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    “變教為學(xué)”化解面積單位教學(xué)難點

    2022-05-30 14:03:57吳榮軍
    關(guān)鍵詞:進(jìn)率

    吳榮軍

    [摘 要]“公頃和平方千米”這個教學(xué)內(nèi)容看似只是對面積單位的一次簡單的升級擴(kuò)展,但是教學(xué)起來卻非常棘手,處處掣肘。主要原因是教師大多是讓學(xué)生快速記憶這些面積單位名稱及其進(jìn)率,而舍不得花時間去讓學(xué)生交流探究和自主建構(gòu)。實踐表明,“變教為學(xué)”能化解面積單位教學(xué)難點。

    [關(guān)鍵詞]變教為學(xué);面積單位;進(jìn)率

    [中圖分類號] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A[文章編號] 1007-9068(2022)14-0055-03

    常見的面積單位包括平方厘米、平方分米、平方米等,學(xué)生對它們之間的進(jìn)率了如指掌,都知道相鄰兩個面積單位之間的進(jìn)率為100。對于面積單位之間的進(jìn)率為100,教師進(jìn)行了一次次推導(dǎo),主要是通過長度進(jìn)率10的平方推演出面積單位進(jìn)率為100。一次次的圖形驗證,讓這一進(jìn)率關(guān)系成為師生共識,但是到了“公頃”這里,就陡然變成10 000的進(jìn)率,而且在名稱上也出現(xiàn)巨大變化:公頃不再沿用平方前綴,唯一不變的就是定義描述——邊長為100米的正方形的面積是1公頃,邊長為1千米的正方形的面積是1平方千米。雖然公頃與平方千米之間的進(jìn)率出現(xiàn)一些變化,但是公頃與平方千米之間的進(jìn)率仍是100,其推導(dǎo)也并不難,故照舊可以沿用以前的推導(dǎo)經(jīng)驗。

    這看似尋常不過的教程,畫幾個正方形就可以直觀演示和證明,學(xué)生學(xué)起來也駕輕就熟,條條款款如數(shù)家珍,但是學(xué)生一到應(yīng)用就漏洞百出,頻頻出錯。經(jīng)梳理發(fā)現(xiàn),錯誤主要集中在三個方面:(1)對于公頃這個生面孔、新稱謂,學(xué)生很容易選擇性失憶;(2)學(xué)生分不清平方千米和公頃到底哪個是“上級”,哪個是“下級”;(3)學(xué)生容易思維定式,常將公頃和平方米之間的進(jìn)率默認(rèn)為100。事出有因,這些錯誤的出現(xiàn)是有緣由的,仔細(xì)分析,就會發(fā)現(xiàn),學(xué)生以前學(xué)過的面積單位,包括平方厘米、平方分米、平方米以及現(xiàn)在新增的平方千米,無一例外都對應(yīng)著一個長度單位,無論是在名稱上還是在定義上都是從長度單位擴(kuò)展衍生而來的。只有“公頃”是名副其實的“獨行者”,它沒有一個長度單位與之對應(yīng)(如表1)。

    對此,學(xué)生就會按序排座,將公頃和平方米之間的進(jìn)率納入整個進(jìn)率體系之中。公頃和平方千米這兩個面積單位,一般只出現(xiàn)在工程建筑面積或者土地面積核算中,學(xué)生需要想象才能建立表象。因此,就會造成這種局面:對于公頃和平方千米,學(xué)生可以快速記憶,但是記憶維持的時間非常短暫,一旦時過境遷,就會遺忘,甚至以前建立的表象和積累的經(jīng)驗也都會從潛意識中消退,或者從學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中解體。為了讓學(xué)生將“公頃和平方千米”的相關(guān)知識點納入認(rèn)知結(jié)構(gòu)中,形成深刻的印象,筆者借用“變教為學(xué)”的模式對公頃和平方千米的教學(xué)進(jìn)行重構(gòu),以直觀操作活動為載體,讓學(xué)生完整經(jīng)歷知識的形成與發(fā)展過程。

    活動一:自由表達(dá),喚醒舊知

    1.目前你學(xué)過或者知道哪些面積單位?你可以把它們?nèi)苛_列出來嗎?

    2.你知道這些面積單位的換算進(jìn)率嗎?嘗試用自己喜歡的方式表達(dá)出來,形式不拘。

    這個活動看似簡單直接,卻蘊含著無窮的玄機和奧妙。學(xué)生在回顧以往學(xué)過的面積單位時,會喚醒所有對于面積單位的記憶(如圖1),包括當(dāng)初如何定義面積單位,如何推導(dǎo)面積單位之間的進(jìn)率,如何運用直觀的正方形來度量其他圖形,這樣所有相互關(guān)聯(lián)的知識都會一一閃現(xiàn),無形中鞏固強化了學(xué)生的已有知識。這樣,沒有限制任何形式和表達(dá)方法讓學(xué)生說出相關(guān)面積單位的進(jìn)率,學(xué)生可以根據(jù)自己的個性化理解將模糊的知識表象和脈絡(luò)較為清晰地呈現(xiàn)出來。正因為不拘形式,所以學(xué)生才能有機會將自己相關(guān)的記憶激活,舊知也才能被最大限度地提取。“一千個讀者心中就有一千個哈姆雷特”,學(xué)生可以用自己擅長的方式來詮釋知識,每個人都有發(fā)表見解的機會,過去那種優(yōu)等生替所有人代言的局面一去不復(fù)返。學(xué)生傾其所能,將自己的所學(xué)毫無保留地展示出來后,就能實現(xiàn)新舊知緊密銜接,自然過渡。

    學(xué)生在長度和面積的學(xué)習(xí)中積累了相當(dāng)豐富的經(jīng)驗,同時也積淀了許多豐厚的表象,如用邊長為1個長度單位的正方形作為一個標(biāo)準(zhǔn)面積單位,對應(yīng)的面積單位是在相應(yīng)的長度單位上加平方前綴。至于進(jìn)率的轉(zhuǎn)化,也是結(jié)合長度單位的分割和面積單位的分切而直觀推算的。如將1平方分米切成橫豎10格,即10行和10列,那么1平方分米的大方塊就被切成10×10的小方塊,每個小方塊就為邊長為1厘米的正方形,也就是1平方厘米的面積單位(如圖2)。這個過程就是長度和面積的“雙切”,長度單位轉(zhuǎn)化的同時面積單位也轉(zhuǎn)化。學(xué)生回顧這些,可以再次將長度和面積融合,為后面公頃的學(xué)習(xí)建立良好的表象基礎(chǔ)。雖然公頃沒有適配的長度單位,但還是脫離不了這種直觀結(jié)構(gòu),無非就是借用其他長度單位來構(gòu)建(如邊長為100米的正方形)。

    活動二:自由討論,引發(fā)沖突

    師:平方米是否就是面積單位的“天花板”了呢?還有沒有更“高級”的面積單位?如果有,這個面積單位應(yīng)該如何定義?它的大小是個什么量級?可以跟同伴交流一下,說說自己的設(shè)想,或者說說自己的設(shè)計藍(lán)圖。

    (學(xué)生的回答妙趣橫生。)

    生1:當(dāng)然還有比平方米更高級的面積單位,它就是1平方千米,因為長度單位米過后就是千米,所以對應(yīng)的面積單位平方米之后就應(yīng)該是平方千米。同理,我們能將邊長為1米的正方形規(guī)定為1平方米的面積單位,那么邊長是1千米的正方形也可以規(guī)定為面積為1平方千米的面積單位。我的想法很簡單:長度單位從小到大依次為厘米、分米、米、千米,那么按照對應(yīng)原則,面積單位從小到大依次為平方厘米、平方分米、平方米、平方千米。

    生2:好像有點不對勁。你看,100個1平方厘米拼接起來就合成1平方分米,100個1平方分米拼接起來就合成1平方米。如果按此規(guī)律類推,那么緊接著就應(yīng)該是100個1平方米拼連起來,合成一個新的面積單位。

    生1:那這個新的面積單位究竟應(yīng)該是什么呢?

    生2:邊長為100米的正方形。

    生3:你只是說了這個單位的幾何形態(tài),還沒有給它命名呢?

    ……

    師:大家認(rèn)為平方米和平方千米之間需要設(shè)置其他的面積單位加以過渡嗎?

    (有的學(xué)生覺得應(yīng)該有,有的學(xué)生覺得應(yīng)該沒有,有的學(xué)生則難以決斷。)

    這個活動給了學(xué)生自由的空間去建構(gòu)面積單位的概念,學(xué)生結(jié)合面積單位的定義和形態(tài),推理出新的面積單位的形狀和大小,以及與之前的面積單位的順承關(guān)系。從開始的特征定義法,到后來的從小單位到大單位的遞推法,學(xué)生產(chǎn)生了認(rèn)知沖突:100個1平方米拼接起來合成的新的面積單位,如果按照與長度單位對應(yīng)晉級的命名法理應(yīng)叫作“平方千米”,但是按照面積單位的幾何圖形直觀定義法,1平方千米又應(yīng)該是邊長為1千米的正方形,顯然這與100個平方米拼接起來的大小不符;100個1平方米的正方形拼接起來應(yīng)該是邊長為100米的正方形,而如果按照正方形幾何定義的習(xí)慣,則這個面積單位似乎應(yīng)該叫作“平方百米”,可是根據(jù)長度單位和面積單位一一對應(yīng)加后綴的原則,在長度單位里又找不到一個叫“百米”的單位。至此,學(xué)生預(yù)感到在平方千米和平方米之間應(yīng)該還需要一個過渡的單位。如果只是對知識的背記,學(xué)生只知其然不知其所以然,但是通過一系列的討論交流活動,學(xué)生能按照自己的經(jīng)驗推測出“平方千米”這個面積單位,同時又發(fā)現(xiàn)“公頃”的影子。學(xué)生的學(xué)習(xí)在交流、質(zhì)疑、修正中不斷深入和成熟。

    通過對長度單位和面積單位縱向和橫向的對比,學(xué)生發(fā)現(xiàn)長度單位和面積單位在進(jìn)率上也存在緊密的聯(lián)系,這種聯(lián)系與切分法是分不開的,每當(dāng)相鄰的兩個長度切分成10的進(jìn)率后,由于縱橫相乘的關(guān)系,導(dǎo)致相鄰的面積單位之間的進(jìn)率變成100,于是,學(xué)生就形成動態(tài)認(rèn)知結(jié)構(gòu):每當(dāng)長度擴(kuò)大10倍晉升到上級單位時,對應(yīng)的面積單位就會自動晉升到上級面積單位。但是,到了米往上直接跳級到千米,中間沒有十米、百米這樣十進(jìn)制的單位續(xù)接,因此,導(dǎo)致面積單位斷層。于是,學(xué)生就會想到要按照既定的進(jìn)制規(guī)則來補充新的單位,尤其是面積單位,在平方米和平方千米之間,跨度過大,必須創(chuàng)建新的單位填補這段空白。

    活動三:擴(kuò)充單位體系,完善認(rèn)知

    師:請大家將教材(人教版)翻到第34頁,看能否找到蛛絲馬跡。教材中為我們介紹了一些新的面積單位,這些都是比我們以前學(xué)過的面積單位更“高級”的單位,你們能想辦法記住它們嗎?

    通過閱讀相關(guān)章節(jié),學(xué)生明白了1平方千米=1 000 000平方米 =100公頃,也從幾何形態(tài)上明確了邊長為100米的正方形的面積規(guī)定為1公頃的面積單位。但是,問題也隨之而來(如圖3)。既然邊長為100的正方形可以用來定義面積單位,那么邊長為10米的正方形也可以單獨作為一個面積單位,這個面積單位該怎么命名呢?

    師:這個邊長為10米的正方形的面積的確存在過,它就是1公畝,這是中國的舊制面積單位。為了與國際接軌,新版教材已經(jīng)摒棄了這個單位,采用新的單位——公頃。

    生1:那么1公頃=100公畝。

    師:你怎么將這個新的面積單位納入原有的面積單位集合中?

    生2:先把它們按從小到大的順序排序,如平方厘米、平方分米、平方米、公畝、公頃、平方千米,每相鄰的兩個面積單位之間的進(jìn)率都是100。

    生3:這樣一來就把平方厘米到平方千米之間所有的面積單位都排滿了。

    活動三使學(xué)生經(jīng)歷了知識生成和演變的過程,學(xué)生對面積單位間的進(jìn)率有了深刻全面的認(rèn)識。

    活動四:建立表象,完善認(rèn)知

    師:用我們身邊熟悉的場地印證1公頃和1平方千米的大小。

    生1:居民廣場的面積有2.2公頃。

    生2:在電視里經(jīng)常見到別人打高爾夫球,一桿子打下去,得花老半天時間去撿球,太費事了?,F(xiàn)在看來,在將近1公頃大的草地上找球和撿球都是不容易的。

    在談到1平方千米時,學(xué)生想到了步行街,然后課后去步行街走了一遍,以它為標(biāo)準(zhǔn)想象1平方千米的正方形有多大。

    學(xué)生這種身臨其境的體驗與感知,勝過教師任何形式的描述。

    以上四個活動的設(shè)計是逐漸遞進(jìn)的,在活動開展的過程中,學(xué)生有足夠的時間回憶舊知,自主建構(gòu)新知,在不斷反思的過程中感悟知識的生成經(jīng)過和因由,學(xué)生從傾聽者變?yōu)樗妓髡?,從死記硬背變成理解性記憶,真正實現(xiàn)了“變教為學(xué)”。

    [ 參 考 文 獻(xiàn) ]

    [1] 馮姍,于榮華.“認(rèn)識面積單位”教學(xué)設(shè)計[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)(小學(xué)版),2021(6):34-36.

    [2] 尤佳.“簡單組合圖形和不規(guī)則圖形的面積”教材分析與教學(xué)建議[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育,2021(Z4):102-104.

    [3] 許英.數(shù)學(xué)深度教學(xué):追尋單元整體目標(biāo)階段性達(dá)成:以三下《面積》整單元教學(xué)實踐為例[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊,2021(19):43-44,46.

    [4] 孫開飛.拉長體驗過程 ?促進(jìn)深度學(xué)習(xí):“面積單位”教學(xué)實踐與思考[J].課程教材教學(xué)研究(小教研究),2021(Z4):50-53.

    (責(zé)編 黃春香)

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