注重整體設(shè)計(jì) 凸顯數(shù)與運(yùn)算的一致性

陳惠芳

摘要：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》確立了核心素養(yǎng)導(dǎo)向的課程目標(biāo)，強(qiáng)調(diào)課程內(nèi)容組織“重點(diǎn)是對(duì)內(nèi)容進(jìn)行結(jié)構(gòu)化整合，探索發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的路徑”，強(qiáng)調(diào)重視單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)：“體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系，以及學(xué)習(xí)內(nèi)容與核心素養(yǎng)表現(xiàn)的關(guān)聯(lián)?！苯虒W(xué)中，教師要從課堂實(shí)踐出發(fā)，選擇典型案例，重點(diǎn)凸顯素養(yǎng)導(dǎo)向下的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì);要突出結(jié)構(gòu)化、整體化，力求體現(xiàn)數(shù)與運(yùn)算的一致性。

關(guān)鍵詞：整體設(shè)計(jì);數(shù)與運(yùn)算;一致性

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）確立了核心素養(yǎng)導(dǎo)向的課程目標(biāo)，強(qiáng)調(diào)課程內(nèi)容組織“重點(diǎn)是對(duì)內(nèi)容進(jìn)行結(jié)構(gòu)化整合，探索發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的路徑，強(qiáng)調(diào)重視單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)“體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系，以及學(xué)習(xí)內(nèi)容與核心素養(yǎng)表現(xiàn)的關(guān)聯(lián)”。由此可見，素養(yǎng)導(dǎo)向下的數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐，尤其是小學(xué)階段的計(jì)算教學(xué)，教師要突出結(jié)構(gòu)化、整體化，要體現(xiàn)數(shù)與運(yùn)算的一致性。

一、打通關(guān)聯(lián)，凸顯理法相融

新課標(biāo)在課程目標(biāo)中強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，具體要達(dá)到“會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”這一要求。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有整體性、一致性和階段性。

例如，在教學(xué) “小數(shù)加法和減法”時(shí)，教師不妨可以從整數(shù)加、減法切入，使學(xué)生從“計(jì)算單位”角度重新認(rèn)識(shí)數(shù)，理解小數(shù)加減法的算理和算法，凸顯整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的理法相融。

新課伊始，教師可先讓學(xué)生回憶低、中年級(jí)時(shí)學(xué)過的“整十?dāng)?shù)加整十?dāng)?shù)30+20、一位小數(shù)加一位小數(shù)0.5+0.7，同分母分?jǐn)?shù)加減法[28]+[58]”，提出問題：它們的算法和算理是怎樣的？以喚醒學(xué)生的已有知識(shí)和解決問題經(jīng)驗(yàn)。

接著，教師可出示教材例題，根據(jù)其中文具店里筆記本、講義夾、水彩筆等商品的單價(jià)，讓學(xué)生嘗試提出不同的問題。教師出示兩個(gè)問題和相應(yīng)算式：一個(gè)講義夾和一本筆記本一共多少元？一個(gè)講義夾比一本筆記本多多少元？（4.75+3.4，4.75-3.4）

在學(xué)生嘗試探究時(shí)，教師指名兩個(gè)學(xué)生上臺(tái)板演：（如圖1）

在講評(píng)算理和算法時(shí)，教師可以讓學(xué)生說明理由，提問：第二種方法為什么是錯(cuò)的呢？你能用自己的方法進(jìn)行驗(yàn)證嗎？

生：我利用原有元、角、分的知識(shí)來進(jìn)行說明。4.75元，就是4元7角5分，3.4元就是3元4角，加起來，應(yīng)該是8元1角5分。

生：我利用圖形來擺一擺，先用正方形分別表示出4.75和3.4，然后相加。利用幾何直觀可以發(fā)現(xiàn)，百分位上是5，十分位上是7個(gè)十分之一加4個(gè)十分之一，就是11個(gè)十分之一。因此，向個(gè)位進(jìn)“1”，個(gè)位上“4和3合起來是7”，再加1就是8，結(jié)果也是8.15。

生：我要抓住“計(jì)數(shù)單位”來說明算理。4.75=4×1+7×0.1+5×0.01（就是4個(gè)1、7個(gè)0.1和5個(gè)0.01），3.4=3×1+4×0.1（就是3個(gè)1、4個(gè)0.1）。從這里可以看到，5個(gè)0.01就是0.05，7個(gè)0.1加4個(gè)0.1就是11個(gè)0.1（滿十進(jìn)一），就是1個(gè)1和1個(gè)0.1。整數(shù)部分，4個(gè)1加3個(gè)1，就是7個(gè)1，合起來一共是8個(gè)1，1個(gè)0.1，5個(gè)0.01。

此時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生觀察這3種不同的解題方法與之前學(xué)過的整數(shù)加減法有什么相同的地方，同時(shí)追問：計(jì)算小數(shù)加減法要注意些什么？通過觀察、比較，學(xué)生清晰地看到，小數(shù)加減法與整數(shù)加減法的算理算法是一致的：小數(shù)加減法要把小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊，這樣才能做到數(shù)位對(duì)齊。然后，教師引導(dǎo)學(xué)生重點(diǎn)從計(jì)數(shù)單位來分析、觀察，4.75和3.4分別表示什么意義？我們在計(jì)算時(shí)是如何相加的？這樣的分析與比較，一方面打通了“數(shù)域”之間的關(guān)聯(lián)，凸顯了算理算法的融通;另一方面，通過前面的復(fù)習(xí)導(dǎo)入到新課學(xué)習(xí)過程，學(xué)生經(jīng)過嘗試練習(xí)、觀察比較，對(duì)整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)加減法的計(jì)算一致性有了深刻體悟。

二、聚焦本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)經(jīng)驗(yàn)遷移

新課標(biāo)在第三學(xué)段的教學(xué)提示中指出：通過整數(shù)的運(yùn)算，感悟整數(shù)的性質(zhì);通過整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的運(yùn)算，進(jìn)一步感悟計(jì)數(shù)范圍在運(yùn)算中的作用，感悟運(yùn)算的一致性。小學(xué)階段的數(shù)與運(yùn)算主要包括整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)及其四則運(yùn)算，從橫向（數(shù)的認(rèn)識(shí)發(fā)展）與縱向（不同運(yùn)算發(fā)展）的聯(lián)系看，在“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”的教學(xué)中，教師可以幫助學(xué)生聚焦本質(zhì)，從整數(shù)除法、分?jǐn)?shù)意義、分?jǐn)?shù)乘法入手，理解分?jǐn)?shù)除法的意義和計(jì)算方法，實(shí)現(xiàn)經(jīng)驗(yàn)的有效遷移。

例如，教師在出示例題后，可以引導(dǎo)學(xué)生列出算式：[45]÷2 ，這個(gè)分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的題目，如何計(jì)算呢？教師請學(xué)生利用已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)先嘗試解決。接著，教師選擇了三份不同的作品進(jìn)行展示，讓三位“小老師”進(jìn)行講解。

生：如圖2，我把[45]升果汁化成800毫升，800÷2=400（毫升），400毫升=[25]升。

教師指名兩名學(xué)生上臺(tái)板演。

師：為什么想到把[45]化成[1215]呢？

生：因?yàn)?÷3除不盡，所以根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，把[45]先化成[1215]，12個(gè)[115]，平均分成3份，每份就是4個(gè)[115]。

教師對(duì)后一名學(xué)生的想法進(jìn)行了肯定，隨即呈現(xiàn)了“小數(shù)除法”中的例題，當(dāng)12除以5，第一次商是2余2的情況下，我們在余下的2后面添0 ，表示20個(gè)十分之一，繼續(xù)除下去， 20個(gè)十分之一除以5就是4個(gè)十分之一。所以，最后的商是2.4。

由此學(xué)生可得出，把整數(shù)除法的經(jīng)驗(yàn)遷移到小數(shù)除法、分?jǐn)?shù)除法，同樣是適用的（如圖6）。教師引導(dǎo)學(xué)生在觀察、比較中探究算法，進(jìn)一步聚焦計(jì)算的本質(zhì)，感悟從計(jì)算單位入手，就能很好地理解一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)，為什么等于它乘以這個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)。

縱觀小學(xué)階段的計(jì)算學(xué)習(xí)，新知一般是在已有知識(shí)基礎(chǔ)上進(jìn)行建構(gòu)的。通過整數(shù)除法、小數(shù)除法的回憶，可以喚醒學(xué)生對(duì)已有除法的認(rèn)識(shí)。當(dāng)學(xué)生在計(jì)算[45]÷2和[45]÷3時(shí)，自然會(huì)產(chǎn)生方法上的遷移。通過計(jì)算單位的細(xì)分，學(xué)生可以借助幾何直觀來探索和理解其算理，主動(dòng)生成算法，完成對(duì)一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)計(jì)算方法的意義建構(gòu)，并感受到“基于計(jì)算單位的視角，整數(shù)除法、小數(shù)除法、分?jǐn)?shù)除法在計(jì)算方法上具有一致性”的道理。

三、注重勾連，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)

運(yùn)算律是小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)中的重要內(nèi)容，利用運(yùn)算律可以幫助學(xué)生進(jìn)行簡便計(jì)算，提高運(yùn)算能力。蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材四年級(jí)下冊集中安排了加法交換律、結(jié)合律，乘法交換律、結(jié)合律、分配律。學(xué)生在初學(xué)這些內(nèi)容時(shí)，往往掌握得不錯(cuò)，但到期末復(fù)習(xí)階段或者小學(xué)六年級(jí)再來梳理運(yùn)算律時(shí)，在作業(yè)練習(xí)中往往出現(xiàn)很多錯(cuò)誤。通過調(diào)研，我發(fā)現(xiàn)造成這個(gè)問題的主要原因是在教學(xué)運(yùn)算律時(shí)，教師往往忽略了知識(shí)之間的勾連，學(xué)生獲得的是碎片化的理解，導(dǎo)致其對(duì)運(yùn)算律的理解不是很到位。如果站在一致性的角度，我們可以嘗試這樣來設(shè)計(jì)運(yùn)算律的教學(xué)。

例如，在教學(xué)“乘法分配律”時(shí)，教師可將其分為六個(gè)板塊有序推進(jìn)。

1.復(fù)習(xí)舊知。最近，老師帶領(lǐng)大家一起學(xué)習(xí)了加法、乘法的運(yùn)算律。你能用字母表示嗎？

加法交換律，加法結(jié)合律：。主要適用于加法運(yùn)算。

乘法交換律，乘法結(jié)合律。主要適用于乘法運(yùn)算。

請同學(xué)們猜想一下：加法和乘法之間是否也存在一種運(yùn)算律呢？你打算怎樣學(xué)？

2.創(chuàng)設(shè)情境。（情境一）慶祝“六一”節(jié)，學(xué)校給鼓號(hào)隊(duì)表演的33位同學(xué)，每人買了一套運(yùn)動(dòng)服，每件上衣75元，每件褲子45元。一共用了多少錢？

（情境二）學(xué)校擴(kuò)建一個(gè)長方形的花壇。原來花壇長6米，寬2米，擴(kuò)建后的長增加了3米，求現(xiàn)在花壇的面積是多少平方米？

學(xué)生嘗試練習(xí)、交流，教師引導(dǎo)學(xué)生通過圖形表征，分析每個(gè)算式的意義，并用文字表征的方法，初步歸納得到：75×33+45×33=（75+45）×33 ，（6+3）×2=6×2+3×2。有的學(xué)生嘗試用文字語言來描述：75×33加上45×33，等于75與45的和與33相乘;6與3的和與2相乘，等于6×2的積加上3×2的積。

此時(shí)，教師追問：“為什么每一個(gè)題目中左右兩個(gè)式子是相等的呢？（學(xué)生小組合作，嘗試進(jìn)行驗(yàn)證）”有的學(xué)生從實(shí)際意義來說明：33件上衣的價(jià)錢加上33件褲子的加錢，就等于33套運(yùn)動(dòng)服的總價(jià);而右邊花壇的面積，我們既可以看作兩個(gè)小長方形的和（用左邊原來長方形的面積加上增加部分的面積），也可以從整體看（用現(xiàn)在的長乘原來的寬）。有的學(xué)生從計(jì)算結(jié)果來驗(yàn)證，有的采用數(shù)形結(jié)合來驗(yàn)證……其中，一位學(xué)生進(jìn)行了這樣的推理：（6+3）×2=（6+3）+（6+3）=（6+6）+（3+3）=6×2+3×2。

基于這樣的分析，學(xué)生同樣可以根據(jù)（75+45）×33，得到33個(gè)75相乘加上33個(gè)34相乘……聯(lián)系乘法的意義去理解等式兩邊相等的道理。至此，無論從情境中的實(shí)際意義，還是從聯(lián)系圖形的幾何意及算理推導(dǎo)，到最后的乘法意義說明，學(xué)生都對(duì)兩個(gè)算式為什么左右相等，進(jìn)行了解釋和驗(yàn)證。

3.抽象概括。通過上面創(chuàng)設(shè)的情境，教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生把第一題、第二題的具體數(shù)字用字母來表示，再讓他們嘗試進(jìn)行總結(jié)，借助幾何直觀，用字母表征。這樣可幫助學(xué)生從更為一般的層面來完整理解乘法對(duì)于加法的分配律的意義。

4.回顧梳理。課始的復(fù)習(xí)環(huán)節(jié)，教師引導(dǎo)學(xué)生得到的猜想，已經(jīng)得到驗(yàn)證。那么，我們剛才是怎么學(xué)習(xí)的呢？師生一起總結(jié)方法，進(jìn)行鞏固練習(xí)。

5.縱橫勾連。教師啟發(fā)學(xué)生思考：在已往的學(xué)習(xí)中，哪些地方已經(jīng)運(yùn)用了乘法分配律？經(jīng)過討論交流，師生一起回憶：原來在三年級(jí)學(xué)習(xí)計(jì)算長方形、正方形的周長、兩位數(shù)乘一位數(shù)的口算以及兩位數(shù)乘兩位數(shù)乘法等內(nèi)容時(shí)，我們都已經(jīng)運(yùn)用了乘法分配律進(jìn)行簡便計(jì)算。

6.拓展聯(lián)想。既然乘法對(duì)加法有運(yùn)算律，那么，乘法對(duì)減法有運(yùn)算律嗎？基于上面的學(xué)習(xí)和思考，學(xué)生也不難自主進(jìn)行遷移。教師可引導(dǎo)學(xué)生觀察得到乘法對(duì)于減法的分配律，并從乘法意義的角度，再次進(jìn)行驗(yàn)證……

新課標(biāo)在“課程內(nèi)容”第二學(xué)段的教學(xué)提示中明確指出：通過實(shí)際問題和具體計(jì)算，引導(dǎo)學(xué)生用歸納的方法探索運(yùn)算律，用字母表示運(yùn)算律、感知運(yùn)算律是確定算理和算法的重要依據(jù)，形成初步的代數(shù)思維。上面的教學(xué)設(shè)計(jì)，教師在學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，縱向勾連，橫向生長，激活了新知與舊知之間的聯(lián)系;運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，采用多元表征的方式，讓學(xué)生充分理解了乘法分配律的意義，凸顯了乘法分配律與乘法其他運(yùn)算律實(shí)質(zhì)性的區(qū)別;發(fā)展了推理能力，建構(gòu)了模型思想，促進(jìn)了學(xué)生的主動(dòng)參與和深度學(xué)習(xí)。

參考文獻(xiàn)：

[1]王玉彬，姚穎.探索運(yùn)算本質(zhì) 構(gòu)建運(yùn)算聯(lián)系——數(shù)的運(yùn)算“一致性”的探索實(shí)踐與研究[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2022（9）.

[2]鞏子坤，史寧中，張丹.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂的新視角：數(shù)的概念與運(yùn)算的一致性[J].課程.教材.教法，2022（7）.

（責(zé)任編輯：楊強(qiáng)）