張宏敏
【摘要】構(gòu)造法是指通過問題的特殊性構(gòu)造出一個(gè)新的關(guān)系結(jié)構(gòu)來解決原有問題的方法.本文主要從等價(jià)轉(zhuǎn)換、特殊結(jié)構(gòu)、反向思考、充分、必要條件、特殊到一般、局部到整體六個(gè)思考角度對如何利用構(gòu)造法分析和思考問題進(jìn)行論述,以便幫助學(xué)生更好的應(yīng)用構(gòu)造法解題.
【關(guān)鍵詞】構(gòu)造法;中學(xué)數(shù)學(xué);解題策略
構(gòu)造法解題是指當(dāng)按固有思維難以快速有效解決問題時(shí),嘗試結(jié)合已知條件、性質(zhì)等,選擇一定的數(shù)學(xué)對象去構(gòu)造新的數(shù)學(xué)載體,從而解決問題的分析方法.構(gòu)造法作為數(shù)學(xué)一種常用的數(shù)學(xué)方法,主要體現(xiàn)了創(chuàng)造性思維在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.因?yàn)楸粯?gòu)造的對象比較多樣化,通常為數(shù)、式、函數(shù)、方程、數(shù)列、復(fù)數(shù)、幾何變換、數(shù)學(xué)模型等內(nèi)容.因此,在應(yīng)用構(gòu)造法解題過程中,并沒有固定的解題模式.但因構(gòu)造法具有一定的廣泛性與普遍性,所以可以根據(jù)具體實(shí)際問題的不同特點(diǎn)和需要制定不同的解決策略[].本文主要從等價(jià)轉(zhuǎn)換、特殊結(jié)構(gòu)、反向思考、充分、必要條件、特殊到一般、局部到整體六個(gè)思考角度對構(gòu)造法解題策略進(jìn)行說明.
1 等價(jià)轉(zhuǎn)換
構(gòu)造等價(jià)轉(zhuǎn)換是指在應(yīng)用常規(guī)解法難以解決問題時(shí),通過題目中的已知信息,分析函數(shù)、解析幾何、向量等知識的相關(guān)性,將原問題巧妙地等價(jià)轉(zhuǎn)化為容易處理的新問題,即由一種處理方式轉(zhuǎn)換為另一種處理方式,從而使問題得以解決.
例已知a、b為正數(shù),a+b=12,那么a2+4+b2+9的最小值是多少?
分析 此題若直接采用代入法解決問題,則需計(jì)算不等式最值,計(jì)算量較大.因?yàn)閍2+4+b2+9中根號里均為兩個(gè)數(shù)字的平方和,所以,可以使用構(gòu)造法將a2+4+b2+9中的平方和轉(zhuǎn)化求線段長度,并利用勾股定理來解決此題.
解 如下圖,作線段AB,使AB=a+b,構(gòu)造RtΔAED和RtΔBEC,以AB、AD為鄰邊構(gòu)造矩形ABFD.
設(shè)AD=2,BC=3,AE=a,BE=b,則DE=a2+4,CE=b2+9,所以a2+4+b2+9的最小值就是CD的長,當(dāng)點(diǎn)C、E、D三點(diǎn)共線時(shí),即ΔDCF為直角三角形時(shí),CD長度最短,CD=CF2+DF2=13,所以a2+4+b2+9的最小值為13.
2 特殊結(jié)構(gòu)
構(gòu)造特殊結(jié)構(gòu)是指通過觀察、歸納、類比將題目中的已知信息轉(zhuǎn)化為常見的特殊結(jié)構(gòu),從而可以利用這些特殊結(jié)構(gòu)的性質(zhì)嘗試尋找到問題之間的連接點(diǎn),將問題轉(zhuǎn)化為可以解決的問題.如根據(jù)所要解決問題形式和結(jié)構(gòu)特征,構(gòu)造出合適的函數(shù),再從函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、有界性等方面加以分析,求解問題.
例 已知為b為正實(shí)數(shù),證明b+4b+1b+4b≥174.
分析 本題若要直接證明沒有明確思路,但通過觀察可以看出題目形式類似于對勾函數(shù),由此可設(shè)b+4b=x,即可構(gòu)造特征函數(shù)f(x)=x+1x,從而進(jìn)行證明.
證明 可設(shè)b+4b=x,由于b為正實(shí)數(shù),可得x=b+4b≥2b·4b=4,由函數(shù)f(x)=x+1x,即可證明b+4b+1b+4b≥174.
3 反向思考
反向構(gòu)造是指在解題過程中,當(dāng)從正向按部就班考慮難以索解或沒有明確的方向時(shí),此時(shí)要考慮從反向思考,推導(dǎo)出滿足結(jié)論的條件,構(gòu)造這個(gè)條件去求解問題[2].這種處理方式也是我們經(jīng)常用到的“正難則反、反正結(jié)合”的思考方式.反向思考即構(gòu)造滿足題目條件,但不滿足題目結(jié)論的例子,以此來證明所構(gòu)造條件的錯(cuò)誤.在構(gòu)造反例時(shí)要注意反例的正確、簡單、全面[3].
例 設(shè)函數(shù)f(x)=x2+x-a+1,x∈R,討論f(x)的奇偶性.
分析 此題要判斷f(x)的奇偶性,只要找到x0在定義域內(nèi)使f(-x0)≠f(x0)且f(-x0)≠-f(x0),在此題中,當(dāng)x0=a時(shí),與題目矛盾.
解 當(dāng)a=0時(shí),f(x)=x2+x-a+1是偶函數(shù).當(dāng)a≠0,f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2a+1,-f(a)=-a2-1.此時(shí)f(-a)≠f(a),否則a=0,f(-a)≠-f(a),否則a2+a+1=0,所以fx既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).
4 充分、必要條件
從充分、必要條件進(jìn)行構(gòu)造通常通過研究已知條件的性質(zhì),試圖從這些性質(zhì)的某種組合出發(fā),挖掘條件背后的隱含意思,去尋找一個(gè)可行的構(gòu)造.這種構(gòu)造能夠幫助我們理解問題,并通過相關(guān)的數(shù)學(xué)知識將問題轉(zhuǎn)化為已有的認(rèn)識,進(jìn)行求解.
4.1 考慮充分條件
考慮充分條件是在當(dāng)孤立的題設(shè)條件無法找到解題思路時(shí),構(gòu)造一個(gè)使題設(shè)條件成立的充分條件,用此條件替代原條件放入題中[],從而將問題的思路放寬放,找到解決問題的思路并求解.
例 設(shè)f(x)、h(x)是定義在R上的函數(shù),且h(x)=f(x)f(x+1),判斷h(x)是否可能為偶函數(shù),且不為常值函數(shù)?
分析 可以構(gòu)造一個(gè)使h(x)為偶函數(shù)的一個(gè)充分條件,判斷f(x)是否存在滿足這個(gè)條件的情況.
解 若f(x)滿足f(-x)=f(x),f(-x+1)=f(x+1)(x∈R)
則有h-x=f-xf-x+1=fxfx+1=hx.
已知fx=cosπx滿足f(-x)=f(x),f(-x+1)=f(x+1)(x∈R)
此時(shí)hx符合題目要求.故h(x)可能為偶函數(shù),且不為常值函數(shù).
4.2 考慮必要條件
考慮必要條件是指在從條件著手思考,考慮滿足問題中條件必要條件,構(gòu)造這種條件,即假定所需對象已被構(gòu)造出,用此條件來解決問題.
例 若f(x)=4x-2x+1,(x≥0),求f-1(0).
分析對于此類為題,通常先判斷原函數(shù)是否有反函數(shù),如果有,計(jì)算出反函數(shù)在求解,但解題過比較復(fù)雜.對于此題可以先不求出反函數(shù),而是利用原函數(shù)同反函數(shù)之間的關(guān)系求解,求f-10,也就等同于求fx=0時(shí)x的值.
解當(dāng)fx=0時(shí),4x-2x+1=0,解得x=1,所以f-10=1
5 局部到整體
從局部到整體進(jìn)行構(gòu)造是指按某種程序逐步確定所需對象,將問題分解為多個(gè)層次,細(xì)化問題,先分成多個(gè)局部作構(gòu)造,再進(jìn)行合成,從而解決整個(gè)問題,此種思考方式主要應(yīng)用于函數(shù)問題中.在處理此類問題的過程中要注意分解形式要符合題目要求.對于復(fù)雜的函數(shù)問題,可以先將部分問題看作一個(gè)整體,以此來簡單一部分題設(shè)的之間的關(guān)系.也可以通過對一些不存在或者無法考慮的關(guān)系式進(jìn)行構(gòu)造,使之所要表的關(guān)系在數(shù)學(xué)題目中進(jìn)行了詮釋,化簡整個(gè)過程.
例求證:x+y1+x+y≤x+y1+x+y.
分析 觀察題目可知,這是一個(gè)多層函數(shù),且2個(gè)分式的結(jié)構(gòu)相似,由
此我們逐層對此題進(jìn)行分析,先構(gòu)造函數(shù)fx=x1+x,再在此基礎(chǔ)上利用函數(shù)單調(diào)性來證明該不等式,從而解決問題.
解 構(gòu)造函數(shù)fx=x1+x,x≥0,則f′x=1+x-x1+x2=11+x2,
所以fx在x≥0上單調(diào)遞增,令x1=x+y,x2=x+y,
又因?yàn)?≤x1=x+y≤x+y=x2,所以fx1≤fx2,
即x+y1+x+y≤x+y1+x+y.
6 特殊到一般
特殊與一般是兩種相輔相成的方法,從特殊到一般是指將特殊條件歸為共同的、通常的問題,從而進(jìn)行一般化的分析與處理[].將特殊構(gòu)造一般化是指在處理具體化的問題時(shí)將條件進(jìn)行一般化處理,尋找條件中共同的源頭,構(gòu)造出所體現(xiàn)的共同結(jié)構(gòu),從而運(yùn)用這種結(jié)構(gòu)的性質(zhì)來解決問題.
例 比較10041005與10051004的大小
分析 本題如果直接計(jì)算,運(yùn)算量大,且發(fā)現(xiàn)兩個(gè)兩個(gè)數(shù)均為冪函數(shù)形式,因此先構(gòu)造nn+1與n+1n,比較nn+1與n+1n的大小,等價(jià)于比較n1n與n+11n+1的大小,構(gòu)造y=n1n即可求解.
解 令y=n1n,則lny=1nlnn兩邊求導(dǎo),得到y(tǒng)=1-lnnn2得:y′=n1nn21-lnn.
當(dāng)0
所以100411004大于100511005,故10041005大于10051004.
7 結(jié)束語
構(gòu)造法通常是通過觀察和分析來發(fā)現(xiàn)問題中不同部分之間的聯(lián)系,并對其進(jìn)行構(gòu)造來解決問題,因此在進(jìn)行構(gòu)造的過程中要遵循以下原則:直觀性原則、相似性原則、等價(jià)性原則,簡潔性原則.直觀性原則是指所構(gòu)造的對象能夠?qū)l件和結(jié)論之間的關(guān)系清晰而具體的表現(xiàn)出來,使整個(gè)題目的解題思路變的明確.相似性原則是指發(fā)揮聯(lián)想作用,通過分析題目中信息與所學(xué)習(xí)過的何種知識之間的聯(lián)系,尋找他們之間的相關(guān)性和相似性,通過這種性質(zhì)進(jìn)行構(gòu)造.等價(jià)性原則是指在進(jìn)行構(gòu)造時(shí),所構(gòu)造對象的滿足條件,限制范圍等是一樣的,或者說兩種表示方式反映的是同一事實(shí).簡潔性原則是在應(yīng)用構(gòu)造法時(shí)能夠簡化問題,將復(fù)雜的題目簡化,如果進(jìn)行構(gòu)造反而使問題變得復(fù)雜,則失去了構(gòu)造的意義.
本文通過分析從等價(jià)轉(zhuǎn)換、特殊結(jié)構(gòu)、反向思考、充分、必要條件、特殊到一般、局部到整體六個(gè)思考角度對構(gòu)造法進(jìn)行分析,可知構(gòu)造法是解答數(shù)學(xué)問題的一種重要方法.在利用構(gòu)造法解題也要遵循以下步驟:題目是否可以使用構(gòu)造法求解,明確解構(gòu)造法根本目的;其次需要我們首先掌握數(shù)學(xué)問題的特征,以此為依據(jù)明確解題方案,最終迅速、準(zhǔn)確的完成解題.運(yùn)用構(gòu)造法解題,不僅能提升解題的效率,還有助于培養(yǎng)學(xué)們的創(chuàng)造性思維能力和發(fā)散性思維能力.