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    第八屆世界數(shù)學(xué)團(tuán)體錦標(biāo)賽·青年組

    2022-05-30 21:17:59
    數(shù)理天地(高中版) 2022年15期
    關(guān)鍵詞:三棱錐接球正整數(shù)

    團(tuán)體賽

    1.?已知a?n=2n+1,計(jì)算:a?1a?2-a?2a?3+a?3a?4-a?4a?5+…+a??17?a??18?.

    2.?已知函數(shù)f(x)=?2??x+2?+2?2?x+1?.當(dāng)x∈[-4,4]時,f(x)的最大值與最小值分別記作M,m,求?M+m?.

    3.?已知長方體ABCD\|A?1B?1C?1D?1中,點(diǎn)E是線段B?1D?1上任意一點(diǎn),點(diǎn)F是AE上一點(diǎn),且AF=2FE.若AB=4,AD=2,AA?1=3,求四面體BDEF的體積.

    4.?已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足?a(4-b)=4,b(4-c)=4,c(4-a)=4.?求a+b+c的值.

    5.?函數(shù)f(x)=ax?2+bx+c在區(qū)間[d,d+2]的取值范圍為[e,e+1],其中a,b,c,d,e均為實(shí)數(shù),求a能取到的最大值.????圖1

    6.?如圖1,已知AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C是圓上任意一點(diǎn),過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D,求線段AD,BD,CD可以構(gòu)成銳角三角形的概率.

    7.?定義在?R?上的連續(xù)函數(shù)y=f(x)滿足下列條件:

    ①對于任意x∈?R?,都有f(x?3)=(f(x))?3;

    ②對于任意x?1,x?2∈?R?,當(dāng)x?1≠x?2時,都有f(x?1)≠f(x?2).

    求[f(-1)+f(1)]?2-f(0)的值.

    8.?已知a,b,c,d是互不相同的正整數(shù),求?abcd?a+b+c+d?的最小值.

    9.?解方程:?x+?x?2?x+1??+?x??x+1??=x+1.

    10.?已知等差數(shù)列{a?n}與{b?n}的前n項(xiàng)和分別為S?n與T?n,且?S?n?T?n?=?2n+4?3n-1?,求?a?6?b?5?.

    11.?已知ab>0,a+2b=1,求a+?ab?的最大值.

    12.?已知點(diǎn)A(-3,0)和點(diǎn)B(-1,-2),點(diǎn)C是橢圓?x?2?4?+?y?2?3?=1上一點(diǎn),求△ABC的面積的最小值.

    13.?將與190互質(zhì)的所有正整數(shù)從小到大排成一列,求第2017個數(shù).

    14.?空間四邊形ABCD中,AB=1,BC=2,CD=3,若AC⊥BD,求AD.

    15.?已知函數(shù)f(x)=x?2-2ax+a?2-1,若關(guān)于x的不等式f(f(x))≤0的解集中有且只有一個元素,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

    16.?已知拋物線C:y?2=2px(p是大于0的常數(shù))的焦點(diǎn)為F,直線l:2x-y-6=0與拋物線C交于兩點(diǎn)A、B,若?FA??·?FB??=0,求p的值.

    17.?已知點(diǎn)P是函數(shù)y=?e??x的圖象上一點(diǎn),曲線y=?e??x在點(diǎn)P處的切線l與直線x=1,x=2及x軸圍成一個梯形,求該梯形的面積的最大值.

    18.?如圖2,足球的球皮由x塊相同的正五邊形和y塊相同的正六邊形皮子縫制而成,已知x+y=32,求x的值.

    19.?已知正數(shù)a,b,λ使得不等式??a?2?a?2+b?2??+?λ??b?a+b???≤?3?2??2?恒成立,求λ的最大值.

    20.?設(shè)f(x)=∑?2017?k=1???x?k!??,其中[x]表示不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù).若方程f(x)=n(1≤n≤2017且n為偶數(shù))有解,求n的個數(shù).

    (注:∑?2017?k=1???x?k!??=??x?1!??+??x?2!??+…+??x?2017!??)

    接力賽

    1A??.設(shè)等差數(shù)列{a?n}的前n項(xiàng)和為S?n,若a?1=1,公差d=2,S??m+2?-S?m=36,求m.

    1B??.設(shè)前面隊(duì)友傳來的答案是T.

    已知正三棱錐的側(cè)面均為面積為T的直角三角形,求該正三棱錐的外接球的表面積.?(π取3)

    2A.??求|x-2|+|x-1|+|y|=3表示的曲線所圍成的區(qū)域的面積.

    2B.??設(shè)前面隊(duì)友傳來的答案是T.

    已知點(diǎn)P是半徑為T的球O上一點(diǎn),過點(diǎn)P作該球的三條兩兩垂直的動弦PA、PB、PC,求點(diǎn)P到平面ABC的距離的最大值.

    3A.??已知ab>0,a+b=ab,求?a?1+a?+?b?1+b?的最小值.

    3B??.設(shè)前面隊(duì)友傳來的答案是T.

    在xOy平面內(nèi),過拋物線x?2=2py(p>0)的焦點(diǎn)F作傾斜角為60?°?的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn),若△OAB的面積為T,求p.

    個人賽

    1.?已知?2?介于?n+4?n+2?與?n+3?n+1?之間,求正整數(shù)n的值.

    2.?已知函數(shù)f(x)=|x+1|+|x-1|+??1?2?(?e??x+?e???-x?)?(x∈?R?)??,求f(x)的最小值.

    3.?已知橢圓C的兩個頂點(diǎn)及兩個焦點(diǎn)圍成一個正方形,求橢圓C的離心率.

    4.?若數(shù)列{a?n}滿足

    a??n+1?=?2a?n,??0≤a?n

    若a?1=?2?7?,求a??2017?的值.

    5.?已知直角△ABC的面積為?1?2?,求△ABC周長的最小值.

    6.?設(shè)[x]表示不超過x的最大整數(shù),求[?lg?1]+[?lg?2]+[?lg?3]+…+[?lg?2017]的值.

    7.?求三角函數(shù)式?tan?225°+2tan25°tan40°?的值.

    8.?在長方體ABCD\|A?1B?1C?1D?1中,AB=BC=2,AA?1=1,求異面直線AC?1與BB?1所成的角的余弦值.

    9.?已知正整數(shù)數(shù)列{x?n}滿足x??n+2?=x?n+x??n+1?(n∈?N??*),若x?6=61,求質(zhì)數(shù)x?1的最大值.

    10.?點(diǎn)M是橢圓?x?2?8?+?y?2?4?=1上一點(diǎn),點(diǎn)F是橢圓右焦點(diǎn),已知點(diǎn)P(2,1),求?2?|MF|+|MP|的最小值.

    11.?一個長方體相鄰三個面的面積分別為12、48、36,求該長方體外接球的表面積.(π取3)

    12.?求方程x?3+6x?2+5x=y?3-y+2的整數(shù)解(x,y)的個數(shù).

    13.?點(diǎn)P是單位圓O上的一點(diǎn),A?1A?2…A??2017?是圓O的內(nèi)接正2017邊形,求

    PA??2??1+PA??2??2+…+PA??2???2017?.

    14.?已知x?1=2,對任意n∈?N??*,x??n+1?=?x??2??n?x?n+1?,求∑?2017?n=1??x?n?x?n+1?的整數(shù)部分.

    參考答案

    團(tuán)體賽

    1.?a?1a?2-a?2a?3+a?3a?4-a?4a?5+…+a??17?a??18

    =a?2(a?1-a?3)+a?4(a?3-a?5)+…+

    a??16?(a??15?-a??17?)+a??17?a??18

    =-4(a?2+a?4+a?6+…+a??16?)+a??17?a??18

    =-4×?(a?2+a??16?)×?16?2??2?+a??17?a??18

    =-16×(5+33)+35×37

    =-608+1295

    =687.

    2.??f(x)=?4·2?x+2?2?x+1

    =?(2?x-1)+(3·2?x+3)?2?x+1

    =?2?x-1?2?x+1?+3.

    令g(x)=?2?x-1?2?x+1?,易知

    g(x)是[-4,4]上的奇函數(shù),

    若g(x)在[-4,4]上的最大值是a,

    則?g(x)在[-4,4]上的最小值是-a,

    所以?M=a+3,m=-a+3,

    故?M+m=6.

    3.?如圖3,由AF=2EF,知?F為AE的三等分點(diǎn),

    易知?三棱錐F\|ABD與三棱錐E\|ABD的體積之比為?2∶3?.

    設(shè)V??E\|ABD?=V,則

    V??F\|ABD?=?2?3?V,

    V??F\|DBE?=V??E\|ABD?-V??F\|ABD?=V-?2?3?V=?1?3?V,

    又?V?=V??E\|ABD?=?1?3?S??△ABD?·AA?1

    =?1?3?×?1?2?×4×2×3=4,

    所以三棱錐F\|DBE的體積為

    1?3?V=?1?3?×4=?4?3?.

    4.?將題設(shè)方程組?a(4-b)=4,b(4-c)=4,c(4-a)=4.?變形,得

    a=?4?4-b?,b=?4?4-c?,c=?4?4-a?.

    代入消元,得

    a?=?4?4-b?=?4?4-?4?4-c??=?4-c?3-c

    =?4-?4?4-a??3-?4?4-a??=?12-4a?8-3a?,

    即?a=?12-4a?8-3a?,

    所以?3a?2-12a+12=0,

    即?a?2-4a+4=0,

    即?(a-2)?2=0,a=2.

    于是?c=?4?4-a?=2,b=?4?4-c?=2,

    故?a+b+c=6.

    5.?函數(shù)f(x)=ax?2+bx+c上下左右平移,不改變首項(xiàng)系數(shù)大小.

    不妨設(shè)函數(shù)在區(qū)間[-1,1]的取值范圍為[0,1].

    分別令x=-1,0,1,

    0≤a-b+c≤1,??①

    0≤c≤1,??②

    0≤a+b+c≤1,??③

    ①+③,得?0≤2a+2c≤2,??④

    由②、④,得?2a≤2,

    即?a≤1,

    故?a能取到的最大值為1.

    6.?不妨設(shè)此圓為單位圓.

    當(dāng)D點(diǎn)在線段OB上時,

    設(shè)OD=x(0≤x≤1),則

    BD=1-x,AD=1+x,

    CD=?AD·BD?=?1-x?2?.

    顯然,此時AD是三邊中較大者,要使此三角形為銳角三角形只須

    AD?2

    即?(1+x)?2<(1-x)?2+(1-x?2),??①

    且?1+x

    由①和0≤x≤1,得

    0≤x

    由②和0≤x≤1,得

    0≤x

    因?yàn)??5?-2

    所以?0≤x

    由對稱性知,線段AD,BD,CD可以構(gòu)成銳角三角形的概率為

    (?5?-2)×2?2?=?5?-2.

    7.?由題設(shè)可知f(0),f(1),f(-1)為t=t?3的三個不同實(shí)根,

    又?t=t?3,

    即?t(t-1)(t+1)=0,

    解得?t=0,1或-1.

    因?yàn)?f(x)是連續(xù)函數(shù),

    所以??f(-1)=-1,f(0)=0,f(1)=1,?或?f(-1)=1,f(0)=0,f(1)=-1.

    故?[f(-1)+f(1)]?2-f(0)=0.

    8.?不妨設(shè)a>b>c>d,則

    a≥4,b≥3,c≥2,d≥1.

    于是有?bcd≥6,cda≥8,

    dab≥12,abc≥24.

    從而??a+b+c+d?abcd

    =?1?bcd?+?1?cda?+?1?dab?+?1?abc

    ≤?1?6?+?1?8?+?1?12?+?1?24

    =?5?12?,

    所以??abcd?a+b+c+d?≥?12?5?,

    當(dāng)且僅當(dāng)a,b,c,d分別取值1,2,3,4時等號成立.

    故當(dāng){a,b,c,d}={1,2,3,4}時,?abcd?a+b+c+d?取得最小值?12?5?.

    9.?方程?x+?x?2?x+1??+?x??x+1??=x+1,?①

    兩邊同乘以?x+?x?2?x+1??-?x??x+1??,得

    x+?x?2?x+1??+?x??x+1???·

    x+?x?2?x+1??-?x??x+1

    =(x+1)??x+?x?2?x+1??-?x??x+1???,

    即??x+?x?2?x+1??-?x??x+1??=?x?x+1?,??②

    ①-②,得??2x??x+1??=x+1-?x?x+1?,

    即??2x??x+1??=?x?2+x+1?x+1?,

    2x?x+1?=x?2+x+1,

    (x-?x+1?)?2=0,

    所以?x=?x+1?(x>0),

    即?x?2-x-1=0,

    解得?正實(shí)數(shù)x=?1+?5??2?.

    10.?由{a?n}與{b?n}是等差數(shù)列可設(shè)

    S?n=A?1n?2+B?1n,T?n=A?2n?2+B?2n.

    于是??S?n?T?n?=?A?1n?2+B?1n?A?2n?2+B?2n?=?A?1n+B?1?A?2n+B?2?,

    由于以上分式約去公因式n所得,故可設(shè)

    S?n?=kn(A?1n+B?1)=kn(2n+4)

    =2kn?2+4kn.

    同理?T?n=kn(3n-1)=3kn?2-kn.

    又?a?6?=S?6-S?5=(72k+24k)-(50k+20k)

    =26k,

    b?5?=T?5-T?4=(75k-5k)-(48k-4k)

    =26k,

    所以??a?6?b?5?=1.

    11.?引入待定系數(shù)λ>0.

    a+?ab??=a+?λa·?b?λ

    ≤a+?1?2??λa+?b?λ

    =?2+λ?2?a+?1?4λ?·2b,

    當(dāng)?2+λ?2?=?1?4λ?,即2λ?2+4λ-1=0,解得

    正數(shù)λ=??6?-2?2?,

    于是??2+λ?2?=?1?4λ?=??6?+2?4?,

    所以?a+?ab?≤??6?+2?4?(a+2b)=?2+?6??4?,

    故?a+?ab?的最大值為?2+?6??4?.

    12.?由點(diǎn)A(-3,0),B(-1,-2),得

    AB=2?2?,

    直線AB的方程為?x+y+3=0.

    設(shè)C(2?cos?θ,?3??sin?θ),則

    點(diǎn)C到直線AB的距離為

    |2?cos?θ+?3??sin?θ+3|??2??,

    所以△ABC的面積

    S?=?1?2?×2?2?×?|2?cos?θ+?3??sin?θ+3|??2

    =|2?cos?θ+?3??sin?θ+3|

    =|?7??sin?(θ+φ)+3|,

    其中??sin?φ=?2??7??,?cos?φ=??3??7?,

    故當(dāng)?sin?(θ+φ)=-1時,

    △ABC的面積取得最小值3-?7?.

    13.?190=2×5×19,

    從1到190中,與190互素的數(shù)有

    190-??190?2??-??190?5??-??190?19??+

    190?2×5??+??190?2×19??+??190?5×19??-??190?2×5×19

    =190-95-38-10+19+5+2-1

    =72(個),

    于是每190個數(shù)中都有72個數(shù)與190互素,并且循環(huán)出現(xiàn),

    又?2017÷72=28……1,

    即?2017恰好是第28個循環(huán)后的第一個數(shù),

    所以滿足題意的第2017個數(shù)是

    190×28+1=5321(其中5321與190互質(zhì)).

    14.??AC??·?BD???=?AC??(?BC??+?CD??)

    =?CA??·?CB??-?CA??·?CD??,

    又??CA??·?CB??=??CA???2+?CB???2-?AB???2?2?,

    CA??·?CD??=??CA???2+?CD???2-?AD???2?2?,

    從而??AC??·?BD??=??AD???2+?CB???2-?AB???2-?CD???2?2?.

    由題設(shè)可知?AC⊥BD,

    所以??AC??·?BD???=??AD???2+?CB???2-?AB???2-?CD???2?2

    =0,

    即??AD???2+?CB???2-?AB???2-?CD???2=0,

    將AB=1,BC=2,CD=3代入上式,得

    AD???2+2?2-1?2-3?2=0,

    即??AD???2=6,

    所以?AD=??AD???2?=?6?.

    15.?因?yàn)閒(x)?=x?2-2ax+a?2-1

    =[x-(a-1)][x-(a+1)],

    所以?f(x)≤0的解集為[a-1,a+1],

    由f(f(x))≤0,得?f(x)∈[a-1,a+1].

    由f(f(x))≤0的解集中有且只有一個元素,得

    有且只有一個x使得f(x)∈[a-1,a+1],

    所以?f(x)=a+1有唯一實(shí)數(shù)根,

    即二次方程x?2-2ax+a?2-a-2=0有兩個相等根,

    所以?Δ=4a?2-4(a?2-a-2)=0,

    解得?a=-2.

    故?實(shí)數(shù)a的取值范圍是{-2}.

    16.?聯(lián)立?2x-y-6=0y?2=2px?,消去y并整理,得

    2x?2-(12+p)x+18=0.

    設(shè)A(x?1,y?1),B(x?2,y?2),則

    x?1+x?2=?12+p?2?,x?1x?2=9,

    所以??FA??·?FB

    =?x?1-?p?2???x?2-?p?2??+y?1y?2

    =?x?1-?p?2???x?2-?p?2??+4(x?1-3)(x?2-3)

    =5x?1x?2-?12+?p?2??(x?1+x?2)+?p?2?4?+36

    =45-?12+?p?2??×?12+p?2?+?p?2?4?+36

    =9-9p,

    由?FA??·?FB??=0,得?9-9p=0,

    即?p=1.

    17.?設(shè)點(diǎn)P(t,?e??t).

    由y=?e??x,得?y′=?e??x,

    所以y=?e??x在點(diǎn)P處的切線l的方程為

    l:y=?e??y(x-t)+?e??t,

    于是有,l分別與直線x=1,x=2交于點(diǎn)

    (1,?e??t(2-t)),(2,?e??t(3-t)),

    所以梯形的面積

    S?=?1?2?[?e??t(2-t)+?e??t(3-t)]×1

    =??e??t(5-2t)?2?,

    又?S′=??e??t(3-2t)?2?,

    令S′=0,得?t=?3?2?<2,

    當(dāng)t0,即

    S=??e??t(5-2t)?2?在?-∞,?3?2??上單調(diào)遞增;

    當(dāng)t>?3?2?時,S′<0,即

    S=??e??t(5-2t)?2?在??3?2?,+∞?上單調(diào)遞減.

    所以?S≤?1?2??e?????3?2???5-2×?3?2??=?e?????3?2??,

    故?滿足題意的梯形的面積的最大值為?e?????3?2??.

    18.?設(shè)足球皮表面上的多邊形的頂點(diǎn)數(shù)是V,棱數(shù)是E.

    因?yàn)槊總€六邊形有6個頂點(diǎn),每個五邊形有5個頂點(diǎn),

    所以足球皮表面上的多邊形的頂點(diǎn)數(shù)是

    5x+6y=5x+6(32-x).

    另一方面,每個頂點(diǎn)都是3塊皮子的公共頂點(diǎn),所以總頂點(diǎn)數(shù)是3V,

    于是有?5x+6(32-x)=3V.??①

    又?每個六邊形有6條邊,每個五邊形有5條棱,

    所以足球皮表面上的多邊形的棱的總數(shù)是

    5x+6(32-x).

    另一方面,每條邊是兩塊皮子的公共棱,所以棱的總條數(shù)是2E,

    于是有?5x+6(32-x)=2E.??②

    由①,②,得?2E=3V.??③

    由多面體的歐拉公式:

    頂點(diǎn)數(shù)+面數(shù)-棱數(shù)=2,

    得?V+32-E=2,

    即?E=V+30,??④

    ④代入③,得?2(V+30)=3V,

    即?V=60.??⑤

    ⑤代入①,得?5x+6(32-x)=3×60,

    解得?x=12.

    19.?記?a?b?=x(x>0),

    則不等式??a?2?a?2+b?2??+λ??b?a+b??≤?3?2??2?可變?yōu)?/p>

    x?2?1+x?2??+λ??1?1+x??≤?3?2??2?.

    因?yàn)???x?2?1+x?2??+λ??1?1+x

    =?x??1+x?2??+?λ??1+x

    ≤?x???(1+x)?2?2???+?λ??1+x

    =??2?x?1+x?+?λ??1+x

    =?2?-??2??1+x?+?λ??1+x

    =?2?-?2???1?1+x?-??2?λ?2?1+x

    =?2?-?2???1??1+x??-??2??4?λ??2+??2??8?λ?2

    ≤?2?+??2??8?λ?2

    ≤?3?2??2?,

    當(dāng)且僅當(dāng)?1??1+x??=??2??4?λ且x=1,即x=1且λ=2時取等號成立,

    由?2?+??2??8?λ?2≤?3?2??2?,得?λ?2≤4,

    解得?0<λ≤2,

    故?滿足題意的λ的最大值是2.

    20.?由

    f(x)=∑?2017?k=1???x?k!??=∑?2017?k=1???[x]?k!??=f([x]),

    知f(x)=n有實(shí)數(shù)解當(dāng)且僅當(dāng)f(x)=n有整數(shù)解.

    對于整數(shù)x,有

    f(x+1)-f(x)

    =[x+1]-[x]+∑?2017?k=2????x+1?k!??-??x?k!???,

    所以?f(x)(x∈?Z?)單調(diào)遞增.

    因?yàn)?6!=720,7!=5040,

    所以?f(1176)?=∑?2017?k=1???1176?k!??=∑?6?k=1???1176?k!

    =1176+588+196+49+9+1

    =2019,

    f(1175)?=∑?2017?k=1???1175?k!??=∑?6?k=1???1175?k!

    =1175+587+195+48+9+1

    =2015,

    令0

    0

    因此,方程f(x)=n(1≤n≤2017且n為偶數(shù))有解時,n的個數(shù),即為

    {f(1),f(2),…,f(1175)}中偶數(shù)的個數(shù).

    又k>1時,有

    2m+1?k!??=??2m?k!??(2≤m≤2017),

    所以?f(2m+1)-f(2m)

    =1+∑?2017?k=2????2m+1?k!??-??2m?k!???=1,

    即?f(2m),f(2m+1)中恰有一個為偶數(shù),

    又?f(1)=1,f(2)=3,f(3)=4,…

    從而{f(1),f(2),…,f(1175)}中有偶數(shù)

    1175-1?2?=587(個).

    接力賽

    1A?.?S??m+2?-S?m?=a??m+2?+a??m+1

    =1+2(m+1)+1+2m

    =4m+4

    =36.

    所以?m=8.

    1B.??令正三棱錐為P\|ABC,其中△ABC為底面.

    易知,正三棱錐的側(cè)面均為面積是T的等腰直角三角形,

    從而?PA=PB=PC=?2T?.

    于是,該正三棱錐的外接球的直徑為

    2R=?PA?2+PB?2+PC?2?=?6T?.

    所以,該正三棱錐的外接球的表面積為

    S=4πR?2=π(2R)?2=6πT=18T,

    由設(shè)前面隊(duì)友傳來的答案,知

    T=8,

    所以,該正三棱錐的外接球的表面積為

    18T=18×8=144.

    2A.

    由|x-2|+|x-1|+|y|=3和?0≤|y|?,

    得?|x-2|+|x-1|≤3,

    解得?0≤x≤3.

    當(dāng)y≥0時,方程|x-2|+|x-1|+|y|=3轉(zhuǎn)化為函數(shù)

    y?=3-|x-2|-|x-1|(0≤x≤3)

    =?2x,2,6-2x,??(0≤x<1)(1≤x<2),(2≤x≤3)?????圖4

    顯然,方程

    |x-2|+|x-1|+|y|=3

    表示的曲線關(guān)于x軸對稱.

    于是,可以畫出該方程表示的整個曲線?(如圖4)?,其所圍區(qū)域的面積

    S=2×?1?2?×(1+3)×2=8.

    2B.??設(shè)PA=a,PB=b,PC=c,則有

    AB?2=a?2+b?2,

    BC?2=b?2+c?2,CA?2=c?2+a?2.

    S??△ABC

    =?1?2?AB·AC?sin?∠BAC

    =?1?2?AB·AC?1-?cos??2∠BAC

    =?1?2??AB?2·AC?2-(AB·AC?cos?∠BAC)?2

    =?1?2??AB?2·AC?2-?1?4?(AB?2+AC?2-BC?2)?2

    =??1?2??(a?2+b?2)(c?2+a?2)-?1?4?[(a?2+b?2)(c?2+a?2)-(b?2+c?2)]?2

    =?1?2??a?4+a?2b?2+b?2c?2+c?2a?2-?1?4?(2a?2)?2

    =?1?2??a?2b?2+b?2c?2+c?2a?2?.

    設(shè)點(diǎn)P到平面ABC的距離為h,則有

    V??P\|ABC?=?1?6?abc=?1?3?S??△ABC?·h,

    所以?h?=?abc?2S??△ABC

    =?abc??a?2b?2+b?2c?2+c?2a?2

    =?1???1?a?2?+?1?b?2?+?1?c?2

    ≤??a?2+b?2+c?2?9

    =??(2T)?2?9

    =?2?3?T.

    由前面隊(duì)友傳來的答案,知

    T=8,

    所以點(diǎn)P到平面ABC距離的最大值為

    2?3?T=?2?3?×8=?16?3?.

    3A.??因?yàn)閍b>0,a+b=ab,

    所以?(ab)?2?=(a+b)?2=(a-b)?2+4ab

    ≥4ab,

    即?ab≥4.

    于是??a?1+a?+?b?1+b??=?a(1+b)+b(1+a)?(1+a)(1+b)

    =?a+b+2ab?1+a+b+ab

    =?3ab?1+2ab

    =?3?2??1-?1?1+2ab

    ≥?3?2??1-?1?1+2×4

    =?4?3?,

    當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時,?a?1+a?+?b?1+b?取得最小值?4?3?.

    3B.??拋物線x?2=2py(p>0)的極坐標(biāo)方程為

    R=?p?1-?sin?θ?,

    其中,θ為拋物線上的點(diǎn)?P(x,y)?與焦點(diǎn)?0,?p?2??所連直線與x軸正方向夾角,R為拋物線上的點(diǎn)?P(x,y)?到焦點(diǎn)?0,?p?2??的距離.

    所以?|AB|=|AF|+|FB|

    =?p?1-?sin?θ?+?p?1+?sin?θ?=?2p??cos??2θ?,

    S??△OAB??=?S??△OAF?+S??△OBF??2

    =|OF|·?|AF|?cos?θ+|FB|?cos?θ?2

    =?p?4?·?2p??cos??2θ?·?cos?θ

    =?p?2?2?cos?θ?,

    即?p?2=2S??△OAB??cos?θ,

    將θ=60?°?,S??△OAB?=T=?4?3?代入,得

    p=?2×?4?3?×?cos60°??=?2?3??3?.

    個人賽

    1.?因?yàn)??n+4?n+2?=1+?2?n+2

    <1+?2?n+1?=?n+3?n+1?,

    所以?1+?2?n+2?

    即??2?n+2?

    有??2(?2?+1)?n+2??<(?2?-1)(?2?+1)

    2(?2?+1)?n+2?<1

    得?2?2?

    所以?正整數(shù)n=3.

    2.?因?yàn)?|x+1|+|x-1|

    =|x+1|+|1-x|

    ≥|(x+1)+(1-x)|

    =2,

    當(dāng)(x+1)(1-x)≥0,即-1≤x≤1時,等號成立.

    又??1?2?(?e??x+?e???-x?)≥1,當(dāng)x=0時等號成立.

    所以?f???min??(x)=f(0)=3.

    3.?由題設(shè)知,此橢圓的短軸長與焦距相等,即

    b=c,

    所以橢圓C的離心率為

    c?a?=?c??b?2+c?2??=?1??2??=??2??2?.

    4.?注意到

    a?1=?2?7?,a?2=?4?7?,a?3=?8?7?-1=?1?7?,

    a?4=?2?7?,a?5=?4?7?,a?6=?8?7?-1=?1?7?,

    顯然?數(shù)列{a?n}是周期T=3的周期數(shù)列,

    而?2017=3×672+1,

    所以?a??2017?=a?1=?2?7?.

    5.?設(shè)直角△ABC的三邊長分別為a,b,c,其中c為斜邊長,則

    a?2+b?2=c?2,且ab=1.

    于是?△ABC周長

    =a+b+c=a+b+?a?2+b?2

    ≥2?ab?+?2ab?=2+?2?,

    當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時等號成立,

    故?△ABC小值為2+?2?.

    6.?因?yàn)閷φ麛?shù)m,

    當(dāng)1≤m≤9時,有?[?lg?m]=0;

    當(dāng)10≤m≤99時,有?[?lg?m]=1;

    當(dāng)100≤m≤999時,有?[?lg?m]=2;

    當(dāng)1000≤m≤2017時,有?[?lg?m]=3,

    所以???[?lg?1]+[?lg?2]+[?lg?3]+…+[?lg?2017]

    =9×0+90×1+900×2+1018×3

    =4944.

    7.?三角變形,有

    tan?225°+2tan25°tan40°

    =(?tan25°+tan40°)?2-tam?240°

    =???sin(25°+40°)?cos25°cos40°????2-??sin?240°?cos?240°

    =???cos25°?cos25°cos40°???2-?sin?240°?cos?240°

    =?1??cos?240°?-?sin?240°?cos?240°??????圖5

    =??cos?240°?cos?240°

    =1.

    8.?如圖5,連接A?1C?1.

    因?yàn)?BB?1∥AA?1,

    所以?∠A?1AC?1是異面直線AC?1與BB?1所成的角.

    在?Rt?△A?1AC?1中,

    AC?1?=?AA??2??1+A?1C??2??1?=?AA??2??1+AC?2

    =?AA??2??1+AB?2+BC?2

    =?1?2+2?2+2?2

    =3,

    所以??cos?∠A?1AC?1=?AA?1?AC?1?=?1?3?.

    9.?設(shè)x?1=a,x?2=b.

    由x??n+2?=x?n+x??n+1?,知

    整數(shù)數(shù)列{x?n}的前6項(xiàng)分別為

    a,b,a+b,a+2b,2a+3b,3a+5b,

    又?x?1=a,是質(zhì)數(shù),

    所以滿足3a+5b=61的正整數(shù)的解(a,b)為

    (2,11),(7,8),(17,2),

    故?質(zhì)數(shù)x?1的最大值是17.

    10.?橢圓?x?2?8?+?y?2?4?=1的離心率

    e=?c?a?=??8-4???8??=?1??2??.

    作MN垂直右準(zhǔn)線于N,PQ垂直右準(zhǔn)線于Q.

    由橢圓定義,知

    |MN|=?1?e?|MF|=?2?|MF|.

    所以??2?|MF|+|MP|?=|MN|+|MP|

    ≥|PQ|=?a?2?c?-2

    =4-2=2,

    當(dāng)且僅當(dāng)P、M、Q三點(diǎn)共線,且M在P、Q之間時取等號.

    11.?設(shè)從一個頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱長分別為a,b,c,則有

    ab=12,bc=48,ca=36,

    解得?a=3,b=4,c=12,

    于是,該長方體外接球的直徑為

    2R=?a?2+b?2+c?2?=?3?2+4?2+12?2?=13,

    故該長方體外接球的表面積為

    S=4πR?2=(2R)?2π=169π=169×3=507.

    12.?方程x?3+6x?2+5x=y?3-y+2可化為

    x(x+1)(x+2)+3(x?2+x)

    =y(y-1)(y+1)+2,??(*)

    因?yàn)?三個連續(xù)整數(shù)的乘積是3的倍數(shù),

    所以?(*)式左邊是3的倍數(shù),

    而?(*)右邊除以3余2,這是不可能的.

    所以,原方程無整數(shù)解,即

    滿足題意的整數(shù)解(x,y)的個數(shù)是0.

    13.?PA??2??1+PA??2??2+…+PA??2???2017

    =?PA????2??1+?PA????2??2+…+?PA????2???2017

    =(?PO??+?OA???1)?2+(?PO??+?OA???2)?2+…+

    (?PO??+?OA????2017?)?2

    =2017?PO??+?OA????2??1+?OA????2??2+…+?OA????2???2017?+

    2?PO??·(?OA???1+?OA???2+…+?OA????2017?)

    =2017+1×2017

    =4034.

    14.?由x?1=2和x??n+1?=?x??2??n?x?n+1?,得

    x?n>0,

    x?n?x?n+1?=x?n?1-?x?n?x?n+1??=x?n-x??n+1?,??①

    于是?∑?2017?n=1??x?n?x?n+1?=∑?2017?n=1?(x?n-x??n+1?)

    =x?1-x??2018?=2-x??2018?.??②

    由①、②及x?n>0,知

    ∑?2017?n=1??x?n?x?n+1?<2.??③

    由①和x?n>0,知

    x?n>x??n+1?.

    由x?1=2,x??n+1?=?x??2??n?x?n+1?,得

    x?2=?4?3?,x?3=?16?21?,

    所以?x??2018?

    進(jìn)而有?∑?2017?n=1??x?n?x?n+1?=2-x??2018?>1,??④

    由③、④,得?1<∑?2017?n=1??x?n?x?n+1?<2,

    故?∑?2017?n=1??x?n?x?n+1?的整數(shù)部分是1.

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