學(xué)概念，為更深的數(shù)學(xué)應(yīng)用打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).除此之外，高中數(shù)學(xué)教學(xué)之中建模思想的應(yīng)用能夠強(qiáng)化學(xué)生學(xué)習(xí)熱情和探究興趣的激引，帶動(dòng)學(xué)生協(xié)作互助能力的培養(yǎng)，還能夠?qū)崿F(xiàn)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)，促進(jìn)高中生日常生活中數(shù)學(xué)問題解決能力的提升，將數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值淋漓盡致地展現(xiàn)出來，借助建模思想的訓(xùn)練和有效性滲透能夠進(jìn)一步推送素質(zhì)教育的落地落實(shí).

3 數(shù)學(xué)建模思想在高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的應(yīng)用研究強(qiáng)化數(shù)學(xué)建模思想在高中數(shù)學(xué)概念中的應(yīng)用，要先讓學(xué)生加深對(duì)數(shù)學(xué)建模思想概念的理解，在此基礎(chǔ)上經(jīng)常性強(qiáng)化學(xué)生建模能力，使學(xué)生看到抽象的事物能夠立即做出創(chuàng)造相應(yīng)模型的思維方式，通過高中數(shù)學(xué)基本概念中的數(shù)學(xué)建模思想應(yīng)用，將數(shù)學(xué)建模思想滲透到學(xué)生的整個(gè)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)全過程.

3.1 強(qiáng)化數(shù)學(xué)建模思想的概念理解

對(duì)于高中數(shù)學(xué)來講，基于數(shù)學(xué)建模的最基本理解就是通過平常學(xué)習(xí)的基本數(shù)學(xué)理論知識(shí)，建立起與之對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，從而解決這個(gè)數(shù)學(xué)問題，其基本過程是對(duì)生活或教材中相對(duì)抽象的問題進(jìn)行解決的過程.強(qiáng)化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模思想基本概念的理解，要注重從三個(gè)方面加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的培養(yǎng)、實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生的引導(dǎo).一是注重培養(yǎng)學(xué)生對(duì)周圍事物的觀察能力，比如學(xué)?；蛏钪械膰姽嘣O(shè)備，水從一點(diǎn)噴射而出到另一點(diǎn)落下，即是一類數(shù)學(xué)概念的模型;二是鼓勵(lì)學(xué)生勇敢地進(jìn)行問題的提出，這樣才能夠讓學(xué)生大膽、勇敢地進(jìn)行創(chuàng)作，從而培養(yǎng)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型的思維方式;三是注重讓學(xué)生充分想象和聯(lián)想，數(shù)學(xué)建模的過程首先就是聯(lián)想的過程，要注重培養(yǎng)學(xué)生的聯(lián)想能力，讓學(xué)生以自身已有的知識(shí)基礎(chǔ)、經(jīng)驗(yàn)?zāi)芰?shù)學(xué)基礎(chǔ)性理論、概念、原理、定理等同所要解決的具體問題之間建立起某種有效的聯(lián)系.

3.2 強(qiáng)化高中數(shù)學(xué)概念的有效提純

從數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)看，其從思維形式上對(duì)數(shù)學(xué)關(guān)系本質(zhì)屬性與現(xiàn)實(shí)世界空間形式之間的關(guān)系進(jìn)行了集中揭示，而核心的構(gòu)成要素就是內(nèi)涵與外延.從內(nèi)涵上看，數(shù)學(xué)概念是基于數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)屬性總和的反映，而從外延上看，則是基于數(shù)學(xué)概念的全體對(duì)象的反映.這樣的基于數(shù)學(xué)概念內(nèi)涵與外延本質(zhì)的揭示能夠?qū)崿F(xiàn)學(xué)生概念理解的奢華.比如，正弦函數(shù)的概念可以表述為sinα=y：r，但這樣僅僅對(duì)正弦函數(shù)的值本質(zhì)上為一個(gè)比值進(jìn)行了揭示，其更是終邊上任一點(diǎn)的縱坐標(biāo)y與這一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離r的比值，特別是y小于等于r，這樣也就使得sinα的值小于等于1.這樣的比值同角的終邊上點(diǎn)的位置是沒有關(guān)系的.這樣的將基本線索聚焦到函數(shù)上、從中進(jìn)行自變量、函數(shù)值以及對(duì)應(yīng)的法則的找尋，就能夠深化對(duì)正弦函數(shù)概念的深度理解與把握.在內(nèi)涵分析的基礎(chǔ)上，角的終邊上的任意一點(diǎn)P（x，y）一旦確定之后，那么就會(huì)對(duì)x、y、r的量產(chǎn)生影響，從三個(gè)量中任意選取兩個(gè)進(jìn)行比值的組成，那么就必然會(huì)有6個(gè)，這6個(gè)則是基本的函數(shù)，這樣就能夠進(jìn)一步理清和解釋三角函數(shù)的外延.

3.3 初步滲透高中數(shù)學(xué)思想概念.

高中數(shù)學(xué)中絕大部分的概念都是抽象的、晦澀的，是學(xué)生實(shí)際生活中接觸相對(duì)較少的，諸如雙曲線、復(fù)數(shù)等.在高中數(shù)學(xué)概念的講授過程中，教師要注重對(duì)于概念的解讀和闡釋，以最簡(jiǎn)單的“三角函數(shù)”的概念為例，在講解“三角函數(shù)”的概念時(shí)，教師首先可以從學(xué)生初中階段的認(rèn)識(shí)和印象進(jìn)行切入，單純地介紹什么是三角函數(shù)，以及三角函數(shù)的基本意義，此時(shí)學(xué)生的理解并不深刻，但是已經(jīng)給學(xué)生滲透了關(guān)于三角函數(shù)的概念、定義等.注意，雖然當(dāng)前教材直接從圖形開始逐步探究，但結(jié)合學(xué)生對(duì)于函數(shù)的理解能力，首先要讓學(xué)生從定義（對(duì)應(yīng)關(guān)系）上進(jìn)行一定的理解，不要直接給學(xué)生通過圖形進(jìn)行表述，這樣就能夠讓數(shù)學(xué)概念的教學(xué)更好地向本質(zhì)回歸，讓學(xué)生所獲的認(rèn)知、理解是最基礎(chǔ)、最深刻、最系統(tǒng)、最精準(zhǔn)的.

3.4 形成高中數(shù)學(xué)概念建模思維

在經(jīng)過基本概念的滲透后，要鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)建模思想對(duì)新學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)概念進(jìn)行直觀創(chuàng)造，創(chuàng)造的過程中學(xué)生往往能夠自動(dòng)加深對(duì)這一數(shù)學(xué)概念的理解，從而在潛移默化之中打好高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本功.具體過程還是以“三角函數(shù)”為例，在有了上面的“三角函數(shù)”的基本概念后，教師可以充分鼓勵(lì)學(xué)生通過自己的創(chuàng)作“畫”出不同X所對(duì)應(yīng)的Y值，這樣的畫法學(xué)生大多在平面直角坐標(biāo)系中進(jìn)行表示，但形式和方法不一，說明學(xué)生對(duì)于三角函數(shù)的概念已經(jīng)有了進(jìn)一步的理解，但還不夠深刻.此時(shí)，付諸于教材中在圓內(nèi)關(guān)于點(diǎn)坐標(biāo)的畫法，那么學(xué)生在有了前期自己探索的基礎(chǔ)上，對(duì)于三角函數(shù)通過圓上的點(diǎn)表示的方法，就能夠理解得更加深刻，也明白了三角函數(shù)的概念，整個(gè)過程是順暢而又自然的.

3.5 強(qiáng)化高中數(shù)學(xué)概念建模思維應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)過程完畢后，著眼于繼續(xù)深化學(xué)生對(duì)高中數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識(shí)，無論是教材還是習(xí)題中，都需要強(qiáng)調(diào)概念的應(yīng)用，教師要最大限度地使之貫穿和滲透到全過程、各方面.而高中數(shù)學(xué)概念的應(yīng)用與高中數(shù)學(xué)建模思維同樣是互為補(bǔ)助、相互增長的過程，因此在高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中應(yīng)用數(shù)學(xué)建模思想，必須在高中數(shù)學(xué)應(yīng)用上鼓勵(lì)學(xué)生盡可能多地運(yùn)用數(shù)學(xué)建模思維方式，當(dāng)然這一點(diǎn)與當(dāng)前高中數(shù)學(xué)中的大部分知識(shí)是非常吻合、高度一致的.以三角函數(shù)為例，前文談到學(xué)生已經(jīng)深刻的理解了三角函數(shù)的概念，那么對(duì)于三角函數(shù)的應(yīng)用同樣需要放在實(shí)際的建模之上.比如，三角函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，就是首先根據(jù)實(shí)際問題建立相對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)模型，根據(jù)數(shù)學(xué)模型中的數(shù)據(jù)，通過三角函數(shù)的求解方式等，得出最后的結(jié)論.

新課程改革全面實(shí)施的背景下，倡導(dǎo)和要求教師要更加注重理解能力和實(shí)際應(yīng)用解決問題的能力.建立數(shù)學(xué)模型，不僅可以讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)建模思想，而且能夠有效幫助學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)概念等基本理論知識(shí)，使得學(xué)生在數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，化抽象的理論知識(shí)為可觀察的直觀知識(shí)，從而達(dá)到樂學(xué)、深學(xué)的目的.

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