初中二次函數題目解題策略分析

和蕓

【摘要】熟練掌握二次函數的相關知識對于學生取得好的數學成績而言至關重要，通過對學生的學習情況進行分析發(fā)現，無論是在面對單一的函數題，還是在面對復雜的綜合題時，學生都存在一定的問題，沒有完整的解題策略，因此，深入探究二次函數的解題策略，對于學生學習成績的提升具有十分重要的意義.

【關鍵詞】二次函數學;解題策略;數學能力

1 數形結合法

數形結合即是將題目中所給出的內容轉化為簡單的圖形，將數字與圖形進行有機地結合，從而減輕解題的難度.同時，數形結合法也是在面對復雜題目時最為常用的方法，因此學生應當積極練習.

例1如圖1所示，拋物線F：y=ax2+bx+c（c>0），與y軸于點C，直線L1經過點C且平行于x軸，將L1向上平移t得到直線L2，設L1與拋物線F的交點為C，D，L2與拋物線F的交點為A，B，連接AC，BC.

（1）當a=12，b=-32，c=1，t=2時，△ABC的形狀.

（2）若△ABC為直角三角形，求t的值.

解析 通過閱讀題目可以發(fā)現，對于第一問，需要學生找到題目中所蘊含的拋物線信息，代入公式，求出A、B點的坐標，進而根據△ABC邊長間的關系確定其形狀.第二問則是根據二次函數的基本性質，加之直角三角形的特點，求出未知變量.

解1 當a=12，b=-32，c=1，t=2時，拋物線表達式則為y=12x2-32x+1，將x=0代入，可以得C點坐標為（0，1），t=2時，y=3，此時由12x2-32x+1=3可得x1=-1，x2=4，則A點坐標為（-1，3），B點坐標為（4，3），根據勾股定理代入數據可以得到CA=5，CB=25，AB=5.此時存在CA2+CB2=AB2，所以當a=12，b=-32，c=1，t=2時，△ABC為直角三角形.

解2 如圖2，設AB交y軸于E，交拋物線對稱軸于F，則F為AB中點，連接CF，由方程c+t=ax2+bx+c，可以得到ax2+bx-t=0.設其根為x1，x2，則有x1+x2=-ba，x1x2=-ta，AB=x1-x2=（x1+x2）2-4x1x2=b2+4ata.所以CF=12AB=b2+4at2a，在Rt△CEF中，CE=t，EF=-b2a，所以t2+-b2a2=（b2+4at2a）2，解得t=1a.

2 代數推理法

代數推理法是指以二次函數解析式y(tǒng)=ax2+bx+c為基礎，根據題目中給出的信息進行解答，確定解析式中的未知量，最終求出具體的解析式的方法.在實際的解題中，學生要根據題目中給出的信息確定出函數解析式中a，b，c的變量值，在此基礎上求出解題所需的頂點式、零點式等多種表達形式，從而解答問題.

例2 如圖3所示，拋物線y=ax2+bx+c頂點坐標為Q（2，-1），交y軸于點C（0，3），與x軸交于A，B兩點（A在右側），點P為其上動點，從點C沿拋物線向點A運動且不重合，過P作PD∥y軸，交AC于點D.求函數的解析式;

解 根據題意，拋物線頂點為Q（2，-1），所以設拋物線為y=a（x-2）2-1（a≠0）.點C（0，3）在拋物線上，則有3=a（0-2）2-1，解得a=1，所以解析式為y=x2-4x+3.

3 轉換法

在運用轉換法時，需要學生能夠靈活理解題目中給出材料，并將題目中給出的重點的材料轉換為二次函數所需的內容，而后通過解答函數的相關知識解決實際的問題.

例3 如圖4所示的隧道長12m，寬4m，按圖中所示的坐標系，拋物線可用y=-16x2+bx+c表示，且點C到OB的水平距離為3m，到地面OA的距離為172m.

（1）求拱頂D到地面OA的距離;

（2）高6m，寬4m的集裝箱車能否安全通過.

解1 由題意可知點B（0，4）、C（3，172）在拋物線上，將其代入可得c=4，172=-16×9+3b+c，

解得c=4，b=2，則拋物線方程為y=-16x2+2x+4，頂點式則為y=-16（x-6）2+10.

根據頂點式可以得到其頂點D坐標為B（6，10），因此拱頂D到地面OA的距離為10m.

解2 通過分析題意可以得知，該車底部外側與地面的交點為（2，0）或者（10，0），將x=2或x=10代入y=-16x2+2x+4可得y=223>6，因此，該車可以通過.

數形結合法、代數推理法、轉換法作為解答二次函數相關題目常用的幾種方法，學生在課下應當積極練習，達到熟練掌握，如此才能夠在考試中靈活運用，提高答題的效率，提高考試成績.

參考文獻：

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