從知識的生長點與延伸點淺談簡約教學

鐘泳詩

【摘 要】大道至簡，簡約的教學才能充分提高學生的自我效能感，才能幫助學生更好地建立學科自信。簡約教學的實施本質在于對知識的生長點與延伸點的探索?！爸R從哪里來”和“知識將延伸到哪里去”是我們需要思考的問題。弄清楚“怎么承接”“怎么延伸”這兩個問題，再配合有效的課堂開展方式與追問引導技巧，“簡約”的教學目的就達到了。

【關鍵詞】簡約教學 生長點 延伸點

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》指出，在教學中要重視對教學內容的整體分析，幫助學生建立能體現(xiàn)數(shù)學學科本質、對未來學習有支撐意義的結構化的數(shù)學知識體系。一方面了解數(shù)學知識的產生與來源、結構與關聯(lián)、價值與意義，了解課程內容和教學內容的安排意圖;另一方面強化對數(shù)學本質的理解，關注數(shù)學概念的現(xiàn)實背景，引導學生從數(shù)學概念、原理及法則之間的聯(lián)系出發(fā)，建立起有意義的知識結構。這就要求教師注重研究知識的“生長點”與“延伸點”，把每堂課的知識置于整體知識的體系中，注重知識的結構和體系，處理好局部知識與整體知識的關系，引導學生感受數(shù)學的整體性。當學生不是在學習一個單一的知識點，而是在建構一座數(shù)學的知識大廈時，學生就不需要靠記憶去完成每節(jié)課的學習，而是可以更開放、發(fā)散地開展數(shù)學探索，從而減輕學習壓力。教師思考“知識的生長點”，根據學生知識的最近發(fā)展區(qū)設計課堂的導入方式，能幫助學生更簡單、直接地進入新知的探索中，達到簡約探索新知的目的;教師思考“知識的延伸點”，根據新知的內涵與外延，設計變式題或追問的“問題串”，可以幫助學生更快捷、根本地解決知識“是什么” “為什么” “怎么用”的三大問題，達到簡約獲取新知的目的。

一、挖掘最近發(fā)展區(qū)，簡化知識生長過程

我們必須了解學生的最近發(fā)展區(qū)，只有了解了學生的最近發(fā)展區(qū)，我們的導入才是直接的、簡單的。我們要給學生做好知識的承接工作，就要思考要接什么：一是接學生原有的學習狀態(tài)、學習基礎與學習習慣;二是接學生的真實生活與經驗;三是接新舊知識與方法，架設新舊知識、新舊方法之間的橋梁。

（一）舊知“接”新知

當新知的生長點是舊知的時候，我們要追溯學生已有的認知結構，幫助學生建立新舊知識之間的聯(lián)系，體現(xiàn)知識的一致性與整體性。例如，在學習加減計算時，如果脫離新舊知識聯(lián)系，單純講授整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)加減法的算法，那對學生來說，三套算法就是三倍的學習壓力。但是，只要厘清知識的生長點與延伸點，就能發(fā)現(xiàn)：小數(shù)和分數(shù)的加減法算理與整數(shù)的一致，都源于“加減計算時要統(tǒng)一計算單位”，結果都是為了“用統(tǒng)一的單位描述和差關系”。如此，學生在學習小數(shù)和分數(shù)加減法的時候就會豁然開朗，尤其在分數(shù)加減法中，學生就能明白分數(shù)加減法算理與整數(shù)是同源的，通分只是讓不同單位的分數(shù)統(tǒng)一單位的方法和手段，加減法計算的前提還是要統(tǒng)一計算單位。

對于從舊知過渡形成的新知，教師可以如何幫助學生做好知識的承接工作呢？教師需要利用類比、轉化等數(shù)學思想方法，幫助學生厘清新舊知識間的聯(lián)系，幫助學生找到最簡約、最直指根本的探索路徑，從舊知中遷移，獲得新知。例如：在教學“小數(shù)的初步認識（一）”時，教師要厘清在有分數(shù)的基礎上，為什么還要學習小數(shù)？小數(shù)和分數(shù)的聯(lián)系又是什么？它們的聯(lián)系是小數(shù)是分母為10、100、1000……的特殊分數(shù)，小數(shù)是滿足十進制的特殊分數(shù)。明白這個聯(lián)系后，就能發(fā)現(xiàn)小數(shù)的意義的生長點：分母是10、100、1000……的特殊分數(shù)意義，則分數(shù)的意義是小數(shù)意義的最近發(fā)展區(qū)。為此，我們做了以下學習前的知識準備：

三幅線段圖中分數(shù)的分母從普通分母到分母是10的特殊分母過渡，為學生后面理解小數(shù)是分母為10、100、1000……的特殊分數(shù)做鋪墊。這個導入，是為了讓學生通過回顧分數(shù)的意義，觀察分數(shù)中分母的區(qū)別，為下文繼續(xù)延伸小數(shù)的意義、小數(shù)與分數(shù)之間的關系提供了一條可觸碰、可猜想的便捷且指向學習目標的路徑。

在以上的例子中，知識的生長點是“舊知”。教師根據學生認知的最近發(fā)展區(qū)順勢設計符合學生認知規(guī)律的導入方式，從舊知到新知，讓學生體會知識的整體性與一致性，體會類比與轉化等數(shù)學思想方法。簡單、根本、開放的承接方式，讓所有學生都“有話可說”，提高了學生的自我效能感。

（二）生活“接”新知

當新知的生長點是生活規(guī)律的時候，我們要挖掘生活現(xiàn)象，幫助學生發(fā)現(xiàn)、總結生活規(guī)律，體會數(shù)學源于生活又應用于生活的學科特點。例如，在理解“兩點之間線段最短”這一公理時，如果脫離生活實際，單純構造模型進行講授，學生就比較難理解。但是，先挖掘這一公理的生長點——生活中的“最短路線”問題，再抽象、總結這一生活規(guī)律，學生便能更好地理解這一公理。

對于從生活中來的新知，教師如何幫助學生做好知識的承接工作呢？我們需要利用分類、抽象、歸納的數(shù)學思想方法把生活實例根據特征進行歸納，幫助學生體會新知和生活的聯(lián)系，從生活中抽象歸納新知模型。例如：在教學“線的認識”時，教師提供多種生活中的“線”讓學生進行分類，讓學生把不同類型的線用圖示的形式進行抽象，歸納不同類型的線的特征，從而認識“線段、射線與直線”。我們?yōu)閷W生提供了如下的生活背景作為感知儲備：

觀察下圖的線，進行分類并說明分類原因。

這樣的導入，挖掘了學生日常能接觸到的生活現(xiàn)象，是學生的最近發(fā)展區(qū)。教師讓學生直觀感受并引導學生理性抽象出不同現(xiàn)象的異同點。這樣簡單的生活例子，對于新知的探索來說，學生不僅有濃厚的探究興趣，而且有可嘗試、能思考的方法路徑。

二、思考知識內涵與外延，簡單達成知識延伸

了解了知識的來源，我們就要研究如何進行新知的延伸。如何讓大部分學生輕松、簡單地掌握知識？我們認為，首先要弄清楚知識的“三個點”，即矛盾點、模糊點、躍遷點。矛盾點就是本節(jié)課中新知與舊知之間的沖突或者新知與新知之間的沖突。矛盾點的突破，需要教師設計新舊知識之間的沖突，引發(fā)學生討論。模糊點就是新知中、概念里或者方法技巧上的一些容易混淆、出錯的地方。模糊點的整理，需要教師通過追問或者提供簡單的題目來幫助學生進行梳理。躍遷點就是可以讓學生舉一反三的知識的本質。躍遷點的感受，需要教師通過變式，讓學生體會知識的運用方法。

在傳統(tǒng)的課堂中，教師習慣于設計很多自己認為“環(huán)環(huán)相扣”的環(huán)節(jié)，一步一步指引著學生達成教學目標，再加以練習。上課前總覺得內容很多，擔心講不完，一直想著如何讓自己的語速更快，讓學生聽得更多;想著如何能讓學生順利地從這一個環(huán)節(jié)過渡到下一個環(huán)節(jié);還要想非常多的預設，生怕學生會卡在某個環(huán)節(jié)上過不去。這些設計，確實是環(huán)環(huán)相扣的串聯(lián)模式。但是，只要學生在一個環(huán)節(jié)上卡住，那么接下來的環(huán)節(jié)基本是不可能跳過的。這樣的過程，無疑使學生形成兩極分化。這種課堂對學生來說是一種壓力。

在我們追求的簡約課堂中，教師只要做好引領就可以了?！耙?，一是引領學生的學習方向;二是引發(fā)學生的學習興趣與學習需求;三是引起多維的對話。我們以“假設—驗證”作為矛盾點的激發(fā)手段，以小組討論和展示作為矛盾點的碰撞載體;以教師的追問和總結作為模糊點的厘清方法;以歸納特征和變式練習作為躍遷點的感悟途徑?？偟膩碚f，新知中，“三點”的梳理，是通過追問問題或者數(shù)學題目讓學生最直接地感受知識的本質。學生能最大限度地在問題中厘清知識的“樣子”，而不是教師一直在講知識長什么樣子。這樣的課堂是簡單愉悅的。

具體從下面的例子中看看如何做到簡約地“引”。在“合格率”的學習中，教師設計了以下環(huán)節(jié)：下表是質檢工人對甲、乙兩個牌子罐頭的抽查情況。你認為哪種罐頭質量更好？

通過抽查箱數(shù)一樣而合格箱數(shù)不一樣、合格箱數(shù)一樣而抽查箱數(shù)不一樣的產品，進行同分母或同分子大小比較，降低學習門檻，學生能夠很容易總結出比較方法：要比較質量優(yōu)劣，得先統(tǒng)一其中一項變量。這樣低門檻的引入給學生指明了探討方向。接下來，進行抽查箱數(shù)與合格箱數(shù)都不一樣的優(yōu)劣情況對比，從單一變量到多重變量的過渡，教師挖掘矛盾點使學生產生思維碰撞，引發(fā)學生的學習興趣與學習需求，學生很容易得出結論。

接下來，我們并沒有局限于討論任務求“合格率”或者用百分數(shù)來解決問題，而是改為開放的思路。學生可以用小數(shù)、分數(shù)、百分數(shù)等多種表示方法驗證自己的猜想，用任意的方法判斷產品優(yōu)劣，引發(fā)學生的多維對話。

最后，教師引導學生進行對比，發(fā)現(xiàn)用百分數(shù)形式更有利于進行大小比較。學習并感受了特殊百分數(shù)“合格率”后，教師總結“合格率的樣子”——“合格數(shù)量占產品總數(shù)量的百分之幾”，進而給出題目，延伸出“成活率” “發(fā)芽率” “出勤率”“出生率”等特殊百分數(shù)的意義與求解方法。

請同學們類比“罐頭合格率”，判斷正誤：

1.一批產品的合格率是200%。（）

2.同學們植樹，有99棵成活，1棵死亡，成活率是99%。? （）

3.某校六年級共有99個學生，今天全部到校上課，該校六年級今天的出勤率為99%。? ?（）

4.王師傅用400千克的油菜籽榨出菜籽油168千克，這批油菜籽的出油率是42%。? （）

這幾道題目的設計抓住“合格率”的本質進行延伸，讓學生深刻感受部分與整體之間的關系、感受“合格率”的求解方法。

整節(jié)課由教師提供問題背景并引領學生思考，學生自行猜想并驗證，以開放的思路獲取了最簡單本質的知識與方法。教師在教學過程中只是作為引領者，總結了使用百分數(shù)的便利。最后通過變式題達到“一通百通”，學生在學習時學到的不只是一個“合格率”，而是整體與部分的一種新的表示方法。這種新的表示方法不是孤立的新知識，而是相對于之前的小數(shù)、分數(shù)的表示方法而言的一種更加便利直觀的表示形式。

教師只有深刻分析每節(jié)課的“生長點”和“延伸點”，課堂才能真正地做到“簡約”。思考學生的最近發(fā)展區(qū)，有利于學生更直接地進行新知的探索，給學生提供一條切實可行的路徑。這樣生長起來的知識才不會是孤立的，而是系統(tǒng)的，系統(tǒng)的知識對學生來說才是簡單的。思考知識的內涵與外延，設計問題串追問知識的本質，可以幫助學生厘清知識，進而幫助學生了解知識“是什么” “怎么用”。只有讓學生明白知識的“樣子”與“應用途徑”的課堂才是高效的，對學生來說才是輕松的、有收獲的。