線段最值問題的求解方法

鄭志強

求線段的最值問題一般以動態(tài)形式呈現，同學們常因難以掌握運動中的數量關系導致無從下手.其實，解答此類問題主要依據三個定理：（1）兩點之間，線段最短;（2）直線外一點與直線上所有點的連線中，垂線段最短;（3）三角形任意兩邊之和大于第三邊或三角形任意兩邊之差小于第三邊（三點共線時取得最值）.同學們只要認真分析、觀察圖形，根據不同的題型特征，依據上述三個定理就能找到解題途徑.

一、利用“垂線段最短”求線段最小值

在同一平面內，直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短.垂線段最短定理是破解線段最小值問題的基本策略之一.求線段的最值時，若所求線段長可轉化為求一點到某一直線的距離，則將之轉化為點到直線的距離，再利用“垂線段最短”定理，過該點作此直線的垂線，最后計算垂線段的長即可.

例1

分析：

解：

二、利用“兩點之間線段最短”求線段和最小值

兩點之間的所有連線中，線段最短.求兩條線段之和最小時，若已知的兩點在動點所在直線的同側，可將動點所在的直線當作對稱軸，作出其中一點的對稱點，再將另一點與這個對稱點連接，這樣把兩條線段的和變?yōu)橐粭l線段來研究，利用兩點之間線段最短，就可以得出答案.

例2

分析：

解：

三、利用三角形三邊關系求線段最大值

三角形的三邊關系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.我們在利用三角形三邊關系來解答最值問題時，構造出合適的三角形是解題的關鍵.一般情況下，需要找出兩條固定線段，與要求的線段構成三角形，這個三角形有兩條邊為定值，另外一邊即為待求線段，然后利用三角形三邊關系進行分析和解答.

例3

分析：取AB的中點D，連接CD.根據三角形的邊角關系得到OC小于等于OD+DC 只有當0、D及C共線時，OC取得最大值，最大值為OD+CD，根據勾股定理和直角三角形的性質即可得到結論.

解：

最值問題是一類常見問題，無論是在代數問題中還是幾何問題中，同學們都會碰到求最值的問題.在運用幾何中的性質、定理求解線段最值問題時，同學們要學會用運動與變化的眼光去研究和觀察圖形，把握運動中的不變量，針對題目特點，合理地利用“垂線段最短”“兩點之間，線段最短”等定理，將復雜的問題轉化為簡單的常見問題來解答.