核心素養(yǎng)視角下高中數(shù)學(xué)建模的教學(xué)探索

楊曉芳

【摘?要】??高中數(shù)學(xué)教學(xué)的過程就是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的過程，就是促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展的過程.教師要具體的教學(xué)中要以學(xué)生為中心，著力提升他們的能力，促進(jìn)他們的素養(yǎng)，而不能只關(guān)注最終的成績.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2017年版）指出，高中數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等.數(shù)學(xué)建模就是教師引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問題變?yōu)橛脭?shù)學(xué)語言描述的數(shù)學(xué)問題的過程.函數(shù)應(yīng)用問題是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)也是難點(diǎn)，學(xué)生往往不能舉一反三、觸類旁通.教師可引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而促成此類問題的解決.

【關(guān)鍵詞】??高中數(shù)學(xué);核心素養(yǎng);數(shù)學(xué)建模

一般來說，運(yùn)用數(shù)學(xué)建模解決函數(shù)應(yīng)用問題通常分為四步，首先為讀題，就是要能讀出里面的數(shù)學(xué)問題來，要能讀出里面的條件與結(jié)論，進(jìn)而再理清里面的數(shù)量關(guān)系.其次為建模，就是要將情境中的文字轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，進(jìn)而建立相應(yīng)的函數(shù)模型.第三步為求解，就是求解函數(shù)模型，從而得到數(shù)學(xué)結(jié)論，最主要的，學(xué)生要能關(guān)注函數(shù)模型中元素的實(shí)際意義.最后一步為回答，就是學(xué)生要對建模后獲得的數(shù)學(xué)結(jié)論進(jìn)行還原，從而給出實(shí)際問題的結(jié)果.整個建模的過程就是學(xué)生開啟思維、自主創(chuàng)造，進(jìn)而解決問題的過程??[1] .

1?創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實(shí)情境，讀出數(shù)量關(guān)系

建模的目的是為了解決問題，要培養(yǎng)學(xué)生建模的能力，教師首先要創(chuàng)設(shè)真實(shí)的情境，讓他們?nèi)プx懂情境中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)問題??[ ??2???] .當(dāng)前部分高中學(xué)生解題能力不強(qiáng)，其中一個重要的原因就是讀題能力差，不能抓住題目中的關(guān)鍵信息，讀不出其中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系.因此教師要依據(jù)學(xué)生的基本學(xué)情，設(shè)置他們?nèi)菀渍页鰯?shù)量關(guān)系的貼近他們生活的情境.

例如???某學(xué)校要在長為8米，寬為6米的一塊矩形地面上進(jìn)行綠化，計(jì)劃四周種花卉，花卉帶的寬度相同，均為x米，中間植草坪.為了美觀，要求草坪的面積大于矩形土地面積的一半，則x的取值范圍是多少？對于這樣的文字題，學(xué)生最要緊的一步就是依照文字，畫出圖形，在圖形中標(biāo)出相關(guān)的信息.換言之，讀題的第一步就是要指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思維的轉(zhuǎn)換，以簡潔的圖形表達(dá)原題.

學(xué)生畫出圖1，并標(biāo)出花卉帶的寬度x.接著教師引導(dǎo)學(xué)生找出這個圖中涉及到的兩個量，即中間草坪的長與寬，讓他們嘗試著用自己的語言描述這兩個量之間的關(guān)系.學(xué)生發(fā)現(xiàn)這兩個量均可以通過x來表示，原題中設(shè)花卉帶寬度為x米（0?1?2?×8×6.可以看出來.只有放手給學(xué)生不斷實(shí)踐的機(jī)會，學(xué)生的建模能力才能得到有效提升.

2?分析主要因素，建立函數(shù)模型

建模的第二步就是要指導(dǎo)學(xué)生選擇合適的函數(shù)模型來刻畫已經(jīng)確立的具體對象的數(shù)量變化關(guān)系??[ ??3???] .學(xué)生可根據(jù)題目提供的數(shù)據(jù)先畫出它的圖像，從直觀上看看像什么函數(shù).教師可指導(dǎo)學(xué)生說一說學(xué)過一些什么函數(shù)，以讓他們回顧一下一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、分段函數(shù)等，進(jìn)而確立最終的建模函數(shù).學(xué)生回顧之后，教師可追問眼前的這個圖像最像什么函數(shù)的圖像，能大概寫出它的解析式嗎.也就是說建模的過程是學(xué)生主動找尋函數(shù)解決問題的過程，使他們提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)的過程.

例如???某海濱浴場一天的海浪高度y?m?是時間t?0≤t≤24??h?的函數(shù)，記作y=f?t?，圖2是某天各時的浪高數(shù)據(jù).

題目中給出的是海濱浴場的海浪高度y?m?與時間t?h?的數(shù)量關(guān)系，學(xué)生首先要弄清楚的就是能不能選用一個三角函數(shù)來描述這個關(guān)系.他們以時間為橫坐標(biāo)，海浪高度為縱坐標(biāo)，將圖2的數(shù)據(jù)帶進(jìn)去，于是在平面直角坐標(biāo)系中就出現(xiàn)如圖3所示的散點(diǎn)圖.

依據(jù)圖3，學(xué)生認(rèn)為可以選用函數(shù)y=A?sin??ωt+φ?+h?A>0，ω>0，?φ?≤??π??2??來近似描述這個海濱浴場的海浪高度y?m?與時間t?h?的函數(shù)關(guān)系.教師將學(xué)生分成不同的小組，讓他們展開討論，他們先是從表中數(shù)據(jù)和散點(diǎn)圖中獲得A=?1.5-0.5?2?=?1?2?，T=12，所以?2?π??ω?=12，得ω=??π??6?.接著他們又從h=?1.5+0.5?2?=1，得出y=?1?2??sin????π??6?t+φ?+1.對著圖，學(xué)生發(fā)現(xiàn)??π??6?×0+φ=??π??2?+2k?π?，k∈?Z?.又因?yàn)?φ?≤??π??2?，所以φ=??π??2?，所以y=?1?2??sin????π??6?t+??π??2??+1，即y=??1?2??cos???π??6?t?+1?0≤t≤24?.在這個建模的過程中，教師要遵循針對性原則，就是要對個別的學(xué)生強(qiáng)化輔導(dǎo)，要讓他們的思維跟上課堂的節(jié)奏.

3?關(guān)注實(shí)際意義，運(yùn)用函數(shù)模型

對高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言，教師需要培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)用能力，即，將認(rèn)知轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)素養(yǎng)的能力.一般來說，教師在教學(xué)的過程中可以開展以下活動，一是學(xué)習(xí)理解類活動，就函數(shù)而言，就是要能理解不同函數(shù)的圖像、性質(zhì)等.二是要開展實(shí)際應(yīng)用與遷移創(chuàng)新類活動，就函數(shù)建模而言，就是要能將建立的模型運(yùn)用起來，以解決實(shí)際的問題.

學(xué)生依據(jù)圖3，建構(gòu)這樣的函數(shù)模型，y=??1?2??cos???π??6?t?+1?0≤t≤24?.教師說，當(dāng)海浪高度不少于1m時才對沖浪愛好者開放海濱浴場，能不能依據(jù)建構(gòu)的模型判斷一天內(nèi)的8h至20h之間，有多少時間可供沖浪愛好者進(jìn)行沖浪？通過這樣的設(shè)問，教師最重要的目的，就是讓他們繼續(xù)思考下去，讓他們的深度學(xué)習(xí)開展下去.在數(shù)學(xué)建模的過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生全面地思考，不但要讓他們學(xué)會析模與用模.對于運(yùn)用環(huán)節(jié)，教師關(guān)注的不只是最后的結(jié)果，教師要看到他們的思考和交流.

因此教師可開展小組合作的模式，引導(dǎo)學(xué)生展示自己思考和探究的過程，鼓勵他們之間進(jìn)行交流和討論.學(xué)生在討論中將條件一一利用，他們根據(jù)海浪高度不少于1m 時，得出y≥1，進(jìn)而得出??1?2??cos???π??6?t?+1≥1，換言之，?cos???π??6?t≥0.接著他們在合作中推出這樣的式子2k?π?-??π??2?≤??π??6?t≤2k?π?+??π??2??k∈?Z??，即12k-3≤t≤12k+3?k∈?Z??.學(xué)生在合作中分析問題、解決問題，他們在數(shù)學(xué)建模的過程中，提升運(yùn)用數(shù)模的能力.最后，他們加上這樣的條件0≤t≤24，得出0≤t≤3或者9≤t≤15或者21≤t≤24.也就是說一天內(nèi)的8h至20h之間有6h可供沖浪愛好者進(jìn)行沖浪.

4?還原數(shù)學(xué)結(jié)論，檢驗(yàn)相應(yīng)模型

建模中還有一個重要的環(huán)節(jié)，就是要學(xué)會將“?！迸c現(xiàn)實(shí)的題目結(jié)合起來，進(jìn)而得出正確的結(jié)論，同時要驗(yàn)證“?！钡目尚行?對于高中學(xué)生來說，他們有時候在確立了函數(shù)的模之后，卻不能依照實(shí)際的情況，對可能不存在的結(jié)論進(jìn)行取舍.因此教師要培養(yǎng)學(xué)生依照實(shí)際情況分析的能力??[ ??4???] ，要提升他們的綜合素養(yǎng).一般來說，學(xué)生在建模之后，基本能將新的數(shù)值帶進(jìn)去，獲得新的結(jié)論.但是現(xiàn)實(shí)的情況是變化的，學(xué)生要學(xué)會變通，要能抓住關(guān)鍵的信息進(jìn)行合理的推斷.

例如????倫敦有一個32個乘坐艙的景觀摩天輪如圖4所示，每相鄰兩個乘坐艙與旋轉(zhuǎn)中心所成的圓心角均相等，乘坐艙按旋轉(zhuǎn)順序依次為1～33號，因宗教忌諱，沒有13號.乘客在乘坐艙距離地面最近時進(jìn)入，t ?min?后他們距離地面的高度為：

f（t）=A?sin?（ωt+φ）+B（A>0，ω>0，φ∈（0，2?π?）），天輪的旋轉(zhuǎn)半徑為60m，最高點(diǎn)距地面135?m?，旋轉(zhuǎn)一周大約30?min?.現(xiàn)有甲乘客乘坐11號乘坐艙，當(dāng)甲乘坐摩天輪15?min?時，乙距離地面的高度為（75+30?2?）m，則乙所乘坐的艙號為多少.

學(xué)生首先要運(yùn)用給出的函數(shù)求出摩天輪的最低點(diǎn)離地面的距離，因最高點(diǎn)距地面為135?m?，依據(jù)?f?（t）????max???=A+B=135，摩天輪的旋轉(zhuǎn)半徑為60?m?，那么最低點(diǎn)距地面135-2×60=15（?m?）.學(xué)生進(jìn)一步推測出f?（t）????min??=-A+B=15，進(jìn)而他們求得A=60，B=75;又因?yàn)槟μ燧喰D(zhuǎn)一周大約30?min?，他們求得周期T=?2?π??ω?=30，解得ω=??π??15?.他們再進(jìn)一步地利用函數(shù)f?t?=60?sin?（??π??15?t+φ）+75，因?yàn)閒（0）=60?sin?φ+75=15，所以?sin?φ=-1，又φ∈（0，2?π?），于是有φ=?3?π??2?.再進(jìn)一步地他們得出f?t?=60?sin?（??π??15?t+?3?π??2?）+75=-60?cos???π??15?t+75，t∈[0，30]，令f（t）=75+30?2?，解得t=?45?4?或t=?75?4?.當(dāng)學(xué)生做到這一步時，他們需要跳出所建立的模，回到原先的題目中去.也就是說要將函數(shù)中獲得的結(jié)論轉(zhuǎn)化為最終情境所需要的答案.學(xué)生由每相鄰兩個乘坐艙與旋轉(zhuǎn)中心所成的圓心角?2?π??32?=??π??16?，得出后一個乘坐艙轉(zhuǎn)到相鄰前一個乘坐艙位置用時???π??16????π??15??=?15?16?（?min?）.顯然地，當(dāng)t=?45?4??min?時，乙比甲晚出發(fā)15-?45?4?=?15?4?（?min?），甲乙相差??15?4???15?16??=4個乘坐艙.再次，學(xué)生需要抓住原情境的信息做出選擇.由于沒有13號，此時乙在16號乘坐艙;當(dāng)t=?75?4??min?時，乙比甲早出發(fā)?75?4?-15=?15?4?（?min?），甲乙相差??15?4???15?16??=4個乘坐艙，此時乙在7號乘坐艙.最后他們得出乙所乘坐的艙號為7或16.可見教師要引導(dǎo)學(xué)生將函數(shù)模型的分析內(nèi)容反映至實(shí)際對象，進(jìn)一步修正模型的適用性，從而提升學(xué)生的解題能力.

5?結(jié)語

教師在數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中，要基于核心素養(yǎng)優(yōu)化教學(xué)環(huán)節(jié).數(shù)學(xué)建模能促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展，因?yàn)樵诮５倪^程中學(xué)生的推理思維和發(fā)散思維獲得充分的鍛煉.這些高階思維能力在建模的實(shí)踐過程中逐步形成創(chuàng)新意識，從而提升學(xué)生的綜合素養(yǎng).所以在建模的實(shí)踐活動中，教師要關(guān)注學(xué)生的內(nèi)在訴求.幫助他們建立正確的建模習(xí)慣.同時教師也要充分準(zhǔn)備，精選問題，創(chuàng)設(shè)情境為學(xué)生帶來全新的建模體驗(yàn)，進(jìn)而促成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的生長.

【基金：本論文系《核心素養(yǎng)視角下高中數(shù)學(xué)建模的教學(xué)實(shí)踐研究》課題研究成果.立項(xiàng)號：2021JY14-L56.】

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