如何利用全等變換構(gòu)造全等三角形

孔雪蓮

我們知道，兩個全等三角形的形狀相同，大小相等.因此，把全等三角形中的一個圖形通過不同的方式變換位置，一定能與另一個圖形重合，那么只要掌握了這些變換位置的基本規(guī)律，我們在解與全等三角形有關(guān)的題目時就會思路更清晰.下面介紹利用幾何的全等變換構(gòu)造出全等三角形的幾種類型.

一、構(gòu)造軸對稱型全等三角形

把一個三角形沿著某條直線翻折180°，如果它能夠與另一個三角形重合，那么這兩個三角形就叫做軸對稱型全等三角形.在證明題目時，通過軸對稱變換可以把不是軸對稱的圖形添補為軸對稱圖形;或?qū)ΨQ軸一側(cè)的圖形通過對稱變換反射到另一側(cè)，以實現(xiàn)條件的相對集中，便于解題.一般有下列條件時可構(gòu)造軸對稱型全等三角形：相等線段或相等角關(guān)于某直線對稱;有公共角;有對頂角;有角平分線或垂直平分線.

例1如圖1，在等腰直角△ABC中，∠BAC= 90°，D為其內(nèi)部一點，且∠ABD= 30°，BD= BA.求證：AD= CD.

二、構(gòu)造平移型全等三角形

將一個三角形按照某條直線的方向移動一定的距離，可得到與之全等的三角形，這種全等三角形稱為平移型全等三角形.平移是一種只改變圖形的位置而不改變圖形大小及形狀的變換，其實質(zhì)是構(gòu)造了有特殊位置關(guān)系的全等三角形，通過平移變換可以把某些相對分散的條件集中起來，幫助解題.平移型全等三角形的特點是對應(yīng)邊平行且相等（或在同一直線上），對應(yīng)角是同位角.

三、構(gòu)造旋轉(zhuǎn)型全等三角形

把一個三角形繞著某點旋轉(zhuǎn)，得到的三角形與原三角形是一對旋轉(zhuǎn)型全等三角形，與平移變換一樣，旋轉(zhuǎn)變換的主要作用也是集中問題的已知條件，挖掘已知條件與結(jié)論的內(nèi)在聯(lián)系，簡化解題過程.在等腰三角形、等邊三角形及正方形等圖形中，常構(gòu)造旋轉(zhuǎn)型全等三角形，旋轉(zhuǎn)時要注意確定旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向及旋轉(zhuǎn)角度的大小，

四、構(gòu)造中心對稱型全等三角形

一個三角形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°，得到的三角形與原三角形是一對中心對稱型全等三角形.它的特點是對應(yīng)邊平行且相等或在同一直線上，當(dāng)圖形中有線段的中點時，常選擇相關(guān)圖形繞此中點旋轉(zhuǎn)180°構(gòu)造中心對稱型圖形，解題時也可通過將基本圖形不完整部分補完整，或過端點作平行線，或延長線段為原來的2倍來構(gòu)造中心對稱型全等三角形.

平移、旋轉(zhuǎn)、中心對稱、軸對稱是研究全等三角形的有效工具.運用上述全等變換的方法構(gòu)造全等三角形，思路清晰明了，能幫助我們迅速找到解題的突破口.同學(xué)們要掌握全等變換的方法，靈活遷移運用，通過構(gòu)造出全等三角形使問題得以快速、有效地解答.