切點(diǎn)弦方程的解法探究與推廣

宋波 陳文欽

【摘?要】??對(duì)2021年一道有關(guān)切點(diǎn)弦方程高考題求法的探究，從統(tǒng)一的思想高度思考問題，推出有統(tǒng)一表現(xiàn)形式的一組結(jié)論，是數(shù)學(xué)形式化與數(shù)學(xué)本質(zhì)的完美結(jié)合，使得有關(guān)高考題輕松獲解.

【關(guān)鍵詞】??高考;方程;探究;應(yīng)用

1?問題提問

題目???已知拋物線C：x?2=2py?（p>0）?的焦點(diǎn)為F，且F與圓M：x?2+（y+4）?2=1上點(diǎn)的距離的最小值為4.

（1）求p;

（2）若點(diǎn)P在M上，PA，PB是C的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，求△PAB面積的最大值.

本題是2021年高考數(shù)學(xué)全國(guó)乙卷理科第21題，是一道圓錐曲線壓軸題，以拋物線和圓為載體，以拋物線阿基米德三角形為背景，考查解析幾何的核心素養(yǎng)用代數(shù)方法解決三角形的面積最值問題.此題因涉及的知識(shí)點(diǎn)多，綜合性強(qiáng)，運(yùn)算繁雜，難度較大，故思路易有，結(jié)果難求.其中第（2）問的解法較多，在各種解法中，如何求出經(jīng)過A，B兩點(diǎn)的切點(diǎn)弦直線方程，是解決問題的突破口和關(guān)鍵.若能正確求出切點(diǎn)弦直線方程，就能順利表示出AB弦的長(zhǎng)和點(diǎn)P到直線AB的距離，從而輕松構(gòu)建△PAB的面積表達(dá)式，將問題轉(zhuǎn)化為復(fù)合函數(shù)求最值.

2?解法探究

下面對(duì)本題中切點(diǎn)弦直線方程的求法進(jìn)行探究.

解法1?判別式法

由（1）知?p=2，

拋物線C的方程為x?2=4y.

設(shè)P（x?0，y?0），切點(diǎn)A（x?1，y?1），B（x?2，y?2），

設(shè)切線PA的方程為y-y?1=k（x-x?1），

聯(lián)立?y-?1?4?x?2=k（x-x?1），x?2=4y，?消去y得

x?2-4kx+4kx?1-x??2??1=0，

因?yàn)?PA與拋物線C相切，

所以?Δ?=16k?2-4（4kx?1-x??2??1）

=4（2k-x?1）?2=0，

解得?k=?x?1?2?，

所以切線PA的方程為

y-y?1=?x?1?2?（x-x?1），

同理可得切線PB的方程為

y-y?2=?x?2?2?（x-x?2），

由點(diǎn)P（x?0，y?0）既在切線PA上，又在切線PB上知

y?0-y?1=?x?1?2?（x?0-x?1），

y?0-y?2=?x?2?2?（x?0-x?2），

故點(diǎn)A（x?1，y?1），B（x?2，y?2）滿足方程

y?0-y=?x?2?（x?0-x），

所以切點(diǎn)弦AB的直線方程為

y?0-y=?x?2?（x?0-x），

即?x?0x=2y+2y?0.

解法2?導(dǎo)數(shù)法

由（1）知?p=2，

拋物線C的方程為x?2=4y，

即?y=?1?4?x?2，則y′=?1?2?x.

設(shè)P（x?0，y?0），切點(diǎn)A（x?1，y?1），B（x?2，y?2），

則?k??PA?=?1?2?x?1，

所以切線PA的方程為

y-y?1=?x?1?2?（x-x?1），

同理可得切線PB的方程為

y-y?2=?x?2?2?（x-x?2），

由點(diǎn)P（x?0，y?0）既在切線PA上，又在切線PB上知

y?0-y?1=?x?1?2?（x?0-x?1），

y?0-y?2=?x?2?2?（x?0-x?2），

故點(diǎn)A（x?1，y?1），B（x?2，y?2）滿足方程

y?0-y=?x?2?（x?0-x），

所以切點(diǎn)弦AB的直線方程為

y?0-y=?x?2?（x?0-x），

即?x?0x=2y+2y?0.

3?引申推廣

由導(dǎo)數(shù)求曲線上切點(diǎn)處的切線方程的簡(jiǎn)捷性，得到啟發(fā)，在“定”、“變”相對(duì)且相互轉(zhuǎn)換的情況下，可推出圓錐曲線?（包括圓）?有關(guān)切線的一組“殊途同歸”的結(jié)論.

結(jié)論1???已知圓錐曲線的一般方程為Ax?2+Cy?2+Dx+Ey+F=0，過曲線上一點(diǎn)P（x?0，y?0）作曲線的切線，則切線方程為

Ax?0x+Cy?0y+D·?x?0+x?2?+E·?y?0+y?2?+F=0.

證明??由Ax?2+Cy?2+Dx+Ey+F=0兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得

2Ax+2Cyy′+D+Ey′=0，

即?y′=-?2Ax+D?2Cy+E?.

則曲線上點(diǎn)P（x?0，y?0）處的切線方程為

y-y?0=-?2Ax+D?2Cy+E?（x-x?0），

即?Ax?0x+Cy?0y+D·?x?2?+E·?y?2?-Ax??2??0-

Cy??2??0-D·?x?0?2?-E·?y?0?2?=0.

因?yàn)?點(diǎn)P（x?0，y?0）在曲線上，

所以?Ax??2??0+Cy??2??0+Dx?0+Ey?0+F=0，

即?-Ax??2??0-Cy??2??0=Dx?0+Ey?0+F，

代入得曲線上點(diǎn)P（x?0，y?0）處的切線方程為

Ax?0x+Cy?0y+D·?x?0+x?2?+E·?y?0+y?2?+F=0.

特別地：

（1）圓x?2+y?2+Dx+Ey+F=0?（D?2+E?2-4F>0）（或（x-a）?2+（y-b）?2=r?2）?上任意一點(diǎn)?P（x?0，y?0）?，則以P（x?0，y?0）為切點(diǎn)的切線方程為

x?0x+y?0y+D·?x?0+x?2?+E·?y?0+y?2?+F=0

（或（x?0-a）（x-a）+（y?0-b）（y-b）=r?2）?.

（2）橢圓?x?2?a?2?+?y?2?b?2?=1上任意一點(diǎn)P（x?0，y?0），則以P（x?0，y?0）為切點(diǎn)的切線方程為?x?0x?a?2?+?y?0y?b?2?=1.

（3）雙曲線?x?2?a?2?-?y?2?b?2?=1上任意一點(diǎn)P（x?0，y?0），則以P（x?0，y?0）為切點(diǎn)的切線方程為

x?0x?a?2?-?y?0y?b?2?=1.

（4）拋物線y?2=2px上任意一點(diǎn)P（x?0，y?0），則以P（x?0，y?0）為切點(diǎn)的切線方程為y?0y=px+px?0.

說明??對(duì)于焦點(diǎn)在y軸上的圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程也有類似的結(jié)論.

在“定”、“變”相對(duì)且相互轉(zhuǎn)換的情況下，若適當(dāng)改變結(jié)論1中的條件，則會(huì)得到與結(jié)論一形式完全相同的結(jié)論，于是就有了結(jié)論2.

結(jié)論2???已知圓錐曲線的一般方程為Ax?2+Cy?2+Dx+Ey+F=0，過曲線外一點(diǎn)P（x?0，y?0）作曲線的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)分別為A，B，則切點(diǎn)弦AB所在的直線方程為Ax?0x+Cy?0y+D·?x?0+x?2?+E·?y?0+y?2?+F=0.

證明??設(shè)切點(diǎn)A（x?1，y?1），B（x?2，y?2），

由結(jié)論1可得，以點(diǎn)A、B為切點(diǎn)的切線方程分別是

Ax?1x+Cy?1y+D·?x?1+x?2?+E·?y?1+y?2?+F=0，

Ax?2x+Cy?2y+D·?x?2+x?2?+E·?y?2+y?2?+F=0.

又?P（x?0，y?0）是兩條切線的交點(diǎn)，

故?Ax?1x?0+Cy?1y?0+D·?x?1+x?0?2?+E·?y?1+y?0?2?+F=0，

Ax?2x?0+Cy?2y?0+D·?x?2+x?0?2?+E·?y?2+y?0?2?+F=0.

這說明切點(diǎn)A（x?1，y?1），B（x?2，y?2）都滿足關(guān)于x，y的二元一次方程

Ax?0x+Cy?0y+D·?x?0+x?2?+E·?y?0+y?2?+F=0.

因?yàn)檫^兩點(diǎn)的直線方程是唯一的，故命題得證.

推論??過圓錐曲線的準(zhǔn)線上任一點(diǎn)作圓錐曲線的兩條切線，則切點(diǎn)弦所在的直線必過其準(zhǔn)線相應(yīng)的焦點(diǎn).

在“定”、“變”相對(duì)且相互轉(zhuǎn)換的情況下，若對(duì)結(jié)論2中的切點(diǎn)弦方程作更深入的探究，則會(huì)發(fā)現(xiàn)此方程其實(shí)質(zhì)是圓錐曲線外一點(diǎn)P（x?0，y?0）和切點(diǎn)弦所在直線上一點(diǎn)（x，y）這四個(gè)變量之間的內(nèi)在聯(lián)系.若將P（x?0，y?0）視為定點(diǎn)?（已知）?，將（x，y）看作動(dòng)點(diǎn)?（變量）?，則方程是圓錐曲線關(guān)于點(diǎn)P（x?0，y?0）的切點(diǎn)弦所在的直線方程.反之，若將（x，y）視為定點(diǎn)?（已知）?，將P（x?0，y?0）看作動(dòng)點(diǎn)?（變量）?，則方程就是經(jīng)過點(diǎn)（x，y）的各弦兩端點(diǎn)處的兩條切線的交點(diǎn)P（x?0，y?0）的軌跡方程.于是就得到了結(jié)論3.

結(jié)論3???已知圓錐曲線的一般方程為Ax?2+Cy?2+Dx+Ey+F=0，過平面上一點(diǎn)?P（x?0，y?0）??（除有心圓錐曲線的中心外）?作直線交圓錐曲線于A，B兩點(diǎn)，則圓錐曲線在A，B處的兩條切線的交點(diǎn)的軌跡方程為Ax?0x+Cy?0y+D·?x?0+x?2?+E·?y?0+y?2?+F=0?（當(dāng)點(diǎn)P（x?0，y?0）在圓錐曲線內(nèi)部時(shí)，交點(diǎn)的軌跡方程所表示的直線與圓錐曲線相離;當(dāng)點(diǎn)P（x?0，y?0）在圓錐曲線外部時(shí)，交點(diǎn)的軌跡方程所表示的直線在圓錐曲線外的部分）?.

證明??設(shè)交點(diǎn)M（x′，y′）為所求，

由結(jié)論2可得，圓錐曲線關(guān)于點(diǎn)M（x′，y′）的切點(diǎn)弦所在的直線方程為

Ax′x+Cy′y+D·?x′+x?2?+E·?y′+y?2?+F=0.

因?yàn)?點(diǎn)P（x?0，y?0）在此直線上，

所以?Ax′x?0+Cy′y?0+D·?x′+x?0?2?+E·?y′+y?0?2?+F=0.

這說明動(dòng)點(diǎn)M（x′，y′）滿足關(guān)于x，y的二元一次方程

Ax?0x+Cy?0y+D·?x?0+x?2?+E·?y?0+y?2?+F=0.

故命題得證.

推論??過圓錐曲線焦點(diǎn)的直線與圓錐曲線的交點(diǎn)處的兩條切線的交點(diǎn)軌跡是與其焦點(diǎn)相應(yīng)的準(zhǔn)線.

注??以上結(jié)論的證明從統(tǒng)一的思想高度來思考問題，通過對(duì)曲線方程求導(dǎo)得切線斜率，求出曲線的切線方程，在“定”、“變”相對(duì)且相互轉(zhuǎn)換的情況下，推出有統(tǒng)一表現(xiàn)形式的一組結(jié)論，是數(shù)學(xué)形式化與數(shù)學(xué)本質(zhì)的完美結(jié)合，證法簡(jiǎn)潔、大氣，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的形式美、簡(jiǎn)潔美與和諧統(tǒng)一之美.

4?應(yīng)用

例1????過點(diǎn)（3，1）作圓（x-1）?2+y?2=1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，則直線AB的方程為（?）

（?A?）2x+y-3=0.??（?B?）2x-y-3=0.

（?C?）4x-y-3=0.?（?D?）4x+y-3=0.??（2013年山東卷）

解??由結(jié)論2知，圓（x-1）?2+y?2=1關(guān)于點(diǎn)（3，1）的切點(diǎn)弦AB的直線方程為

（3-1）（x-1）+1·y=1，

即?2x+y-3=0，故選（?A?）.

例2???過原點(diǎn)O作圓C：x?2+y?2-6x-8y+20=0的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)分別為點(diǎn)P、Q，則線段PQ的長(zhǎng)為?.??（2009年湖北卷）

解??由結(jié)論2可得，圓C關(guān)于原點(diǎn)O的切點(diǎn)弦PQ所在的直線方程為3x+4y-20=0.

易知圓C的半徑r=?5?，圓心C（3，4），

則點(diǎn)C到直線PQ的距離為

d=?|3?2+4?2-20|??3?2+4?2??=1，

所以?|PQ|=2?r?2-d?2?=4.

例3???已知直線l：y=x+m，m∈?R?.

（1）若以點(diǎn)M（2，0）為圓心的圓與直線l相切于在y軸上的點(diǎn)P，求該圓的方程;

（2）若直線l關(guān)于x軸對(duì)稱的直線為l′，問直線l′與拋物線C：x?2=4y是否相切？??（2011年福建卷）

解??（1）設(shè)圓的方程為（x-2）?2+y?2=r?2，

由結(jié)論1知，過點(diǎn)P（0，m）的切線方程為

（0-2）（x-2）+my=r?2，

即?-2x+my+4-r?2=0，

該直線與直線l：x-y+m=0是同一條直線，

故??-2?1?=?m?-1?=?4-r?2?m?，

解得?m=2，r=2?2?，

所以圓的方程為（x-2）?2+y?2=8.

（2）設(shè)直線l′與拋物線C：x?2=4y相切于點(diǎn)

x?0，?x??2??0?4??，

則由結(jié)論1知，直線l′的方程為x?0x=2y+?x??2??0?2?，

即?x?0x-2y-?x??2??0?2?=0，

又直線l′的方程為y=-x-m，

即?x+y+m=0，

故??x?0?1?=?-2?1?=?-?x??2??0?2??m?，

解得?x?0=-2.

所以當(dāng)m=1時(shí)，直線l′與拋物線C相切;當(dāng)m≠1時(shí)，直線l′與拋物線C不相切.

例4???拋物線C?1：y=?1?2p?x?2?（p>0）?的焦點(diǎn)與雙曲線C?2：?x?2?3?-y?2=1的右焦點(diǎn)的連線交C?1于第一象限的點(diǎn)M.若C?1在點(diǎn)M處的切線平行于C?2的一條漸近線，求p=（?）

（?A?）??3??16?.?（?B?）??3??8?.?（?C?）?2?3??3?.?（?D?）?4?3??3?.??（2013年山東卷）

解??依題意知

C?1的焦點(diǎn)為?0，?p?2??，C?2的右焦點(diǎn)為（2，0），

則這兩點(diǎn)連線的方程為?x?2?+?2y?p?=1，

設(shè)該直線交C?1于第一象限的點(diǎn)為M（x?0，y?0），

由?x?2?+?2y?p?=1和y=?1?2p?x?2聯(lián)立解得

x?0=?p?p?2+16?-p?2?4?，

由結(jié)論1得C?1在點(diǎn)M處的切線方程為

x?0x=py+py?0，其斜率為?x?0?p?，

又C?2的一條漸近線的斜率為??3??3?，

由切線平行于漸近線得?x?0?p?=??3??3?，

即???p?2+16?-p?4?=??3??3?，

解得?p=?4?3??3?，故選（?D?）.

例5???已知A（-2，3）在拋物線C：y?2=2px的準(zhǔn)線上，過點(diǎn)A的直線與C在第一象限相切于點(diǎn)B，記C的焦點(diǎn)為F，則直線BF的斜率為（?）

（?A?）?1?2?.?（?B?）?2?3?.?（?C?）?3?4?.?（?D?）?4?3?.??（2014年遼寧卷）

解??由A（-2，3）在拋物線C：y?2=2px的準(zhǔn)線上，

易得??p?2?=2，p=4，

所以?C：y?2=8x，

由結(jié)論2的推論可知

過A作C的兩條切線，切點(diǎn)弦直線過C的焦點(diǎn)F，

所以?切點(diǎn)弦直線為BF，

由結(jié)論2得拋物線C關(guān)于點(diǎn)A的切點(diǎn)弦直線BF的方程為3y=4x-8，

則直線BF的斜率為?4?3?.故選（?D?）.

例6???已知曲線C：y=?x?2?2?，D為直線y=-?1?2?上的動(dòng)點(diǎn)，過D作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B.

（1）證明：直線AB過定點(diǎn);

（2）若以E?0，?5?2??為圓心的圓與直線AB相切，且切點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，求該圓的方程.??（2019年全國(guó)卷Ⅲ）

解??（1）??證法1???設(shè)D?t，-?1?2??，

由結(jié)論2得，切點(diǎn)弦直線AB的方程為tx=y-?1?2?，

即?y=tx+?1?2?，

所以直線AB過定點(diǎn)?0，?1?2??.

證法2???因?yàn)辄c(diǎn)D在拋物線C的準(zhǔn)線y=-?1?2?上，

由結(jié)論2的推論知，切點(diǎn)弦直線AB過拋物線C的焦點(diǎn)?0，?1?2??.

（2）設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為M（x?0，y?0），

由結(jié)論1得，圓x?2+?y-?5?2???2=r?2的切線AB的方程為

x?0x+?y?0-?5?2???y-?5?2??=r?2，

即?y=?2x?0?5-2y?0?x+?25-10y?0-4r?2?10-4y?0?.

因?yàn)閳A的切線AB與曲線C的切點(diǎn)弦直線AB：y=tx+?1?2?是同一條直線，

所以??2x?0?5-2y?0?=t，??①

25-10y?0-4r?2?10-4y?0?=?1?2?.??②

設(shè)A（x?1，y?1），B（x?2，y?2），

由?y=tx+?1?2?，y=?x?2?2?，?得x?2-2tx-1=0，

則?x?1+x?2=2t，

y?1+y?2=t（x?1+x?2）+1=2t?2+1，

則?M?t，t?2+?1?2??，

所以?x?0=t，y?0=t?2+?1?2?，??③

①②③聯(lián)立，

當(dāng)t=0時(shí)，得y?0=?1?2?，r?2=4，

故所求圓的方程為x?2+?y-?5?2???2=4;

當(dāng)t≠0時(shí)，得y?0=?3?2?，r?2=2，

故所求圓的方程為x?2+?y-?5?2???2=2.

以上在“定”與“變”是相對(duì)且可以相互轉(zhuǎn)換的解析幾何觀點(diǎn)指導(dǎo)下，從求圓錐曲線的切線出發(fā)，推出了一組“殊途同歸”的“新”結(jié)論，對(duì)于有關(guān)高考的一些較難問題，得到了一些簡(jiǎn)易的解題方法，從中體會(huì)了導(dǎo)數(shù)求切線斜率的優(yōu)勢(shì)和解析幾何的“設(shè)而不求”、利用方程?（組）?思想解決問題的本質(zhì)和精髓.事實(shí)上，上述結(jié)論的推導(dǎo)和相關(guān)高考試題的簡(jiǎn)便解答，都引入和應(yīng)用了極點(diǎn)、極線和阿基米德三角形的有關(guān)性質(zhì)，所以在平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)注重?cái)?shù)學(xué)文化因素的融入，不僅能夠激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，還能從中豐富解題方法，進(jìn)而提高解題的效率和精度，達(dá)到事半功倍的效果.