例談基于深度教學理念的數(shù)學活動課教學

林金菊

深度教學理念是以發(fā)展性的教學價值觀、課程知識觀、學習觀、教學過程觀和學習環(huán)境觀為基礎，意在促進發(fā)展的一整套教學理念和教學策略。實施深度教學，引導學生深度學習，實現(xiàn)學科的育人功能，有利于發(fā)展學生的核心素養(yǎng)。

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》指出，通過義務教育階段的數(shù)學學習，學生逐步會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界、會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界、會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界（簡稱“三會”）。人教版初中數(shù)學教材在每章結束后均設有“數(shù)學活動”欄目，筆者通過挖掘教材中的內容，對適合“數(shù)學活動課”教學的內容進行整理、改編、補充、拓展、完善、再創(chuàng)造，把教材中靜態(tài)的文本變?yōu)榛顫娚鷦拥臄?shù)學活動課的素材，充分發(fā)揮此課型在培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)方面的育人價值。

一、添加梯度，促進學生的層進式學習

案例1：八年級下冊第十八章“實驗與探究”的切割正方形問題。

給你兩個大小不等的正方形，你能通過切割把它們拼接成一個大正方形嗎？（參考圖1）說明你的拼法的道理。

此內容很適合以活動課的形式開展圖形的切割拼接探究活動。如何切割、如何拼接，這是學生的困惑點。由于學生沒有這方面的經驗，如果直接讓他們操作，他們會無所適從。因此教師需要增加活動，并設置一系列的問題串，添加活動內容的梯度，讓學生能拾階而上，循序漸進地解決問題。

增加活動：如圖2，給你兩個大小相等的正方形，你能通過切割把它們拼接成一個大正方形嗎？你能提供幾種設計方案？

追問1：以上方案的共同點是什么？（從“大正方形面積是小正方形面積的2倍”推知“大正方形邊長是小正方形邊長的倍”，以此找到大正方形的邊長）

追問2：如圖3，如果原來的兩個小正方形邊長不等，又該怎么分割呢？如何表示這兩個正方形的邊長呢？剪拼得到的正方形面積和邊長又分別是多少呢？（設原來兩個正方形的邊長分別為a和b，則拼成的新正方形的邊長為、面積為a2+b2）

追問3：圖中有長度為的線段嗎？請你作出來。除此之外，還有長度為的線段嗎？（利用平移的思想，進一步發(fā)現(xiàn)圖形中隱藏的大正方形的邊）

追問4：以一條線段作為邊，怎樣作一個正方形？你有幾種作法？（以圖形中任何一條長度為的線段作正方形都能夠找出剪拼方案）

追問5：請對比新的正方形與原來的正方形，將重疊部分并做好標記，你能說出你的剪拼方案嗎？（教師邀請學生代表上臺展示剪拼方案如圖4、圖5）

教師增加了一個活動（邊長相等的兩個小正方形剪拼），學生初步感知剪拼的可行性，找到了問題關鍵點（依據(jù)總面積不變與勾股定理找出正方形的邊長），在問題串的引領下，嘗試剪拼，思考成功或失敗的原因，發(fā)現(xiàn)剪拼規(guī)律（依據(jù)邊作出正方形并找到重疊部分，將不重疊部分剪拼填空），展示分享自己的解決方案。在這個活動中，“學生的思維方式由簡到繁，由淺到深，依次轉化，層層遞進，其發(fā)展的各個階段是環(huán)環(huán)相扣、逐級上升的”，促進了學生的層進式學習，培養(yǎng)了學生的科學態(tài)度。

二、豐富厚度，促進學生的沉浸性學習

案例2：七年級上冊第一章“實驗與探究”的幻方探秘。

傳統(tǒng)課堂強調的是幻方的求解方法。而在數(shù)學活動課中，教師先介紹幻方起源于“洛書”：相傳，在夏禹治水時，洛水河中出現(xiàn)了一只巨大的神龜，背上刻有美妙的圖案，史稱洛書（如圖6）。我們用數(shù)字把龜背上的點表示出來，就成了幻方（如圖7）。學生欣賞洛書，了解幻方的歷史，增強民族自豪感。

教師引導學生觀察幻方，引出幻方和幻和的概念，并引申出三階幻方、四階幻方、五階幻方、六階幻方，接著學生在獨立思考、小組交流、合作探究、自主構造三階幻方后發(fā)現(xiàn)以下規(guī)律：（1）幻和=中間數(shù)×3;（2）與中間數(shù)對應的上下、左右、對角兩數(shù)的和=中間數(shù)×2。

然后，教師介紹幻方的其他構造法——楊輝斜排法（圖略），并補充：我國數(shù)學家楊輝早在公元13世紀就已經編制出3-10階幻方。

本活動增加了幻方的起源，讓學生感受到了祖國文化的深厚底蘊。借助有理數(shù)的運算探索規(guī)律，揭示三階幻方的本質特征，學生感受幻方的對稱美。在嘗試構造三階幻方中，學生體會數(shù)學知識的作用，提高了邏輯思維能力。最后的知識拓展（楊輝斜排法），豐富了內容的厚度，繼承和弘揚了中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，開闊了學生的視野，讓學生全身心投入探究活動中，促進了學生的沉浸性學習。

三、轉換角度，促進學生的整合性學習

案例3：九年級下冊第二十六章“數(shù)學活動”的杠桿原理。

杠桿原理亦稱“杠桿平衡條件”，是物理學力學定理之一。在物理教學中強調杠桿的概念、要素、分類、動態(tài)平衡分析以及應用等。

在數(shù)學活動課中，學生通過動手實驗、運用表格記錄結果、對比分析，發(fā)現(xiàn)杠桿平衡條件：動力×動力臂=阻力×阻力臂（用代數(shù)式表示為F1·L1=F2·L2）。題目已知F2=9.8，L2=25，則彈簧秤的示數(shù)F與距離L是反比例函數(shù)，即F=，根據(jù)已知條件得K=9.8×25=245，則 F=。最后，教師在計算軟件Geogebra上畫出F=的函數(shù)圖像并進行演示。

本活動中，教師整合了物理的杠桿原理、操作活動、記錄表格、計算軟件演示等資源，引導學生從函數(shù)的角度深刻體會彈簧秤的示數(shù)F與距離L兩個變量之間的一一對應關系，轉換了原問題在物理科目的思考角度，引導學生在跨學科的背景下用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界中事物的概念、關系和規(guī)律，幫助學生感悟數(shù)學與現(xiàn)實世界的聯(lián)系。

四、拓展廣度，促進學生的意義性學習

案例4：九年級上冊第二十五章“數(shù)學活動”。

關于概率初步知識，教材只設計了兩個活動：（1）在A、B、C三個區(qū)域的靶型圖形中隨機撒一把豆子，求事件“豆子落在區(qū)域C中”的概率;（2）從只含有一張黑桃的三張撲克牌中抽牌，用頻率估計抽到黑桃的概率。

傳統(tǒng)課堂并沒有放手讓學生操作，只是運用數(shù)學邏輯推理列舉其結果。課題組教師發(fā)現(xiàn)教材設計的這兩個活動還不夠說明用頻率估計概率的操作方法，也不夠貼近學生的生活，所以在處理教材時就增加了另外兩個活動，一個是求同學在罰球線上投籃投中的概率，另一個活動是重復多次拋一枚硬幣，驗證正面向上的概率是二分之一。于是，教師提前一周分組、布置活動任務，各組按分好的任務設計實驗步驟，并用課余時間反復多次試驗，收集試驗數(shù)據(jù)后進行分析整理計算，全過程錄像，并以小組為單位做好頻率估計概率的PPT課件，在課堂上進行活動匯報。

深度教學理論指出，“構筑知識學習與學生發(fā)展之間的意義關系，是深度教學的質的規(guī)定性”，增加的這兩個活動更貼近學生的實際生活，調動了他們參與活動的積極性。通過分組試驗，學生體會了用試驗法求概率的全過程，加深了對“從收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)到描述數(shù)據(jù)等統(tǒng)計過程每一步操作”的理解，感悟了用頻率估計概率的方法和現(xiàn)實意義，形成了數(shù)據(jù)觀念。學會用數(shù)學語言表達現(xiàn)實世界，促進了學生的意義性學習。

五、增加“前傳”，促進學生的生成性學習

案例5：七年級下冊第五章“兩平行線間的拐點”問題。

如圖8至圖12，已知AB//CD，請用含∠A、∠C的式子表示∠E。

學生在學習了相交線和平行線等知識后，遇到兩平行線間的拐點問題。傳統(tǒng)課堂上教師著重于題目的講解，至于這些圖形是怎么來的，學生無從得知。這個問題在活動課中又應該如何處理？教師應該增加數(shù)學探究活動，讓學生明晰研究內容的“來龍去脈”。

教師結合題目特點，自主開發(fā)教學用具（如圖12）：在一塊矩形的硬紙板上，畫出兩條平行直線AB∥CD，在點A、C處分別鉆一個小孔，穿上一條拉直的橡皮筋AC，這樣學具就做好了。課堂上，教師引導學生分析學具特點并思考：在AC上任取一點E，向不同的方向拉動點E，能得到幾種不同的圖形？你能把這些圖形進行分類嗎？新穎的學具，激發(fā)了學生的探究興趣，他們在實物模具上操作，動手動腦動筆，畫出了相應的圖形，并展示在黑板上。學生通過觀察發(fā)現(xiàn)，點E在兩直線的位置關系不同，導致圖形不一樣，于是圖形分類的問題迎刃而解。自主探究體驗到的成功感鼓舞了學生，提高了課堂學習效率。

生成性即建構性，是主體自我的建構過程，生成彰顯了教學的過程屬性和過程價值。學生在操作學具探究的過程中，通過觀察、比較、聯(lián)想、分析、歸納、大膽猜想和概括，識別了基本圖形，理清解題思路，體會圖形之間變化及聯(lián)系，提高了圖形建構能力。

六、續(xù)寫“后傳”，促進學生的理解性學習

案例6：八年級下冊第十七章“拓廣探索”的“螞蟻爬行圓柱體表面”問題。

圓柱體的底面周長為18cm，高AC為12cm ，一只螞蟻從A點出發(fā)，沿著圓柱的側面爬行到點B，試求出爬行的最短路程。（圖略）

此題目在傳統(tǒng)課堂教學中教師往往只是講授或者進行模型展示，學生被動接受和理解，但是把它設計成數(shù)學活動課，學生就可以對圓柱體模型進行動手操作，把圓柱體的側面展開成矩形，標注出A、B兩點，多次嘗試后，發(fā)現(xiàn)線段AB就是最短路徑（學生畫出線段AB后，還會把矩形重新卷回圓柱體模型，多次反復操作以驗證結果），再運用“勾股定理”解決問題。

接著，把上述活動中的圓柱體先后分別換成以下物體：（1）棱長為1cm的正方體盒子;（2）長、寬、高分別為6cm、3cm和12cm的長方體;（3）每一級的長、寬、高分別等于20cm、3cm和2cm的三級臺階。螞蟻沿著表面從A點爬行到B點的最短路程又是多少呢？

所謂數(shù)學思考，就是在遇到各種各樣問題情境時，能夠運用數(shù)學知識、數(shù)學方法和數(shù)學思想去分析、探究，從而發(fā)現(xiàn)其中存在的數(shù)學現(xiàn)象和數(shù)學規(guī)律，并運用數(shù)學知識和數(shù)學方法加以解決的過程。從圓柱體延伸到正方體、長方體和三級臺階，學生在對以上模型進行動手操作的過程中，體會到不變的是：需要把立體圖形轉化為平面圖形，再利用“兩點之間線段最短”和“勾股定理”解決問題。在這個過程中，學生體會到了轉化思想，鍛煉了分類討論的意識，提高了邏輯思維能力，豐富了數(shù)學活動經驗，拓展了知識廣度、深度和關聯(lián)度。

教師要尊重教材、理解教材、拓展教材、活用教材，讓教材成為數(shù)學活動課設計的重要素材及載體。開展數(shù)學活動課，引導學生通過動手操作、實踐活動等形式來學習數(shù)學、探究數(shù)學，并運用數(shù)學知識解決實際問題，有利于促進學生深度學習，提升學生數(shù)學核心素養(yǎng)。

責任編輯 羅 峰