對(duì)一類中考最值問題的深入探究

李加祿

【摘要】 本文嘗試通過利用托勒密不等式解決費(fèi)馬點(diǎn)最值問題，實(shí)現(xiàn)通性通法，從多角度進(jìn)行深入剖析并進(jìn)行推廣，得到了一般化的結(jié)論，同時(shí)也為解決此類問題提供了更為廣闊的思路.

【關(guān)鍵詞】 費(fèi)馬點(diǎn)最值;托勒密不等式;通法;推廣

近年來，以數(shù)學(xué)文化為背景的試題己成為中考命題的熱點(diǎn)和新亮點(diǎn)，費(fèi)馬點(diǎn)最值問題受到命題者的青睞.圖形的旋轉(zhuǎn)變換是解決“費(fèi)馬點(diǎn)問題”非常重要的一種工具，通過旋轉(zhuǎn)或放縮進(jìn)行線段轉(zhuǎn)化，從而達(dá)到解決問題的效果.但是，當(dāng)所求最值中三條線段的系數(shù)有不為1時(shí)，旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角就難以確定，學(xué)生感到束手無策.鑒于此筆者進(jìn)行了深入研究，發(fā)現(xiàn)利用托勒密不等式可以快速找到解決費(fèi)馬點(diǎn)最值問題的突破口，突破思維障礙，實(shí)現(xiàn)通性通法，并進(jìn)行推廣得到一般化的結(jié)論.

1 費(fèi)馬點(diǎn)簡(jiǎn)介

費(fèi)馬點(diǎn)定義：法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬曾提出一個(gè)數(shù)學(xué)名題： 在三角形所在平面內(nèi)求一點(diǎn)， 使該點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小，稱此為費(fèi)馬點(diǎn)問題.該點(diǎn)也稱為這個(gè)三角形的費(fèi)馬點(diǎn).

費(fèi)馬點(diǎn)的相關(guān)結(jié)論：

（1）對(duì)于一個(gè)各角不超過120°的三角形，費(fèi)馬點(diǎn)是各邊的張角都是120°的點(diǎn).

（2）若三角形有一個(gè)內(nèi)角大于等于120°，則此鈍角的頂點(diǎn)就是距離和最小的點(diǎn).

2 預(yù)備定理

托勒密不等式：在任意凸四邊形ABCD中，兩組對(duì)邊乘積和不小于其對(duì)角線的乘積，當(dāng)且僅當(dāng)四點(diǎn)共圓時(shí)取等號(hào).圖1

（即AB·CD+AD·BC≥AC·BD，當(dāng)且僅當(dāng)A，B，C，D四點(diǎn)共圓時(shí)取等號(hào)）

證明 如圖1，設(shè)∠CAD=θ，∠ACD=β，作∠BAE=θ，∠ABE=β相交于點(diǎn)E，連接DE，易證

△ABE∽△ACD，

于是ABAC=AEAD=BECD，

得AB·CD=AC·BE，①

又因∠BAC=∠DAE=∠θ+∠EAC，

ABAC=AEAD，

所以△ABC∽△AED，

于是ACAD=BCED，

得AD·BC=AC·DE，②

由①+②得

AB·CD+AD·BC=AC·BE+AC·DE，

即AB·CD+AD·BC

=AC·（BE+DE）≥AC·BD

（當(dāng)且僅當(dāng)B，E，D三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)），

此時(shí)，A，B，C，D四點(diǎn)共圓（AB·CD+AD·BC=AC·BD）（如圖2）.托勒密不等式可以簡(jiǎn)記為“左右積+上下積中間積”.

3 托勒密不等式應(yīng)用

3.1 系數(shù)比都為1的費(fèi)馬點(diǎn)問題

例1

如圖3是A，B，C三個(gè)村子位置的平面圖，經(jīng)測(cè)量AC=4，BC=5，∠ACB=30°，P為△ABC內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PA，PB，PC.求PA+PB+PC的最小值.

分析 如圖4，由于PA，PB，PC三邊前的系數(shù)之比為1∶1∶1，進(jìn)一步聯(lián)想到需要構(gòu)造的三角形是等邊三角形，進(jìn)而在四邊形APCD中利用托勒密不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化PA+PB+PC的最小值為BD的長(zhǎng)度，易得∠BCD=90°，則在Rt△BCD中利用勾股定理求得BD的長(zhǎng)度.

解 如圖4，以AC為邊向外構(gòu)造等邊△ACD，在四邊形APCD中，由托勒密不等式PA·CD+PC·AD≥AC·PD，設(shè)CD=x，則CD=AD=AC=x=4，進(jìn)而PA·x+PC·x≥PD·x，PA+PC≥PD，不等式兩邊同加PB，得PA+PB+PC≥PB+PD，所以PA+PB+PC≥BD（當(dāng)且僅當(dāng)B，P，D三點(diǎn)共線且A，P，C，D四點(diǎn)共圓時(shí)取等號(hào)），即PA+PB+PC的最小值為BD的長(zhǎng)度.在Rt△BCD中利用勾股定理求得BD=42+52=41，故PA+PB+PC的最小值為41.

例2 如圖5，在△MNG中，MN=6，∠M=75°，MG=42.點(diǎn)O是△MNG內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)O到△MNG三個(gè)頂點(diǎn)的距離和的最小值是.

解 類比例1，易知OM，ON，OG三邊前的系數(shù)之比為1∶1∶1，以MG為邊向外構(gòu)造等邊△MGA，進(jìn)而在四邊形MOGA中，由托勒密不等式將OM+ON+OG的最小值轉(zhuǎn)化為AN的長(zhǎng)度，以AN為斜邊構(gòu)造Rt△ABN，易得∠BMN=45°，BN=BM=32，AB=72，則由勾股定理求得AN=229，故OM+ON+OG的最小值為229.

3.2 系數(shù)比為勾股數(shù)的費(fèi)馬點(diǎn)問題

例3

如圖6，在△ABC中，∠ACB=60°，BC=3，AC=4.在△ABC內(nèi)部有一點(diǎn)P，連接PA，PB，PC，則12PA+32PB+PC的最小值是.

分析 觀察到三邊的權(quán)重系數(shù)之比不為1，于是將12提到括號(hào)外得到

12（1PA+3PB+2PC），

即PA，PB，PC三邊權(quán)重系數(shù)之比為1∶3∶2，只需以AC為邊構(gòu)造一個(gè)△ACD，使得三邊之比為1∶3∶2，易知△ACD為直角三角形，那么怎樣確定直角呢？其實(shí)仔細(xì)觀察不難發(fā)現(xiàn)PC前面的系數(shù)為2（系數(shù)比中最大），根據(jù)大邊對(duì)大角可知AD邊所對(duì)的角為直角，進(jìn)而在四邊形APCD中利用托勒密不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解.

解 如圖，以AC為直角邊向外構(gòu)造Rt△ACD，在四邊形APCD中，由托勒密不等式PA·CD+PC·AD≥AC·PD，設(shè)CD=x，則AD=2x，AC=3x=4，

解得x=433，

進(jìn)而PA·x+PC·（2x）≥PD·（3x），

PA+2PC≥3PD，

不等式兩邊同加3PB，得

PA+3PB+2PC≥3PB+3PD，

所以PA+3PB+2PC≥3BD

（當(dāng)且僅當(dāng)B，P，D三點(diǎn)共線且A，P，C，D共圓時(shí)取等號(hào)），

即12PA+32PB+PC的最小值為32BD的長(zhǎng)度，再以BD為斜邊構(gòu)造Rt△BDE，易得

∠DCE=30°，CE=2，DE=223，

進(jìn)而利用勾股定理求得

BD=2373，

故12PA+32PB+PC的最小值為792.

3.3 系數(shù)比為任意三角形的費(fèi)馬點(diǎn)問題

例4

如圖7，在△ABC中，∠ABC=15°，BC=52，AB=5.在△ABC內(nèi)部有一點(diǎn)P，連接PA，PB，PC，則PA+3PB+PC的最小值是.

分析 考慮到PA，PB，PC三邊權(quán)重系數(shù)之比為1∶3∶1，顯然三邊系數(shù)之比不構(gòu)成直角三角形，而是等腰三角形，以AB為邊向外構(gòu)造等腰△ABD，由3·PB可知PB所對(duì)的邊為AD=3x，則BD=BA=x，利用銳角函數(shù)易求∠ABD=120°，進(jìn)而在四邊形APBD中利用托勒密不等式將最小值轉(zhuǎn)化為線段CD的長(zhǎng)度，再構(gòu)造直角三角形求解CD.

解 如圖8，以AB為邊向外構(gòu)造等腰△ABD，在四邊形APBD中，由托勒密不等式

PA·BD+PB·AD≥AB·PD，

設(shè)AB=BD=x=5，則

AD=3x=53，

PA·x+PB·3x≥PD·x，

PA+3PB≥PD，

不等式兩邊同加PC，得

PA+3PB+PC≥PD+PC，

所以PA+3PB+PC≥CD

（當(dāng)且僅當(dāng)C，P，D三點(diǎn)共線且A，P，B，D四點(diǎn)共圓時(shí)取等號(hào)），

即PA+3PB+PC的最小值為CD的長(zhǎng)度.

利用銳角三角形函數(shù)易求∠ABD=120°，

∠DBE=45°，

BE=DE=522，

CE=1522，

在Rt△CDE中利用勾股定理求得CD=55，

故PA+3PB+PC的最小值為55.

總結(jié) 通過以上幾個(gè)例題解析，我們發(fā)現(xiàn)利用托勒密不等式解決費(fèi)馬點(diǎn)最值問題的核心方法就是先找出三邊權(quán)重比例系數(shù)，再構(gòu)造一個(gè)三邊之比恰好是權(quán)重系數(shù)的三角形，進(jìn)而在四邊形中利用托勒密不等式和兩點(diǎn)之間線段最短將最小值轉(zhuǎn)化為某條線段的長(zhǎng)度，本質(zhì)就是轉(zhuǎn)折為直，最后構(gòu)造直角三角形求解線段的長(zhǎng).

4 推廣

如圖9，在△ABC內(nèi)部有一點(diǎn)P，連接PA，PB，PC，則xPA+yPB+zPC的最小值是.

結(jié)論1 若以x，y，z為邊不能構(gòu)成三角形，則P為系數(shù)最大的那項(xiàng)的頂點(diǎn).

證明 不妨設(shè)x>y>z，則

xPA+yPB+zPC≥（y+z）PA+yPB+zPC≥y（PA+PB）+z（PA+PC）≥yAB+zAC

（當(dāng)且僅當(dāng)P與A點(diǎn)重合時(shí)取等號(hào)），

故此時(shí)P為A點(diǎn).

結(jié)論2 若x，y，z能構(gòu)成三角形的三邊，則xPA+yPB+zPC的最小值為

a2y2+b2x2-2abxycos（θ+β），

（其中cosθ=a2+b2-c22ab，cosβ=x2+y2-z22xy，）

證明 如圖9，以AC為邊向外構(gòu)造△ACD，使得CD=xm，AD=zm，AC=ym，在四邊形APCD中，由托勒密不等式得

（xm）PA+（zm）PC≥（ym）PD，

即xPA+zPC≥yPD，

不等式兩邊同時(shí)加上yPB，

xPA+yPB+zPC≥yPB+yPD，

則xPA+yPB+zPC≥y（PB+PD）≥yBD

（當(dāng)且僅當(dāng)B，P，D三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)）.

為了便于計(jì)算BD，將圖9分解為以三個(gè)圖形（圖10），不妨設(shè)∠ACB=θ，∠ACD=β，

則∠BCD=θ+β，

在△ABC和△ACD中，由余弦定理得

cosθ=a2+b2-c22ab，cosβ=x2+y2-z22xy，

在△BCD中，

BD=a2+（xm）2-2a（xm）cos（θ+β），

而AC=ym=b，則m=by，

BD=a2+x2b2y2-2axbycos（θ+β），

兩邊同乘以y，

yBD=a2y2+x2b2-2abxycos（θ+β），

xPA+yPB+zPC≥

a2y2+x2b2-2abxycos（θ+β），

故xPA+yPB+zPC的最小值為

a2y2+b2x2-2abxycos（θ+β）

（其中，cosθ=a2+b2-c22ab，cosβ=x2+y2-z22xy）

特別地，當(dāng)△ABC是邊長(zhǎng)為a的等邊三角形時(shí)，PA+PB+PC的最小值為3a.

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