第4屆世界數(shù)學(xué)團(tuán)體錦標(biāo)賽兒童組試題

（2013.11北京）

團(tuán)體賽

1.A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H，I，J是有序排列的10個(gè)質(zhì)數(shù)，它們的和是60.若其中任意5個(gè)相鄰的數(shù)彼此不同，并且其和相等，問：A與B的和有多少個(gè)不同的值？

2.如圖1，在△ABC中，∠ACB是直角，已知AC=10，BC=15，BD=5，AM=MB，求四邊形DBMN（陰影部分）的面積.

3.春游時(shí)，幼兒園給小朋友發(fā)蘋果.開始，大班領(lǐng)走全部蘋果的13少2個(gè)，然后中班領(lǐng)走剩余蘋果的12少3個(gè)，剩下的蘋果給小班.如果小班比大班得到的蘋果多，多出來的正好是蘋果總個(gè)數(shù)的130，問：原有多少個(gè)蘋果？

4.現(xiàn)有一個(gè)長方形由5×m個(gè)小正方形組成，每個(gè)小正方形中都涂有紅、橙、黃、綠四種顏色中的一種.如果某個(gè)長方形對角處的四個(gè)小正方形涂了相同的顏色，我們就稱這個(gè)長方形為“美麗長方形”.如圖2中這個(gè)4×3的長方形中的陰影長方形就是一個(gè)“美麗長方形”，它對角處的四個(gè)小正方形都涂了紅色.問：為了保證5×m的長方形中一定存在“美麗長方形”，m的最小值是多少？

5.甲、乙兩個(gè)機(jī)器人分別從A，B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，往返運(yùn)動.甲每分鐘走12米，乙每分鐘走16米.如果它們的第二次相遇點(diǎn)與第三次相遇點(diǎn)的距離是80米，則A，B兩地的距離是多少米？

6.在時(shí)鐘的鐘面上，有時(shí)候會出現(xiàn)時(shí)針和分針互相垂直的時(shí)刻，如圖3中3：00就是其中一個(gè).請?jiān)谶@樣的時(shí)刻中找出一個(gè)最接近1：00的時(shí)刻.

7.如圖4，兩顆衛(wèi)星A，B都在繞地球中心O沿逆時(shí)針方向做圓周運(yùn)動，速度大小不變，已知A，B運(yùn)動一周的時(shí)間比是1∶8.問：從圖示的位置開始，在B運(yùn)動一周的過程中，衛(wèi)星A，B和地球中心O有幾次在同一條直線上？

8.圖5中有60個(gè)方格，每個(gè)方格有4個(gè)格點(diǎn).一只甲蟲從A出發(fā)，依次經(jīng)過B，C，到達(dá)D，規(guī)定只允許從一個(gè)格點(diǎn)上行或右行到另一個(gè)格點(diǎn).問此甲蟲有多少條不同的路線可選擇？

9.如圖6，長方形EFGH中，GF=6，EF=4，陰影部分的面積和是7，求四邊形ABCD的面積.

10.如圖7，矩形ABCD中，AB=3，AD=2，點(diǎn)E在AB上，EB=13AB，點(diǎn)F在DC上，梯形EBCF與梯形AEFD的面積比是3∶7.求FC∶DF的值.（結(jié)果用最簡比表示）

11.如圖8，同樣大小的A，B兩個(gè)圓盤分別繞各自的中心自由轉(zhuǎn)動，盤面都被劃分為六個(gè)相同的扇形并標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6.A盤逆時(shí)針轉(zhuǎn)動，每分鐘轉(zhuǎn)2周;B盤順時(shí)針轉(zhuǎn)動，每分鐘轉(zhuǎn)3周.在圖示的時(shí)刻，A，B中標(biāo)有“1”的兩個(gè)扇形相距最近，求經(jīng)過1分20秒，A，B中相距最近的兩個(gè)扇形中的數(shù)字和.

12.用數(shù)字1～9作為若干個(gè)數(shù)的十位數(shù)和個(gè)位數(shù)，使這些數(shù)的和等于108.要求每個(gè)數(shù)字都用上，并且只能用一次，問有多少種不同的方法？

13.有18枚硬幣：面值1角的7枚，5角的6枚，1元的5枚.從中取出4枚，則這4枚硬幣的面值和不超過1元8角的取法有多少種？

14.從1到49的自然數(shù)中取兩個(gè)數(shù)，求這兩個(gè)數(shù)的倒數(shù)都是循環(huán)小數(shù)的概率.（結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示）

15.北京、A市和B市是有時(shí)差的三個(gè)城市，假定飛機(jī)在其中任意兩個(gè)城市之間單程飛行所用的時(shí)間相同.下面是一張行程單，出發(fā)時(shí)間和到達(dá)時(shí)間分別是當(dāng)?shù)氐臅r(shí)間.

行程日期出發(fā)時(shí)間到達(dá)時(shí)間

北京—A市10月3日11：4014：30

A市—B市10月3日19：5522：05

B市—A市10月10日06：0510：15

A市—北京10月10日12：2523：15

問：當(dāng)飛機(jī)到達(dá)北京時(shí)，B市的當(dāng)?shù)貢r(shí)間是幾時(shí)幾分？

16.有一張長方形紙片，每次從中剪去一個(gè)面積最大的正方形，這樣剪了4次后，剩下的部分是邊長為1的正方形，求所有符合要求的原長方形紙片面積的和.

17.將一個(gè)最簡分?jǐn)?shù)的分子加1，分母減1，再化簡為最簡分?jǐn)?shù)，這稱為一次操作.如果一個(gè)最簡分?jǐn)?shù)的分子與分母的和是120，經(jīng)過兩次操作后，結(jié)果為1，這樣的最簡分?jǐn)?shù)有幾個(gè)？

18.如圖9，A，B兩人沿正五邊形的邊繞行，A沿順時(shí)針方向行走，15分鐘繞行一周;B沿逆時(shí)針方向行走，20分鐘繞行一周.若A和B分別從圖示的兩個(gè)頂點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，問：他們第一次在某個(gè)頂點(diǎn)處相遇，至少需要多少分鐘？

19.如圖10，一個(gè)筐內(nèi)原放有c個(gè)雞蛋，g個(gè)鴿蛋，c∶g=3∶17，后來又向筐中放入雞蛋，每放入一個(gè)雞蛋，同時(shí)取出5個(gè)鴿蛋，這稱為一次操作.經(jīng)過n次操作后，筐內(nèi)雞蛋與鴿蛋的個(gè)數(shù)比是2∶3.求n的最小值.

0圖11

20.如圖11，將一個(gè)7×7×7的立方體分割為一些棱長為1或2或3的小立方體，則這些小立方體至少有多少個(gè)？

接力賽·試題

1A.如圖12，圓被5條線段分成8部分，現(xiàn)在對每一部分涂色，圖12要使相鄰的兩部分不同色，至少用幾種顏色？

1B.設(shè)前面隊(duì)友傳來的答案是T.

在1到10T這10T個(gè)自然數(shù)中，有偶數(shù)個(gè)因數(shù)的數(shù)有多少個(gè)？（10T表示T個(gè)10連乘，讀作：10的T次方）

2A.三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的最小公倍數(shù)是1092，求這三個(gè)自然數(shù)中最小的數(shù).

2B.設(shè)前面隊(duì)友傳來的答案是T.

3

如圖13，正方形ABCD的邊長是T，分別以A，D，C，B為圓心，以AB，DM，CQ，BP為半徑畫14圓.求四邊形MNPQ的面積.

3A.上體育課，老師準(zhǔn)備了一些籃球和排球，男生領(lǐng)走10個(gè)排球，此時(shí)籃球個(gè)數(shù)是排球個(gè)數(shù)的2倍，然后，女生領(lǐng)走30個(gè)籃球，此時(shí)排球個(gè)數(shù)是籃球個(gè)數(shù)的2倍.問：老師最初準(zhǔn)備的排球和籃球共多少個(gè)？

3B.設(shè)前面隊(duì)友傳來的答案是T.

某次高速列車有一等座100個(gè)，二等座200個(gè)，三等座400個(gè)，票價(jià)分別為2000元，1500元，800元.如果已售出全部車票的百分之T，則售票金額最多與最少相差多少元？

個(gè)人賽

1.計(jì)算：（20132014+2013201320142014+201320132013201420142014）÷20132013201320132014201420142014.

2.兩個(gè)自然數(shù)的積是1000，差是30，求這兩個(gè)自然數(shù)的和.

3.媽媽現(xiàn)在的年齡等于她的兩個(gè)孩子現(xiàn)在年齡和的3倍，22年后，她的年齡等于兩個(gè)孩子當(dāng)時(shí)的年齡和.若兩個(gè)孩子的年齡差不到5歲，并且不小于2歲，問：現(xiàn)在兩個(gè)孩子的年齡分別是多少歲？

4

4.如圖14，并排放置的三個(gè)等圓的交點(diǎn)構(gòu)成邊長為1的正方形，求這三個(gè)圓所覆蓋的面積.（圓周率π取3）

5.某社區(qū)的家庭中，25有空調(diào)，13沒有冰箱，16既沒有空調(diào)，也沒有冰箱，49戶既有空調(diào)，也有冰箱.則該社區(qū)的家庭有多少戶？

5

6.圖15由4個(gè)相同的長方形A和1個(gè)正方形B組成，求長方形A的面積.

7.如圖16，A，B，C是一個(gè)皮帶傳動裝置（皮帶不打滑），當(dāng)A輪轉(zhuǎn)4圈時(shí)，B輪恰好轉(zhuǎn)3圈;當(dāng)B輪轉(zhuǎn)4圈時(shí)，C輪恰好轉(zhuǎn)5圈.若A輪的周長是1.5米，則C輪的周長是多少米？

6圖17

8.如圖17，一張大紙片分為黑色、灰色兩部分.現(xiàn)將一張白色小紙片蓋在大紙片上，已知小紙片的面積是大紙片面積的一半，小紙片遮住了黑色部分的14，未被遮住的黑色部分占大紙片面積的14.求被遮住的灰色部分占大紙片面積的幾分之幾？

9.某次攝影比賽，原定取一等獎5名，二等獎10名，后來決定將一等獎中得分排在最后的2名調(diào)為二等獎，這樣，一、二等獎的平均分都提高了3分.那么，原來一等獎的平均分比二等獎的平均分高多少分？

10.如圖18，已知圓O的面積是1，AB是直徑，點(diǎn)E在CD上，AB=2BD=2CD，求陰影部分的面積.

8圖19

11.如圖19，給標(biāo)有M，N，P，Q的四個(gè)區(qū)域染色，一個(gè)區(qū)域只能染一種顏色，有公共邊的區(qū)域（如：M和N）不能染相同的顏色.現(xiàn)有四種顏色可選擇，則有多少種不同的染色方案？

12.將1到2013的自然數(shù)順次寫出，得到一個(gè)多位數(shù)1234567891011…20122013，將這個(gè)數(shù)除以9，余數(shù)是幾？

13.如果質(zhì)數(shù)a和質(zhì)數(shù)b之間的所有自然數(shù)的和是280，且其中沒有別的質(zhì)數(shù)，求a+b的值.

14.甲、乙兩車分別從A，B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，相遇后，甲繼續(xù)駛向B地，乙有兩種選擇：

（1）若乙駛向A地，當(dāng)甲到達(dá)B地時(shí)，乙還要行駛45千米才能到達(dá)A地;

（2）若乙掉頭以原速駛向B地，當(dāng)甲到達(dá)B地時(shí)，乙還要行駛15千米才能到達(dá)B地.

問：A，B兩地間的距離是多少千米？

15.某小學(xué)學(xué)生不足300人，女生和男生人數(shù)都超過100.如果將女生分成3人一組，或4人一組，或5人一組，則都剩1人;如果將男生分成7人一組，或8人一組，則都少3人.問：該小學(xué)最多有學(xué)生多少人？

16.媽媽帶女兒去游泳，女兒游泳的速度是媽媽的23，泳道長25米，兩人在同一條泳道內(nèi)游，若她們同時(shí)從泳道的同一端出發(fā)，當(dāng)媽媽游了20個(gè)來回時(shí)，媽媽和女兒相遇了多少次？（不計(jì)開始出發(fā)時(shí)的情形）

參考答案

團(tuán)體賽

1.答案：10.

解 由題設(shè)“其中任意5個(gè)相鄰的數(shù)彼此不同，并且和相等”，可知

A+B+C+D+E=B+C+D+E+F，

于是A=F.

同理，可得

B=G，C=H，D=I，E=J.

則? A+B+C+D+E

=F+G+H+I+J

=12（A+B+C+D+E+F+G+

H+I+J）

=12×60

=30.

注意到5個(gè)最小的質(zhì)數(shù)的和是

2+3+5+7+11=28<30，

而且恰好2+3+5+7+13=30，

所以A+B的值一定是2，3，5，7，13中某兩個(gè)的和，

這樣的和有10個(gè)不同的值：

5，7，8，9，10，12，15，16，18，20.

2.答案：352.

0

解 如圖20，連結(jié)BN.

設(shè)S△BDN=x.由

CD∶DB=（15-5）∶5

=2∶1，

可得S△CDN=2S△BDN=2x.

又AM=MB，

S△AMN=S△BMN，

S△ACM=S△BCM，

則有S△ACM-S△AMN=S△BCM-S△BMN，

S△ACN=S△BCN=S△BDN+S△CDN=3x.

于是S△ACD=S△ACN+S△CDN=3x+2x=5x，

S△ABD=12S△ACD=52x.

故有S△ABN=S△ABD-S△BDN=32x，

S△BMN=S△AMN=34x.

由S△ABC=S△ACN+S△CDN+S△BDN+S△ABN

=3x+2x+x+32x

=152x=12·10·15=75，

解得x=10.

因此S四邊形DBMN=S△BDN+S△BMN=74x=352.

3.答案：180.

解 設(shè)原來有n個(gè)蘋果，則題設(shè)條件知道，大班領(lǐng)走的蘋果個(gè)數(shù)是

n3-2，

中班領(lǐng)走的蘋果個(gè)數(shù)是

[n-（n3-2）]·12-3

=（2n3+2）·12-3

=n3-2，

小班得到的蘋果個(gè)數(shù)是

n-（n3-2）-（n3-2）=n3+4，

則小班比大班多得到的蘋果個(gè)數(shù)是

（n3+4）-（n3-2）=6（個(gè)）.

這個(gè)數(shù)正好是蘋果總個(gè)數(shù)的130，所以蘋果總個(gè)數(shù)是

6÷130=180（個(gè)）.

4.答案：41.

解 因?yàn)槊總€(gè)小正方形只能用4種顏色中的一種涂色，根據(jù)抽屜原理，每一列的5個(gè)小正方形中至少有兩個(gè)小正方形同色，這兩個(gè)同色小正方形的位置的可能情況有

5×4÷2=10（種），

而顏色有4種，綜合考慮顏色和位置，兩個(gè)同色小正方形的情況共有

10×4=40（種）.

所以，為了保證一定存在“美麗長方形”，m的最小值是41.

5.答案：140.

解 甲、乙從出發(fā)到相遇，運(yùn)動時(shí)間相等，所以

所行的路程比=速度比=12∶16=3∶4.

若將A，B兩地的距離平均分為7份，則共同走完AB一個(gè)全程，甲走3份，乙走4份.

作出甲、乙運(yùn)動的線段圖，如圖21所示，可知第二次相遇點(diǎn)與第三次相遇點(diǎn)的距離為4份，是80米，所以1份是

80÷4=20（米），

因此，A，B兩地相距

20×7=140（米）.

1

6.答案：12：49111（00：49111）.

解 分針每分鐘轉(zhuǎn)動6°，時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)動05°.

若時(shí)針和分針在1：00以前互相垂直，那么，從12時(shí)開始，分針和時(shí)針第二次垂直時(shí)更接近1時(shí).假設(shè)此時(shí)是12時(shí)x分，則

6x-0.5x=270，

解得x=49111.

此時(shí)距離1：00還有

60-49111=101011（分）;

若時(shí)針和分針在1：00以后互相垂直，從1時(shí)開始，分針和時(shí)針第一次垂直時(shí)更接近1時(shí)，假設(shè)此時(shí)是1時(shí)x分，則

6x-0.5x-30=90，

解得x=21911，

此時(shí)超過1：00有21911分鐘.

綜上，符合要求的時(shí)刻是12：49111（或表示成00：49111）.

7.答案：14.

解 假設(shè)B運(yùn)動一周用8小時(shí)，則A運(yùn)動一周用1小時(shí).

如果從B上觀察A，那么觀察到A運(yùn)動一周需要的時(shí)間是

360°360°-360°8=87（時(shí)）.

那么，在B用8小時(shí)運(yùn)動一周的過程中，從A上可觀察到B運(yùn)動了

8÷87=7（周），

每運(yùn)動一周，A，B，O有2次在一條直線上，所以在B運(yùn)動一周的過程中，A，B，O有14次在一條直線上.

8.答案：1200.

解 如圖22，

2

從A到B共有20條不同的路線;

從B到C共有4條不同的路線;

從C到D共有15條不同的路線.

由分步計(jì)數(shù)原理（乘法原理）知，滿足題意的不同路線有

20×4×15=1200（條）.

9.答案：1.

3

解 如圖23，設(shè)△BGH的面積是S1，△DEF的面積是S2，△ABH的面積是S3，△ADE的面積是S4.

因?yàn)镾△AFG=S長方形EFGH×12

=12，

所以S1+S2+S3+S4=12，

由題設(shè)S1+S2=7，

所以S3+S4=5.

又S△ECH=14S長方形EFGH=6，

可得S四邊形ABCD=S△ECH-S3-S4=1.

10.答案：4∶11.

解法1 設(shè)FC=x，則由已知條件可知

S梯形EBCF=12（EB+FC）·BC

=12（13AB+FC）·BC

=12（1+x）·2

=1+x，

又S梯形EBCF=37+3S矩形ABCD

=310×3×2

=95，

所以x+1=95，x=45，

于是DF=DC-FC=3-45=115，

所以FC∶DF=45∶115=4∶11.

解法2 設(shè)FC=x，由

S梯形EBCF∶S梯形AEFD=3∶7，

知（1+x2×2）∶[2+（3-x）2×2]=3∶7，

解得x=45.

于是FCDF=x3-x=411.

11.答案：4.

解 A盤的轉(zhuǎn)速是2周/分，A盤在1分20秒內(nèi)轉(zhuǎn)過了

2周/分×113分=223（周），

可知A盤中標(biāo)有數(shù)字“3”的扇形距離B盤最近.

同理，B盤的轉(zhuǎn)速是3周/分，B盤在1分20秒內(nèi)轉(zhuǎn)過了

3周/分×113分=4（周），

可知B盤中標(biāo)有數(shù)字“1”的扇形距離A盤最近.

于是3+1=4，

即為所求.

12.答案：254.

解 設(shè)這些數(shù)中所有十位數(shù)的和是x，則個(gè)位數(shù)的和是45-x.

根據(jù)題意，有10x+（45-x）=108，

解得x=7.

根據(jù)7=0+7=1+6=2+5=3+4=1+2+4，分以下3種情況討論：

（1）只有1個(gè)兩位數(shù)

這個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字是7，個(gè)位數(shù)字有8種取法，余下的7個(gè)數(shù)字分別都是一位數(shù)，所以有8種方法.

（2）有2個(gè)兩位數(shù)

這2個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字可以是1，6或2，5或3，4，它們的個(gè)位數(shù)字分別有7×6=42（種）組合，然后余下的5個(gè)數(shù)字分別都是一位數(shù)，所以共有42×3=126（種）方法.

（3）有3個(gè)兩位數(shù)

這3個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字是1，2，4，它們的個(gè)位數(shù)字有6×5×4=120（種）組合，然后余下的3個(gè)數(shù)字分別都是一位數(shù)，所以共有120種方法.

綜上，滿足題意的方法有

8+126+120=254（種）.

13.答案：6.

解 觀察下面的表：

面值枚數(shù)

1角433222111100000

5角010201032140312

1元001021301204132

面值和（角）4813122217311621262040253530

序號123456789101112131415

由上表可知，序號1，2，3，4，6，8的情形中，4枚硬幣的面值和不超過1元8角.所以，滿足題意的取法有6種.

14.答案：7031176.

解 因?yàn)?，2，4，5，8，10，16，20，25，32，40這11個(gè)數(shù)的倒數(shù)不是循環(huán)小數(shù)，所以要使倒數(shù)是循環(huán)小數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)可取的值有49-11=38個(gè).從這38個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)的方法有38×37÷2種，又從1到49的數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)的方法有49×48÷2種.所以，取出的兩個(gè)數(shù)的倒數(shù)都是循環(huán)小數(shù)的概率是

38×37÷249×48÷2=7031176.

15.答案：18：15.

解? 北京—A市：11：40—14：30

A市—北京：12：25—23：15

因?yàn)轱w機(jī)在北京和A市之間往返的時(shí)間相同，可推知A市的時(shí)間比北京時(shí)間晚，設(shè)兩地時(shí)差為a小時(shí)，則

（14：30+a）-11：40=23：15-（a+12：25），

解得a=4.

同理A市—B市：19：55—22：05

B市—A市：06：05—10：15

可推知B市的時(shí)間比A市的時(shí)間晚，設(shè)兩地時(shí)差為b小時(shí)，則

（22：05+b）-19：55=10：15-（6：05+b），

解得b=1.

綜上，B市的時(shí)間比北京時(shí)間晚5小時(shí).飛機(jī)到達(dá)北京時(shí)是北京時(shí)間23：15，此時(shí)B市的當(dāng)?shù)貢r(shí)間是18：15.

16.答案：187.

解 用逆推的方法.

每次剪去的正方形的邊長和余下的長方形的長或?qū)捪嗟龋钥蓪㈤L方形的紙片拼出來，如圖24：

4

因此，所有符合要求的原長方形紙片面積的和為

24+40+14+35+28+21+20+5=187.

17.答案：3.

解 設(shè)第一次操作后得到的分?jǐn)?shù)為ab.

由題意知

a+1b-1=1，

所以a+1=b-1，

即b=a+2，（*）

所以a和b同為奇數(shù)（若a和b同為偶數(shù)，則ab不是最簡分?jǐn)?shù)），

并且a+b是4的倍數(shù).

原來的最簡分?jǐn)?shù)的分子與分母的和是120，將它的分子加1，分母減1，分子與分母的和仍是120，化簡后，分子與分母的和（即a+b）是120的約數(shù).

120的約數(shù)中，是4的倍數(shù)的有：4，8，12，20，24，40，60，120，這些都是a+b的可能值.據(jù)此，結(jié)合（*）式，得到ab的值如下：

（1）ab=13

由120÷（1+3）=30，可得化簡前的分?jǐn)?shù)是1×303×30=3090，則第一次操作前的分?jǐn)?shù)是2991.

（2）ab=35

由120÷（3+5）=15，可得化簡前的分?jǐn)?shù)是3×155×15=4575，則第一次操作前的分?jǐn)?shù)是4476（不是最簡分?jǐn)?shù)，舍）.

（3）ab=57

由120÷（5+7）=10，可得化簡前的分?jǐn)?shù)是5×107×10=5070，則第一次操作前的分?jǐn)?shù)是4971.

（4）ab=911

由120÷（9+11）=6，可得化簡前的分?jǐn)?shù)是9×611×6=5466，則第一次操作前的分?jǐn)?shù)是5367.

（5）ab=1113

由120÷（11+13）=5，可得化簡前的分?jǐn)?shù)是11×513×5=5565，則第一次操作前的分?jǐn)?shù)是5466（不是最簡分?jǐn)?shù)，舍）.

（6）ab=1921

由120÷（19+21）=3，可得化簡前的分?jǐn)?shù)是19×321×3=5763，則第一次操作前的分?jǐn)?shù)是5664（不是最簡分?jǐn)?shù)，舍）.

（7）ab=2931

由120÷（29+31）=2，可得化簡前的分?jǐn)?shù)是29×231×2=5862，則第一次操作前的分?jǐn)?shù)是5763（不是最簡分?jǐn)?shù)，舍）.

（8）ab=5961

由120÷（59+61）=1，可得化簡前的分?jǐn)?shù)是5961，則第一次操作前的分?jǐn)?shù)是5862（不是最簡分?jǐn)?shù)，舍）.

故符合要求的分?jǐn)?shù)有3個(gè)：2991，4971，5367.

18.答案：48.

5

解 A走過一條邊，用

15÷5=3（分）;

B走過一條邊，用

20÷5=4（分）.

如圖25，分以下五種情況：

（1）A，B同時(shí)到達(dá)頂點(diǎn)1

設(shè)A，B分別環(huán)繞了m，n（m，n均為整數(shù)）周，則有

15m=12+20n，

該式等號左邊的個(gè)位是0或5，右邊的個(gè)位是2，所以沒有滿足等式的m，n.

（2）A，B同時(shí)到達(dá)頂點(diǎn)2

同理，有3+15m=8+20n，

即3m=1+4n，

m最小取3，此時(shí)n=2，即48分鐘后A，B同時(shí)到達(dá)頂點(diǎn)2.

（3）A，B同時(shí)到達(dá)頂點(diǎn)3

同理，有6+15m=4+20n，

該式等號左邊的個(gè)位是1或6，右邊的個(gè)位是4，所以沒有滿足等式的m，n.

（4）A，B同時(shí)到達(dá)頂點(diǎn)4

同理，有9+15m=20n，

該式等號左邊的個(gè)位是4或9，右邊的個(gè)位是0，所以沒有滿足等式的m，n.

（5）A，B同時(shí)到達(dá)頂點(diǎn)5

同理，有12+15m=16+20n，

該式等號左邊的個(gè)位是7或2，右邊的個(gè)位是6，所以沒有滿足等式的m，n.

因此，至少經(jīng)過48分鐘，A，B同時(shí)到達(dá)同一個(gè)頂點(diǎn).

19.答案：25.

解 由題設(shè)條件，得

g=173c

c+ng-5n=23.

（1）（2）

將（1）代入（2），得

2×173c-10n=3c+3n，

253c=13n，

c=3925n.

因?yàn)閏，n是自然數(shù)，

所以nmin=25.

20.答案：85.

6

解 （1）如圖26，2層33，每層4個(gè)，共8個(gè)33，剩下的是13，則13的個(gè)數(shù)是（73-8×33）÷13=127，于是小立方體有8+127=135個(gè).

（2）如圖27，33共有3×2=6個(gè)，23共有4×3=12個(gè)，剩下的是13，共有

（73-3×2×33-4×3×23）÷13=85個(gè).

于是小立方體有6+12+85=103個(gè).

（3）如圖28，若23盡可能多，沒有33，則23共有3×3×3=27個(gè)，于是13的個(gè)數(shù)是

（73-27×23）÷13=127，

于是小立方體有27+127=154個(gè).

7圖28

（4）如圖29，33共2×2個(gè)，23共6×3=18個(gè)，于是13的個(gè)數(shù)是（73-4×33-18×23）÷13=91個(gè)，于是小立方體有4+18+91=113個(gè).

（5）如圖30，若在4個(gè)不相鄰的角上分別切割一個(gè)33，共4個(gè);緊挨著的切成23，共有8+5+5+4=22個(gè);中間有一部分重合的，只能切割成13，共（73-4×33-22×23）÷13=59個(gè)，于是小立方體有4+22+59=85個(gè).

綜上，小立方體至少有85個(gè).

9圖30

接力賽

1A.答案：2.

解 顯然，1種顏色不可能.8種顏色也不必要.從圖31（1）可知，三色即可.

進(jìn)一步思考，可知用2種顏色即可，如圖31（2）.

1

1B.答案：90.

解 T=2.

完全平方數(shù)有奇數(shù)個(gè)因數(shù).

因?yàn)?02=100，所以從1到102這100個(gè)自然數(shù)中，有10個(gè)完全平方數(shù)，它們有奇數(shù)個(gè)因數(shù)，剩下的100-10=90個(gè)數(shù)有偶數(shù)個(gè)因數(shù).

2A.答案：12.

解 設(shè)這三個(gè)連續(xù)自然數(shù)分別為

a，a+1，a+2.

（1）若a是奇數(shù)，則a+2也是奇數(shù)，則

由相鄰奇數(shù)必互質(zhì)知

（a，a+2）=1.

由相鄰自然數(shù)必互質(zhì)知

（a，a+1）=1，（a+1，a+2）=1.

從而a，a+1，a+2彼此互質(zhì).

于是a，a+1，a+2的最小公倍數(shù)是

a（a+1）（a+2），

因?yàn)?×10×11=990，

10×11×12=1320，

990<1092<1320，

所以最小數(shù)a為奇數(shù)時(shí)，1092不是三個(gè)連續(xù)自然數(shù)a（a+1）（a+2）的乘積.

（2）若a是偶數(shù)，則a+2也是偶數(shù)，則

（a，a+2）=2.

由相鄰自然數(shù)必互質(zhì)知

（a，a+1）=1，（a+1，a+2）=1.

于是a，a+1，a+2的最小公倍數(shù)是

12a（a+1）（a+2），

即12a（a+1）（a+2）=1092，

于是a（a+1）（a+2）=2184，

因?yàn)?184=12×13×14，

所以這三個(gè)連續(xù)自然數(shù)中最小的數(shù)是12.

2B.答案：2592.

解 T=12.

易知AD=AB=AM=T，

DM=DQ=2T，

CQ=CP=3T，

BP=BN=4T，

AN=5T.

于是S四邊形MNPQ

=S△MDQ+S正方形ABCD+S△MAN+S△QCP+S△PBN

=12×（2T）2+T2+12×T×5T+12×

（3T）2+12×（4T）2

=18T2

=18×122

=2592.

3A.答案：70.

解 設(shè)老師最初準(zhǔn)備了x個(gè)排球.男生領(lǐng)走10個(gè)排球后，籃球個(gè)數(shù)是排球個(gè)數(shù)的2倍，所以籃球原有2（x-10）個(gè).女生又領(lǐng)走30個(gè)籃球，此時(shí)排球個(gè)數(shù)是x-10，籃球個(gè)數(shù)是2（x-10）-30，而排球個(gè)數(shù)是籃球個(gè)數(shù)的2倍，

所以2[2（x-10）-30]=x-10，

解得x=30.

所以老師最初準(zhǔn)備的排球和籃球共

x+2（x-10）=3x-20=70（個(gè)）.

3B.答案：197000.

解 T=70.

車上共有座位

100+200+400=700（個(gè)），

售出T%的車票，即售出車票

700×70%=490（張）.

根據(jù)題意，要使收入最多，應(yīng)先銷售單價(jià)高的票，再售單價(jià)低的票;要使收入最少，應(yīng)先銷售單價(jià)低的票，再售單價(jià)高的票.所以售票金額最多和最少的情況如下表所示：

一等座二等座三等座收入

售票金額最多100200190100×2000+200×1500+190×800=652000（元）

售票金額最少0904000+90×1500+400×800=455000（元）

所以售票金額最多與最少相差

652000-455000=197000（元）.

個(gè)人賽

1.答案：3.

解 原式

=（20132014+2013×100012014×10001+2013×1000100012014×100010001）

÷2013×10001000100012014×1000100010001

=（20132014+20132014+20132014）÷20132014

=3.

2.答案：70.

解 先將1000分解質(zhì)因數(shù)，再根據(jù)兩個(gè)數(shù)的差是30進(jìn)行組合.

1000=2×2×2×5×5×5

=20×50，

所以這兩個(gè)自然數(shù)分別是20和50，它們的和是

20+50=70.

3.答案：4歲和7歲.

解 設(shè)兩個(gè)孩子現(xiàn)在的年齡和是x，則由已知條件得

3x+22=x+22×2，

解得x=11.

由11=1+10=2+9=3+8

=4+7=5+6，

可知符合題意的是4和7，所以兩個(gè)孩子現(xiàn)在的年齡分別是4歲和7歲.

4.答案：4.

解 正方形的邊長為1，面積為1.

設(shè)圓的半徑是R，則正方形的面積可表示為

2×12（2R×R）=2R2，

即2R2=1，

所以R2=12，

于是一個(gè)圓的面積=πR2=π2.

所以這三個(gè)圓所覆蓋的面積為3個(gè)圓面積減去2個(gè)橄欖形面積，即

3×π2-（π2-1）=π+1=4.

5.答案：210.

解 既有空調(diào)，也有冰箱的家庭占家庭總數(shù)的

25+（1-13）+16-1

=12+20+5-3030=730.

所以，這個(gè)社區(qū)的家庭共有

49÷730=49×307=210（戶）.

6.答案：40.

2

解法1 如圖32，在正方形B內(nèi)部放置四個(gè)長方形A，觀察發(fā)現(xiàn)

長方形A的寬×2=16-8，

長方形A的長×2=28-8，

可得長方A形的寬是4，長是10，所以一個(gè)長方形A的面積是

4×10=40.

解法2 設(shè)正方形B的邊長為a，長方形A的長和寬分別是x，y，則由圖可得

a+x-y=28，①

a+y-x=16，②

①+②，得2a=44，a=22，

所以x-y=6，③

又x+y=a-8=14，④

③+④，得x=10，y=4，

所以一個(gè)長方形A的面積是xy=40.

7.答案：1.6.

解 當(dāng)A轉(zhuǎn)4圈時(shí)，B恰好轉(zhuǎn)3圈，則

A，B周長的比是3∶4.

同理B，C周長的比是5∶4.

所以A，B，C周長的比是

（5×3）∶（5×4）∶（4×4）=15∶20∶16，

又A輪的周長是1.5米，

所以C輪的周長是

1.5÷15×16=16（米）.

8.答案：512.

解 設(shè)大紙片的面積是1，則小紙片的面積是12，大紙片中未被遮住的黑色部分的面積是14.而被遮住的黑色部分占黑色部分的14，則整個(gè)黑色部分的面積是

14÷（1-14）=13，

整個(gè)灰色部分的面積是

1-13=23，

被遮住的灰色部分面積是

12-（13-14）=512.

9.答案：22.5.

解 設(shè)原來一等獎的平均分為x分，二等獎的平均分為y分，根據(jù)原來一等獎中得分排在最后的2名的分?jǐn)?shù)和，可列等式

5x-（5-2）（x+3）

=（10+2）（y+3）-10y，

即5x-3x-9=12y+36-10y，

2x-9=2y+36，

2（x-y）=36+9，

所以x-y=（36+9）÷2=22.5，

因此，原來一等獎的平均分比二等獎的平均分高22.5分.

10.答案：16.

3

解 如圖33，連接OC，OD，OE，則△OBD，△OCD，△OAC都是等邊三角形，CD∥AB，所以弓形AC的面積等于弓形CD的面積.

由同底等高的三角形的面積相等，可知

S△BDE=S△ODE，S△ACE=S△OCE，

于是陰影部分的面積可以轉(zhuǎn)化為扇形OCD的面積，

即S陰影=S扇形OCD=16S⊙O=16.

11.答案：84.

4

解 M有4種不同的染色方法.

（1）若M和Q不同色，則Q有3種不同的染色方法.于是P和N各有2種不同的染色方法.所以不同的染色方法共有

4×3×2×2=48（種）.

（2）若M和Q同色，則Q有1種不同的染色方法.于是P和N各有3種不同的染色方法.所以不同的染色方法共有

4×1×3×3=36（種）.

故不同的染色方案有

48+36=84（種）.

12.答案：3.

解法1 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，45能被9整除.

先考慮從1～1999的數(shù)：

1～9在個(gè)位上分別出現(xiàn)了200次，所以個(gè)位數(shù)之和能被9整除;

1～9在十位上分別出現(xiàn)了200次，所以十位數(shù)之和能被9整除;

1～9在百位上分別出現(xiàn)了400次，所以十位數(shù)之和能被9整除;

千位上共有1000個(gè)1，和是1000.

再考慮20002001…2013，數(shù)字和是

2×14+（1+2+…+9）+1×4+1+2+3=83，

（1000+83）÷9=120……3，

因此，所求余數(shù)為3.

解法2 1234567891011…2013（mod 9）

=1+2+3+4+…+9+10+11+12+…+

2011+2012+2013（mod 9）

=（1+2+…+9）+（10+11+…+18）+…+（1998+1999+…+2007）+（2008+2009+2010+2011+2012+2013）（mod 9）

=0+0+…+0+1+2+3+4+5+6（mod 9）

=3（mod 9）.

13.答案：112.

解 質(zhì)數(shù)a和質(zhì)數(shù)b一定不包含2，因?yàn)楹退噜彽馁|(zhì)數(shù)是3，它們之間沒有其它的自然數(shù).

除去2以外所有的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)，所以質(zhì)數(shù)a和質(zhì)數(shù)b之間的自然數(shù)一定是奇數(shù)個(gè).

連續(xù)n（n是奇數(shù)）個(gè)自然數(shù)的和等于中間一個(gè)自然數(shù)的n倍，因?yàn)?/p>

280=1×2×2×2×5×7，

所以這兩個(gè)質(zhì)數(shù)a，b之間的自然數(shù)可能有1個(gè)或5個(gè)或7個(gè)或35個(gè)，即n=1或5或7或35.

若n=1，因?yàn)楹?80相鄰的兩個(gè)自然數(shù)是279和281，279不是質(zhì)數(shù)，所以1不符合題意.

若n=5，5個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和是280，則中間的一個(gè)是280÷5=56，可以推知，a和b分別是53和59，它們的和是112.

若n=7，7個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和是280，則中間的一個(gè)是280÷7=40，這樣的連續(xù)7個(gè)自然數(shù)中包含了37，41，43這樣的質(zhì)數(shù)，所以7也不符合題意.

若n=35，35個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和是280，由280÷35=8可知，連續(xù)35個(gè)自然數(shù)的和不可能是280，所以35也不符合題意.

綜上，這兩個(gè)相鄰的質(zhì)數(shù)的和是112.

14.答案：90.

解 設(shè)全程長x千米，由題意知相遇時(shí)，甲比乙多走了45-15=30千米，則

x45=x-30215，

解方程，得x=90.

所以，A，B兩地的距離為90千米.

15.答案：290.

解 女生按3，4，5分都余1，即女生人數(shù)減去1可以被3，4，5整除，即可被60整除.因?yàn)榕?00多人，所以女生可能是

60×2+1=121（人），

或60×3+1=181（人）.

男生按7，8人分組都少3人，即男生人數(shù)加上3可以被7和8整除，即可被56整除.因?yàn)槟猩灿?00多人，所以男生可能是

56×2-3=109（人）

或56×3-3=165（人）.

所以該小學(xué)的人數(shù)有四種情況：

121+109=230（人），

121+165=286（人），

181+109=290（人），

181+165=346（人），

其中，346超過300，所以舍去.因此，該小學(xué)最多有學(xué)生290人.

16.答案：33.

解法1 媽媽和女兒每一次相遇都一共游了一條泳道長的兩倍，即50米，這50米中有30米是媽媽游的，20米是女兒游的.媽媽游了20個(gè)來回，即游了1000米.

1000÷30=33……10，

所以媽媽共遇到女兒33次.

解法2 女兒的速度是媽媽的23，所以游的距離也是媽媽的23.媽媽一共游了

25×20×2=1000（米），

所以女兒一共游了

1000×23=66623（米）.

兩人一共游了

1000+66623=166623（米）.

因?yàn)槊看蜗嘤龆加瘟艘粭l泳道長度的兩倍，即50米，又

166623÷50=3313，

所以兩人遇到33次.