估算：不可忽視的運算能力

張彩琴

[摘 要]學(xué)生估算能力的掌握和估算意識的形成，既需要長期的滲透與磨煉，又需要循序漸進式發(fā)展。學(xué)生的估算經(jīng)驗越豐富，對估算的策略運用得越熟練，就越能體會估算的樂趣和價值，進而形成一種自覺的計算本能，提高估算的創(chuàng)新力。

[關(guān)鍵詞]估算;精算;策略

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2022）14-0079-03

在人教版數(shù)學(xué)三年級教材中，有許多需要運用估算方法解決的應(yīng)用題。學(xué)生在做相關(guān)應(yīng)用題時，大部分都能認清題型，并根據(jù)題目的情境靈活選擇合適的方法進行估算，也能夠理解和掌握各種估算策略與技巧，對估算的實際用途也有較為深刻的認識。可一旦脫離具體的問題情境，面對純數(shù)字的計算題，即使數(shù)字的估算特征顯而易見，多數(shù)學(xué)生還是會視而不見，將估算拋到九霄云外。

究其根本，主要是三年級學(xué)生的估算意識還比較薄弱，估算對他們而言只是一種被動的硬性任務(wù)，沒有將其內(nèi)化為自己應(yīng)對復(fù)雜計算的一種有效工具。學(xué)生若是長期不運用估算，或者長期沒有從運用中體會到估算的便利，自然也就無法形成估算意識。對部分學(xué)生來說，估算是一種附加要求，即使一眼能夠看出精確值，也要例行估算，有的甚至根據(jù)精確值捏造一個估算值“交差”，學(xué)生的這些行為都是因為沒有真正領(lǐng)會估算的重要價值而產(chǎn)生的。面對以上現(xiàn)象，筆者節(jié)選了人教版數(shù)學(xué)第五冊“萬以內(nèi)的加法和減法（二）”“多位數(shù)乘一位數(shù)”這兩章進行估算教學(xué)策略的分析與研創(chuàng)，希望能夠?qū)V大同仁有所幫助。

一、估算問題該如何設(shè)計比較妥帖

以教材第38頁例3教學(xué)為例（如圖1），本例題是連續(xù)進位的加法計算，教材中特別提示了“298接近300，可以看作300來口算”。作為進入估算之前的預(yù)熱，這種提示本身暗示著估算的思想，可以有效減少學(xué)生計算的失誤。令人意想不到的是，在看到例題和提示后，全班30名學(xué)生中竟有28人直接選擇精算，僅有2名學(xué)生按照提示語使用估算。在學(xué)生全神貫注地精算時，如果筆者在旁邊反復(fù)提醒學(xué)生要看清題目要求的話，雖然能夠引起學(xué)生注意，轉(zhuǎn)而運用估算，但是這樣未免有粗暴干預(yù)之嫌，而且學(xué)生也不一定領(lǐng)情，他們被魯莽地打斷，雖然表面上不得不順從，但是未必心服，下次遇到類似題型依然我行我素。

解決策略：恰當?shù)馗膿Q例題中的提示語。

上述例題的出現(xiàn)，正好在學(xué)生學(xué)完連續(xù)進位加法后的“興奮期”，新鮮感猶在，一遇到這樣的題目，就抑制不住內(nèi)心的沖動，恨不能以最快的速度算出結(jié)果，這都是正常反應(yīng)。因此，筆者在平行班再次教這道題時，改弦易轍，先暫時隱匿提示語，再讓學(xué)生自由計算，結(jié)果學(xué)生全部按照筆者預(yù)想的：按照三位數(shù)連續(xù)進位加法的法則精算。隨后，筆者故意配合講解，令學(xué)生的自信心和榮譽感倍增，學(xué)生的積極性和征服欲也被調(diào)動起來。此時，筆者不失時機地呈現(xiàn)例題中的提示語，看到提示語后，學(xué)生乘勝追擊，集中精神去思考如何估算，教學(xué)目標順利達成。

筆者因勢利導(dǎo)，將估算轉(zhuǎn)為檢驗結(jié)果正確與否的方法，使學(xué)生的估算意識得以萌生。本例題真正的教學(xué)目的在于訓(xùn)練學(xué)生連續(xù)進位的技能，特別要顧及兩次進位點，而此時估算的出現(xiàn)，對精算是助攻，也能讓學(xué)生深刻認識到估算對精算的檢驗作用，勝過重新演算驗證。

估算意識不是一朝一夕就可以形成的，尤其是在學(xué)生剛學(xué)完精算后，更是不愿去估算。他們會產(chǎn)生疑問：明明已經(jīng)精算了，為何還要估算？此時，如果教師片面地強調(diào)估算的必要性，讓學(xué)生放棄精算而選擇估算，反而會招致學(xué)生反感。學(xué)生對估算的興趣本就不濃，這樣做會讓學(xué)生更加討厭估算，即使題目有提示，學(xué)生也會直接無視。此時，教師需要因勢利導(dǎo)，先隱藏提示語，讓學(xué)生在精算中大展拳腳，待學(xué)生找到滿足感和成就感后，再不失時機地出示提示語。此時，學(xué)生的態(tài)度就會大大轉(zhuǎn)變，欣然接受估算，因為他們在精算中體驗到了喜悅，這份喜悅促使他們一鼓作氣將估算一舉拿下，而且更為重要的是，他們也迫切需要利用估算來檢驗精算是否正確。只有調(diào)整、擺正精算與估算的主次地位，才是讓學(xué)生心甘情愿接受估算的訣竅。

二、估算的意義究竟應(yīng)該怎么體現(xiàn)

以教材第44頁練習(xí)題4教學(xué)為例（如圖2），當看到這道題時，筆者馬上詢問學(xué)生如何應(yīng)對，大部分學(xué)生不約而同地說：“先計算后配對?！钡幸幻麑W(xué)生卻說：“不用這么麻煩?！惫P者故作詫異，引導(dǎo)全班一起向他討教，并鼓勵他說出自己獨特的方法。該名學(xué)生解釋說：“305-187，只需判斷個位就可以得知差的個位數(shù)字是8，在所有備選項里，只有118這個答案的個位數(shù)字是8，即305-187與118配對。”在該名學(xué)生的啟發(fā)下，154、460、586這三個備選項都能快速找到對應(yīng)的算式?？墒Ｏ碌膫溥x項中有兩個個位數(shù)都是5，又該怎么辦呢？學(xué)生似乎剛剛找到捷徑，卻又被攔住了去路。

解決策略：連線題可以利用數(shù)字特征來估。

與學(xué)生一起討論分析本題后，大家取得共識：這類題目根本無須一一精算，只需算出個位數(shù)字，然后以個位數(shù)字為特征去尋找與之匹配的值。如果與之匹配的值的個位數(shù)有相同的，那么這個方法失效。此時，筆者引導(dǎo)學(xué)生仿照前面的方法舉一反三：既然其中的4個備選項可以根據(jù)個位數(shù)字的特征來排查，剩下的備選項為何不能利用十位數(shù)字或百位數(shù)字的特征來排查呢？

如594-129，經(jīng)過分析判斷發(fā)現(xiàn)得數(shù)的個位數(shù)字是5，百位數(shù)字是4，因此可以斷定與之匹配的值為465。而當面對算式900-325時，學(xué)生初步估計百位數(shù)字應(yīng)該為6，但是發(fā)現(xiàn)沒有百位數(shù)字是6的選項，隨即，有學(xué)生醒悟：個位、十位依次借位，所以百位要退位之后再減，于是9-3變成8-3，最終百位數(shù)字應(yīng)為5。

當順利攻下連線題后，筆者馬上組織學(xué)生進行了全面而深入的小結(jié)：三位數(shù)的個位、百位首尾呼應(yīng)，如果發(fā)現(xiàn)個位相同，馬上質(zhì)詢十位。質(zhì)詢十位時重點考查十位到底需不需要借位或退位，因為十位夾在百位和個位中間，對百位、個位的估算起著調(diào)節(jié)作用。解決課后的一道連線題，學(xué)生需要承擔(dān)6道三位數(shù)退位減法的計算量，思維負荷較大，但是經(jīng)過上述研究，不僅巧妙地傳輸了估算思想，而且大大降低了計算量，既提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，又增強了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，算得上是雙管齊下。

教師不能為估算而估算，也不能讓估算變成學(xué)生的精神枷鎖和噩夢，要讓學(xué)生主動接納估算并樂于使用。估算的價值必須充分體現(xiàn)出來，尤其是和精算對比時，要突出精算無法比擬的優(yōu)越性，但是，這個優(yōu)越性不能是教師強加給學(xué)生，也不能是無中生有，必須是實實在在的“實惠”。這個“實惠”還得讓學(xué)生“領(lǐng)情”，也就是讓學(xué)生在經(jīng)歷精算之后，發(fā)現(xiàn)估算的方法更快，而上述題型的設(shè)計正好可以達到這個效果。連線題是將算式與對應(yīng)的結(jié)果連線，這就留給估算很大的發(fā)展空間，因為與之匹配的結(jié)果是已給的，剩下的只是一個篩選甄別的過程，如果全部精算非?！安粍澦恪?，而通過對各位數(shù)字的估算和判別就能達到事半功倍的效果。

三、估算的方法究竟怎么使用

在進行估算時，由于每個人的認知不同，思維習(xí)慣不同，采取的方法和策略也不盡相同。方法不同結(jié)果就會有所不同，如此一來，一道算式就會在不同的估算策略下得出不同的答案。如53×8≈（ ? ? ?），對于尚未接觸“四舍五入”法的三年級學(xué)生來講，估算方法有：53×8≈50×8=400， 53×8≈53×10=530，53×8≈60×10=600，53×8≈60×8=480，53×8≈50×10=500，53×8≈55×10=550。這些方法主要是將其中一個因數(shù)看成整十數(shù)或者5的奇數(shù)倍，這樣一來答案就會五花八門，而且沒有一定的標準，會給學(xué)生形成隨意地近似處理都可以的印象。如此，這道題就失去了考查的意義。

解決策略：設(shè)置情境，考查應(yīng)用能力。

課程標準在第一學(xué)段把估算的教學(xué)目標制訂為“在具體情境中，能選擇適當?shù)膯挝?，進行簡單的估算”。因此，教師在考查學(xué)生的估算技能和水平時，應(yīng)盡量避免脫離情境支撐的純計算的估算題，同時要求學(xué)生對運用的估算策略和方法進行合理解釋。如53×8≈（ ）可以改編成一道“解決問題”形式的應(yīng)用題。

題型1：一臺大型機器需要安裝400個螺絲，馬師傅平均每分鐘安裝53個。請你估計一下，馬師傅8分鐘能安裝完所有的螺絲嗎？

對這個情境而言，合乎實情的估算是53×8≈50×8=400（個）螺絲。把每分鐘安裝的螺絲數(shù)估低了，將題目理解成馬師傅8分鐘至少能安裝400個螺絲，所以可以按時完成任務(wù)。

題型2：游樂場的風(fēng)箏每只8元，家委會自費組織幼兒園中班的53名小朋友去放風(fēng)箏，每人一只風(fēng)箏，支出600元夠嗎？

對這個情境而言，切合實際的估算是53×8≈53×10=530（元），把風(fēng)箏的單價估高了，也只要530元，遠低于600元的預(yù)算。這樣的習(xí)題，既能培養(yǎng)學(xué)生的估算意識，又能訓(xùn)練學(xué)生估算的靈活性和變通性，最大的優(yōu)勢是避免學(xué)生在估算時各種答案層出不窮。

估算的價值十分巨大，除了為檢驗精算結(jié)果服務(wù)，在除法試商中也是大顯神威，而估算的最大價值在于對生活問題的處理，有些實際問題不需要精算，只需要判斷數(shù)值的上限或者下限即可。估算的方法多種多樣，多樣性的估算方法滿足了各種不同生活情境的客觀需要?！八纳嵛迦搿狈ㄟ^于單一，而在豐富多變的生活情境中，“進一”法和“去尾”法的應(yīng)用范圍更廣，因為一切實際問題都是以滿足人的需求為第一準則，而人的需求是不斷變化的，如有時需要縮小數(shù)值估算，有時需要擴大數(shù)值估算。無論是哪種估算，都是要解決“夠不夠”“能不能”的問題，也就是說，當我們需要統(tǒng)計的數(shù)據(jù)為我們做出決策提供依據(jù)時，估算比精算更管用。更重要的是，學(xué)生要學(xué)會為滿足實際的需要而靈活選擇估算方法。

四、估算、精算本為一家

在完成“萬以內(nèi)的加法和減法（二）”這一章的教學(xué)后，筆者出示一道習(xí)題。

估一估、算一算，給這些算式分類：

①503+211，②903-382，③498+206，④1000-309，⑤810-250，⑥309+257，⑦98+647，⑧3700-3000，⑨1500-986，⑩821-109。

結(jié)果小于600的有： ____________________。

結(jié)果大于700的有：____________________。

巡視中反饋的信息顯示，學(xué)生采用的方法主要分為兩種：一種是精算，將每道題的精確結(jié)果都計算出來;另一種則是采用估算，用估算結(jié)果來代替精確值裁定。兩種方法各有利弊，雖然第一種方法的精確度高，可靠性強，但是效率卻大打折扣。第二種方法也會遇到一些特例，導(dǎo)致誤判，如①503+211≈500+200=700，估算結(jié)果為700，精確值卻是714（屬于大于700的范圍），估算結(jié)果不足以成為判斷的證據(jù)。以上兩種方法都偏離了出題者本意。出題者的本意是考查學(xué)生將估算與精算融合起來。

解決策略：各個擊破在于“巧”。

對于本題的處理，破解的竅門還是“具體問題具體分析”，把估算和精算交織到一起，融為一體。如①503+211≈500+200=700，將兩個加數(shù)估低后的結(jié)果為700，反推，真實結(jié)果勢必就會大于700。又如③498+206=498+2+204=500+204=704>700。這一題通過轉(zhuǎn)移尾數(shù)，將近似結(jié)果變?yōu)榫_結(jié)果。再如④1000-309≈1000-300=700，將減數(shù)估小后，所得的差必定比準確值小，據(jù)此得出結(jié)果小于700。

通過對這一題型的訓(xùn)練，向?qū)W生傳達一個道理：精算與估算不是絕對的，也不是對立的，它們可以交織混合使用?？舍槍λ闶降臄?shù)據(jù)特征，靈活穿梭于精算與估算之間，相機調(diào)度，左右周旋。

總之，估算不僅是一種技巧，還應(yīng)成為一種策略。靈活運用估算，學(xué)生才能對計算結(jié)果進行客觀分析，而要做到這一步，需要長期對學(xué)生進行磨煉。此任務(wù)任重而道遠。

（責(zé)編 覃小慧）