發(fā)展高中生數(shù)學(xué)高階思維的路徑思考

羅豐

數(shù)學(xué)高階思維是指學(xué)生通過(guò)題目中的各項(xiàng)已知條件找出隱含條件，再觀察數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，分析解題思路。對(duì)學(xué)生來(lái)講，既要有較高的邏輯思維能力，又要有挖掘能力，這樣才能利用已學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)順利解答數(shù)學(xué)問(wèn)題。

一、關(guān)注學(xué)生的空間想象能力

高中數(shù)學(xué)幾何知識(shí)有復(fù)雜的空間圖形，學(xué)生要利用空間想象能力解決題目。所謂空間想象是指人腦在對(duì)已知信息進(jìn)行處理和對(duì)比之后，轉(zhuǎn)變成已學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程。學(xué)生一定要有較強(qiáng)的空間想象能力，才能接受知識(shí)、利用知識(shí)。從某種程度上講，想象力比知識(shí)更加重要?，F(xiàn)階段，信息化技術(shù)手段已經(jīng)走進(jìn)教室，教師可以利用信息技術(shù)為學(xué)生創(chuàng)造直觀的數(shù)學(xué)空間知識(shí)，讓學(xué)生通過(guò)多媒體的幫助，迅速掌握關(guān)于幾何圖形的各類(lèi)空間問(wèn)題，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察，大膽發(fā)揮想象，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。

二、關(guān)注學(xué)生思維的簡(jiǎn)潔性

很多高中數(shù)學(xué)例題中有著復(fù)雜的已知條件，也包含一些干擾條件，學(xué)生在解答題目時(shí)，應(yīng)當(dāng)快速排除干擾項(xiàng)，找出有用的條件，這就要求學(xué)生具備一定的刪繁就簡(jiǎn)能力。學(xué)生可以發(fā)掘條件中的矛盾，從而做到思維上的簡(jiǎn)潔性，例如，函數(shù)f（x）=x2-4+x2+kx（x∈R）的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，-2），則k的取值范圍為（? ）。

分析：有的學(xué)生往往受導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)單調(diào)性的思維定式的影響，會(huì)聯(lián)想到用導(dǎo)數(shù)來(lái)解決本題，教師可以引導(dǎo)學(xué)生換種思維思考。首先，去絕對(duì)值符號(hào)可得f（x）=2x2+kx-4，x≥2或≤2kx+4，-2其次，“函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，-2）”這一條件學(xué)生應(yīng)當(dāng)如何更深刻地理解？教師可以將題目轉(zhuǎn)換成如下意思：已知（-∞，-2）為函數(shù)f（x）=x2-4+x2+kx（x∈R）的單調(diào)區(qū)間，k的取值范圍如何？學(xué)生經(jīng)過(guò)思考就會(huì)認(rèn)為不可以這樣轉(zhuǎn)化。因?yàn)樵}想表達(dá)的是（-∞，-2）為函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間，且函數(shù)f（x）只在這一區(qū)間上為單調(diào)減函數(shù)。結(jié)合函數(shù)圖象可知，對(duì)稱(chēng)軸x=-k/4在[-2，2]之間，于是可得出-2≤-k/4≤2且k>0，解得0

三、重視學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性

在解答高中數(shù)學(xué)題目時(shí)，學(xué)生要全面思考問(wèn)題，用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度對(duì)待每一項(xiàng)已知條件，這樣才能將所有的可能結(jié)果進(jìn)行分析，最終解答出正確答案。依靠思維的嚴(yán)謹(jǐn)性可以讓學(xué)生知其然，并且知其所以然，這也是教師在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中的重點(diǎn)內(nèi)容之一。如下例題中，已知函數(shù)f（x）=ax/（x2+1），g（x）=sin4x-cos4x，若對(duì)于任意的x1∈R均存在x2∈R，并令g（x2）=f（x1），則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_____。

分析：g（x）=sin4x-cos4x=-cos2x∈[-1，1]。由條件易知函數(shù)f（x）的值域應(yīng)為函數(shù)g（x）值域的子集。f（x）的定義域?yàn)镽，因此接下來(lái)應(yīng)求函數(shù)f（x）的值域。

解題方法1：

首先對(duì)x進(jìn)行分類(lèi)討論。

當(dāng)x=0或a=0時(shí)，f（x）=0。當(dāng)x>0時(shí)，f（x）=ax/（x2+1）=a·1/（x+1/x），

若a>0，則0