基于“三個(gè)理解”的冪函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)

晏鴻 符強(qiáng)如

摘? ?要：理解數(shù)學(xué)、理解教學(xué)、理解學(xué)生是提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的必備條件.指向 “三個(gè)理解”的冪函數(shù)教學(xué)，以學(xué)生抽象概括、動(dòng)手實(shí)踐、主題探究、參與梳理等方式，學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的基本函數(shù)-冪函數(shù)，梳理一般函數(shù)的內(nèi)容、方法和路徑，讓學(xué)生在融入函數(shù)這一套“話語” 方式"的進(jìn)程中，經(jīng)歷函數(shù)圖象與性質(zhì)的多種探究方式，體會(huì)數(shù)與形的緊密聯(lián)系，為后續(xù)研究其它函數(shù)打好基礎(chǔ)，更好地完善函數(shù)主線單元的方法體系、思想體系和知識(shí)體系.

關(guān)鍵字：冪函數(shù);圖像性質(zhì);數(shù)形結(jié)合

章建躍博士指出“三個(gè)理解”是教師專業(yè)水平和育人能力的集中體現(xiàn)，理解數(shù)學(xué)、理解教學(xué)、理解學(xué)生是提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量和效益的決定性因素，也是有效地提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的必備條件[ 1 ].“三個(gè)理解”對(duì)我們的教學(xué)具有指導(dǎo)性的意義，筆者基于“三個(gè)理解”對(duì)冪函數(shù)教學(xué)進(jìn)行評(píng)價(jià)、反思.

1? 基于“三個(gè)理解”的“冪函數(shù)”的認(rèn)識(shí)

1.1? 深度理解數(shù)學(xué)? 明確把握知識(shí)的來龍去脈

理解數(shù)學(xué)就是教給學(xué)生什么.在2019年人教A版高中數(shù)學(xué)教科書中冪函數(shù)位于必修第一冊(cè)第三章第三節(jié)，是本章“函數(shù)的概念及其表示”和“函數(shù)的基本性質(zhì)”的延續(xù)、拓展和應(yīng)用，也是后面研究“指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)”的模板示范，在高中函數(shù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)中具有承前啟后的功能.冪函數(shù)是一類重要的基本初等函數(shù)，實(shí)際生產(chǎn)生活及科學(xué)研究中涉及的很多函數(shù)都是由冪函數(shù)及其他基本初等函數(shù)進(jìn)行運(yùn)算、復(fù)合得到的. 從這個(gè)角度來說，冪函數(shù)的學(xué)習(xí)是在此基礎(chǔ)上的自然延伸.另一個(gè)角度來說，一方面，在學(xué)生系統(tǒng)學(xué)習(xí)了一般函數(shù)的概念、表示法和基本性質(zhì)之后，冪函數(shù)作為一類最基本的函數(shù)，承載著從一般到特殊應(yīng)用所學(xué)知識(shí)來研究和表達(dá)具體函數(shù)的功能;另一方面，冪函數(shù)作為高中階段學(xué)生研究的第一類具體函數(shù)，以冪函數(shù)作為載體，讓學(xué)生體會(huì)用函數(shù)圖像和代數(shù)運(yùn)算的方法研究函數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的重要方法;研究一類函數(shù)的內(nèi)容：定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性等;研究函數(shù)的基本思路：定義-表示-圖像與性質(zhì)-應(yīng)用[ 2 ]. 對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)其他函數(shù)起著一定的示范性作用.

1.2? 充分理解學(xué)生? 問學(xué)生所想 解學(xué)生所難

理解學(xué)生就是以學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)、認(rèn)知規(guī)律提出問題.本節(jié)課的授課對(duì)象是烏魯木齊市一批次高中的學(xué)生，在初中一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)掌握了三個(gè)最典型的冪函數(shù)y=x，y=x2，y=x-1，這個(gè)是教學(xué)的立足點(diǎn)，已經(jīng)熟悉研究具體函數(shù)的圖像、單調(diào)性、奇偶性等基本性質(zhì)的方法，具備一定的抽象推理和運(yùn)算能力.具備初步理解數(shù)形結(jié)合思想、數(shù)形轉(zhuǎn)化方法的重要作用，但是局限于僅從代數(shù)運(yùn)算或圖像直觀一方面來研究函數(shù)，然這些都為本節(jié)課提供了充分的基礎(chǔ)知識(shí)和思想方法準(zhǔn)備.

通過學(xué)生動(dòng)手做題，讓學(xué)生感受冪的指數(shù)對(duì)函數(shù)圖像的影響，發(fā)現(xiàn)第一象限的分布規(guī)律及奇偶性間的關(guān)系，從而推廣到其他冪函數(shù)，這個(gè)是新知的生長(zhǎng)點(diǎn).然而對(duì)于研究一類函數(shù)的思路過程尚未形成框架和系統(tǒng)，要達(dá)成本節(jié)課的目標(biāo)，這些已有的知識(shí)、能力和經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)不可或缺，但由于研究目標(biāo)不明確，抽象出冪函數(shù)概念的素養(yǎng)不夠，所以還需要具備觀察、概括、抽象、推理等能力，能運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、類比歸納等數(shù)學(xué)思想，以及獨(dú)立思考、合作交流、反思質(zhì)疑等良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣.

1.3? 深刻理解教學(xué)? 在問題引導(dǎo)中滲透思想方法

理解教學(xué)就是要把握教學(xué)的基本規(guī)律，按教學(xué)規(guī)律辦事兒[ 1 ].學(xué)生在初中階段學(xué)習(xí)過一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)，對(duì)于函數(shù)的研究積累了一定的經(jīng)驗(yàn)，但缺乏方法的梳理和總結(jié). 本節(jié)課先引導(dǎo)學(xué)生對(duì)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行梳理，總結(jié)出函數(shù)的研究?jī)?nèi)容、方法和路徑，為本節(jié)課的研究提供了方向，為后續(xù)指數(shù)對(duì)數(shù)三角函數(shù)的研究提供了路徑.初中階段，學(xué)生基本都是通過列表、描點(diǎn)作出函數(shù)的大致圖象，再根據(jù)圖象直觀感知函數(shù)的性質(zhì). 經(jīng)過前面的學(xué)習(xí)，學(xué)生掌握了用符號(hào)語言刻畫判斷函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的方法，也就是說可以直接通過代數(shù)運(yùn)算分析函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，這使得函數(shù)圖象與性質(zhì)的探究方式有了更多的可能.本節(jié)課中，教師引導(dǎo)體驗(yàn)y=x探究過程中感受數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化.

2? 教學(xué)過程及分析

2.1? 情境建模，引入新課

開場(chǎng)白 同學(xué)們，前面課程我們學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念、表示，以及用概念和對(duì)圖像觀察研究了函數(shù)的一些性質(zhì)，接下來我們研究一類新的函數(shù).研究函數(shù)一般路徑：概念-表示-性質(zhì)-應(yīng)用.

情境? 2020 年的春天注定難忘，新冠肺炎疫情打破了春節(jié)的寧?kù)o.艱難時(shí)刻，鐘南山院士、無數(shù)醫(yī)務(wù)人員、全國(guó)各地黨員干部、普通群眾紛紛走到前線，主動(dòng)請(qǐng)戰(zhàn);各地防疫物資第一時(shí)間運(yùn)輸?shù)轿錆h并且僅用十幾天時(shí)間相繼建成火神山、雷神山和十幾座方艙醫(yī)院，安置數(shù)以萬計(jì)的病人住院，創(chuàng)造了一個(gè)又一個(gè)奇跡.假設(shè)我們是武漢抗疫保障團(tuán)隊(duì)，要準(zhǔn)備抗疫場(chǎng)地、設(shè)施、物資等，在準(zhǔn)備中有如下問題需要同學(xué)們思考：

（1）如果某志愿者參加口罩的生產(chǎn)，每分鐘可以生產(chǎn)一只口罩，那么他生產(chǎn)的口罩?jǐn)?shù)p （ 只） 和時(shí)間w（ 分鐘） 之間有何關(guān)系？這里p是w的函數(shù)嗎？

（2）如果新建的方艙醫(yī)院占地為正方形，且邊長(zhǎng)為a，那么方艙醫(yī)院的占地面積S是多少？這里S是a的函數(shù)嗎？

（3）如果新建隔離室為正方體且棱長(zhǎng)為b，那么該隔離室的體積V是多少？這里V是b的函數(shù)嗎？

（4）如果方艙醫(yī)院正方形場(chǎng)地的面積為S，那么正方形的邊長(zhǎng)c是多少？這里c是S的函數(shù)嗎？

（5）如果防疫物資運(yùn)送車輛t秒內(nèi)行進(jìn) 1 km，那么車輛的平均速度v是多少？這里v是t的函數(shù)嗎？

師生活動(dòng)：其中，對(duì)于（5）中可以用v=t-1.對(duì)于（4）中c=也可以記作c=S;必要時(shí)可做這樣解釋=x，等式右邊x的次數(shù)和左邊x的系數(shù)都是1次，由于左邊是兩個(gè)相同的式相乘，那么這兩個(gè)數(shù)的次數(shù)一定是相同的，即都為次，即=x.

設(shè)計(jì)分析 函數(shù)是用來描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的. 從這一系列實(shí)際問題中，學(xué)生可以感受到數(shù)學(xué)源于生活，大千世界中許多變量關(guān)系可以用冪函數(shù)表示，讓學(xué)生體會(huì)到研究?jī)绾瘮?shù)的必要性.初高中階段學(xué)習(xí)的幾種函數(shù)都有著具體的實(shí)際背景. 冪函數(shù)是高中階段學(xué)習(xí)的第一類具體函數(shù)，從實(shí)際背景中抽象出冪函數(shù)的概念，對(duì)高中階段指對(duì)三角函數(shù)的研究具有示范作用.

問題1：觀察這些函數(shù)在解析式，他們的結(jié)構(gòu)上有什么共同特征？

追問1：5個(gè)函數(shù)解析式是否可以變換成以x為自變量，y為因變量的形式？

師生活動(dòng)：一起得到y(tǒng)=x、y=x2、y=x-1、y=x、y=x-1.老師可強(qiáng)調(diào)函數(shù)本質(zhì)是兩個(gè)數(shù)集之間的單值對(duì)應(yīng)，并非字母.學(xué)生通過觀察，發(fā)現(xiàn)一下特征：（1）底數(shù)在變，指數(shù)不變.（2）系數(shù)為1，形式都一樣，都是冪的形式，（xa的運(yùn)算結(jié)果叫做冪，必要時(shí)可以補(bǔ)充數(shù)學(xué)史上很早就借用“冪”字，起先用于表示面積，后來擴(kuò)充為表示平方或立方，清末大數(shù)學(xué)家李善蘭把“Power”這個(gè)詞譯為“冪”.這樣“冪”就轉(zhuǎn)譯為若干個(gè)相同數(shù)之積.（3）這些函數(shù)的函數(shù)值都是自變量的若干次方.

追問2：強(qiáng)調(diào)這幾個(gè)函數(shù)是研究?jī)鐇a隨底數(shù)x的變化而變化的規(guī)律，引入冪函數(shù)的定義： 一般地，y=xa函數(shù)叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，a是常數(shù).

設(shè)計(jì)分析? 先體會(huì)函數(shù)的本質(zhì)是兩個(gè)數(shù)集之間的單值對(duì)應(yīng)，而不同的符號(hào)或形式表示是非本質(zhì)的.從實(shí)際背景中抽象出數(shù)學(xué)模型是一個(gè)較難的思維過程，需要教師耐心引導(dǎo).學(xué)生經(jīng)歷并體會(huì)這個(gè)從眾多事物中抽取出共同的、本質(zhì)性的特征，舍棄非本質(zhì)性特征的抽象過程，對(duì)發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)有很大幫助.

2.2? 問題驅(qū)動(dòng)? 合作探究

2.2.1 梳理研究?jī)?nèi)容，明確研究路徑

問題 2：結(jié)合初中學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，我們應(yīng)該如何研究?jī)绾瘮?shù)？

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生回憶初中研究一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)的內(nèi)容、過程和方法.學(xué)生總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，歸納出研究具體函數(shù)的基本路徑：定義—圖象—性質(zhì)—應(yīng)用.

設(shè)計(jì)分析? 學(xué)生初中階段學(xué)習(xí)過一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)，初步積累了研究函數(shù)的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).調(diào)動(dòng)學(xué)生回憶初中研究函數(shù)的內(nèi)容、過程和方法，通過對(duì)這些基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的明確冪函數(shù)的研究路徑：定義—圖象—性質(zhì)—應(yīng)用，給后續(xù)課程中其他函數(shù)的研究做出示范.

追問1：如何作出冪函數(shù)y=xa的圖象？

師生活動(dòng)：發(fā)現(xiàn)冪函數(shù)y=xa是一類函數(shù)，指數(shù)a的取值不同，函數(shù)就不同，圖象也是不一樣的. 教師引導(dǎo)學(xué)生回憶初中探究正比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)時(shí)對(duì)參數(shù)的處理方式. 學(xué)生根據(jù)初中研究函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)想到從特殊到一般.對(duì)a取一些特殊值進(jìn)行研究，考查圖象是否存在規(guī)律性. 從a為正整數(shù)中選取較簡(jiǎn)單的，即y=x、y=x2、y=x3.從a為負(fù)整數(shù)中選取較簡(jiǎn)單的y=x，從分?jǐn)?shù)中選取較簡(jiǎn)單的，即y=x進(jìn)行研究.對(duì)于其他冪函數(shù)的圖象，讓學(xué)生課后自行探究.

設(shè)計(jì)分析? 引導(dǎo)學(xué)生以初中研究函數(shù)的基礎(chǔ)， 找到處理冪函數(shù)中參數(shù)的方法，確定從特殊到一般的研究思路.

追問2：作出具體函數(shù)圖象后可以研究哪些內(nèi)容？

師生活動(dòng)：學(xué)生回憶本章所學(xué)內(nèi)容，提出值域、單調(diào)性、奇偶性等，教師板書列表呈現(xiàn)研究?jī)?nèi)容，如表1所示.

設(shè)計(jì)分析? 梳理一個(gè)具體函數(shù)的研究?jī)?nèi)容并用表格呈現(xiàn)出來，也為學(xué)生建立研究具體函數(shù)的一般思路和構(gòu)建基本框架.

2.2.2 探究五個(gè)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)[ 3 ]

問題3：將函數(shù)y=x、y=x2、y=x-1的圖象和性質(zhì)填入表格相應(yīng)位置.如表2.

問題4：如何得到函數(shù)y=x3的圖象？如何探究函數(shù)y=x的圖象和性質(zhì)？

追問1：函數(shù)y=x圖像性質(zhì)能不能從前面所學(xué)通過代數(shù)運(yùn)算先得到函數(shù)y=x的一些性質(zhì)？

學(xué)生發(fā)現(xiàn)函數(shù)y=x的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，從而判斷出函數(shù)y=x為非奇非偶函數(shù).

追問2：那么單調(diào)性是否也可以直接判斷呢？用定義判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟是什么？

學(xué)生回憶前面所學(xué)知識(shí)，回答出“任取—作差—變形—斷號(hào)—結(jié)論”的步驟.進(jìn)而師生依照步驟判斷函數(shù)y=x的單調(diào)性.其中，“變形”這一步對(duì)學(xué)生而言是個(gè)難點(diǎn)，學(xué)生很難獨(dú)立想到“分子有理化”這方法，需要教師介紹.師生共同完成對(duì)函數(shù)單調(diào)性判斷.即函數(shù)的定義域是[0，+∞），?x1，x2∈[0，+∞），且x10，所以f （x1）< f （x2），即冪函數(shù)f （x）=在[0，+∞）上是增函數(shù).

追問3：根據(jù)函數(shù)的定義域、奇偶性和單調(diào)性，你能否畫出它的示意圖？完成表格3.

設(shè)計(jì)分析? 初中階段，學(xué)生大多數(shù)情況下只能通過圖象來直觀感知函數(shù)的性質(zhì). 高中學(xué)習(xí)用精確的符號(hào)語言定義了函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，學(xué)生可以直接通過函數(shù)的解析式分析函數(shù)的性質(zhì).也可以根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)分析圖象的特征，從而豐富了得到函數(shù)圖象的方法. 對(duì)函數(shù)y=x的圖象與性質(zhì)的教學(xué)設(shè)計(jì)，讓學(xué)生感受多種探究方式的特點(diǎn)，為今后更加靈活、高效地 研究具體函數(shù)做準(zhǔn)備.

2.2.3 探究?jī)绾瘮?shù)y=xa的性質(zhì)[ 3 ]

問題 5：通過對(duì)這五個(gè)函數(shù)的分析，我們發(fā)現(xiàn)他們的圖象和性質(zhì)有著各自的特點(diǎn)，那么它們作為一類函數(shù)，有沒有什么共性呢？我們將這五個(gè)函數(shù)的圖象放到同一坐標(biāo)系中觀察一下，有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

師生活動(dòng)：教師通過信息技術(shù)展示五個(gè)冪函數(shù)在同一坐標(biāo)系下的圖象.學(xué)生觀察圖象發(fā)現(xiàn)它們存在公共點(diǎn)，師生從數(shù)的角度說明這個(gè)點(diǎn)是所有冪函數(shù)的必過點(diǎn).學(xué)生還可能發(fā)現(xiàn)這五個(gè)函數(shù)圖象都經(jīng)過第一象限，都不經(jīng)過第四象限. 教師可以引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、漸近性等角度對(duì)這幾個(gè)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行梳理. 學(xué)生通過前面總結(jié)的表格容易猜想奇偶性方面：“a”為奇數(shù)的冪函數(shù)是奇函數(shù)，“a”為偶數(shù)的冪函數(shù)為偶函數(shù)”，證明留給學(xué)生課下完成.? 對(duì)于單調(diào)性方面：冪函數(shù)在（0，+∞）上的單調(diào)性，“a>0”冪函數(shù)在（0，+∞）上的單調(diào)遞增;“a<0”冪函數(shù)在（0，+∞）上的單調(diào)遞減.建議學(xué)生課后作出更多冪函數(shù)的圖象來進(jìn)一步驗(yàn)證猜想必要時(shí)加以計(jì)息技術(shù)論證.

設(shè)計(jì)分析? 冪函數(shù)作為一類函數(shù)，是否存在共性和規(guī)律呢？這是由特殊到一般的探究思路. 學(xué)生通過研究五個(gè)特殊冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)，容易對(duì)一般冪函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行猜想. 在這個(gè)過程中，學(xué)生從形到數(shù)，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決部分問題的過程，體會(huì)數(shù)與形的聯(lián)系.

3? 冪函數(shù)的應(yīng)用

問題6：利用冪函數(shù)的性質(zhì)，比較下列各題中兩個(gè)值的大小.

（1）（-1.5），（-1.4）;（2），;

4? 課堂小結(jié)

問題7：通過今天的學(xué)習(xí)，你認(rèn)為對(duì)一個(gè)新函數(shù)應(yīng)該研究哪些內(nèi)容？如何研究？

引導(dǎo)學(xué)生用簡(jiǎn)短語言歸納冪函數(shù)內(nèi)容：定義域，根式求;一象限，圖都有;

二和三，看奇偶;四象限，都沒有;正遞增，負(fù)遞減;都過 1，正過 0;奇偶性，看指數(shù);指奇奇，指偶偶。

師生共同歸納出研究具體函數(shù)性質(zhì)的方法：函數(shù)圖像.研究函數(shù)步驟：定義-表示-性質(zhì)-圖像-性質(zhì)-應(yīng)用

設(shè)計(jì)分析? 總結(jié)冪函數(shù)學(xué)習(xí)內(nèi)容，學(xué)生回顧研究函數(shù)的過程、內(nèi)容和方法，強(qiáng)化基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn). 用精確的符號(hào)語言定義函數(shù)的性質(zhì)后，體會(huì)函數(shù)圖象與性質(zhì)的研究方法，感受數(shù)與形的聯(lián)系更加密切，數(shù)與形的轉(zhuǎn)化更加靈活.

參考文獻(xiàn)：

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