對(duì)稱變換巧轉(zhuǎn)化 破解線段和最值

毛麗麗

考題再現(xiàn)

例 （2021·遼寧·盤(pán)錦）如圖1，四邊形ABCD為矩形，AB = [23]，AD = [22]，點(diǎn)P為邊AB上一點(diǎn). 以DP為折痕將△DAP翻折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A'. 連接AA'，AA' 交PD于點(diǎn)M，點(diǎn)Q為線段BC上一點(diǎn)，連接AQ，MQ，則AQ + MQ的最小值是.

考點(diǎn)剖析

1.知識(shí)點(diǎn)：兩點(diǎn)之間線段最短、軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)、90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑、矩形的性質(zhì)、勾股定理、二次根式計(jì)算.

2.數(shù)學(xué)方法：聯(lián)想法、對(duì)比法、轉(zhuǎn)化法.

3.基本模型：如圖2，若∠ACB = 90°，直角頂點(diǎn)C的軌跡為以AB為直徑的圓（點(diǎn)A，B除外）;如圖3，P為圓O外一點(diǎn)，A為圓O上任一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，PA取得最小值，當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，PA取得最大值.

學(xué)情分析

（1）相關(guān)聯(lián)想：本題求兩線段和的最小值，其中點(diǎn)A為定點(diǎn)，點(diǎn)M，Q為動(dòng)點(diǎn)，屬于“一定兩動(dòng)”的情況，聯(lián)想相關(guān)經(jīng)驗(yàn).

關(guān)聯(lián)1：如圖4，A，B是直線l的同側(cè)兩定點(diǎn)，在直線l上求作一點(diǎn)P，使PA + PB最小.

關(guān)聯(lián)2：如圖5，點(diǎn)P是∠MON內(nèi)一定點(diǎn)，分別在射線OM，ON上求作點(diǎn)A，B，使得PA + PB最小.

關(guān)聯(lián)3：如圖6，點(diǎn)P是∠MON內(nèi)一定點(diǎn)，分別在射線OM，ON上求作點(diǎn)A，B，使PA + AB最小.

（2）對(duì)比分析：

關(guān)聯(lián)1：如圖4，作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接A'B交直線l于點(diǎn)P.此時(shí)點(diǎn)P為所求. PA + PB的最小值為線段A'B的長(zhǎng).此種情況屬于“兩定一動(dòng)”，與本題不符合，但是也不排除本題可轉(zhuǎn)化為此種情況.

關(guān)聯(lián)2：如圖5，過(guò)點(diǎn)P作PA⊥OM于點(diǎn)A，PB⊥ON于點(diǎn)B，點(diǎn)A，B為所求. PA + PB的最小值為此時(shí)圖中A，B所在位置時(shí)PA + PB的長(zhǎng).此種情況屬于“一定兩動(dòng)”，與本題看似符合.

關(guān)聯(lián)3：如圖6，取點(diǎn)P關(guān)于射線OM的對(duì)稱點(diǎn)P'，過(guò)點(diǎn)P'作P'B⊥ON于點(diǎn)B，P'B分別交射線OM，ON于點(diǎn)A，B.此時(shí)點(diǎn)A，B為所求，PA + AB的最小值為線段P'B的長(zhǎng). 此種情況屬于“一定兩動(dòng)”，兩動(dòng)點(diǎn)均在直線上，與本題看似符合.

（3）回歸例題：結(jié)合上述關(guān)聯(lián)對(duì)比分析，深入思考該題本質(zhì)，其中點(diǎn)A為定點(diǎn)，點(diǎn)Q為線段BC上一點(diǎn)，即屬于直線上動(dòng)點(diǎn)，而動(dòng)點(diǎn)M的軌跡題目中沒(méi)有直接給出，因此需要首先明確此問(wèn)題，然后聯(lián)想對(duì)比已有經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而合理轉(zhuǎn)化解決問(wèn)題.

通過(guò)點(diǎn)M的產(chǎn)生來(lái)研究點(diǎn)M的軌跡.點(diǎn)M為一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)連線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)，所以DP⊥AA'于點(diǎn)M，即隨著點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B的過(guò)程中，點(diǎn)M隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，但是∠AMD為直角的結(jié)論始終保持不變，由此確定動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑為弧AM.由于90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑，所以AD為直徑，AD 中點(diǎn)為弧AM所在圓的圓心.正因?yàn)辄c(diǎn)M為圓弧上的動(dòng)點(diǎn)，本題的解決與關(guān)聯(lián)2和關(guān)聯(lián)3的情況不符合，再嘗試尋找與關(guān)聯(lián)1的關(guān)系，將“一定兩動(dòng)”轉(zhuǎn)化為“兩定一動(dòng)”.

如圖7，點(diǎn)M為圓弧上動(dòng)點(diǎn)，所以RM長(zhǎng)度始終保持不變. 關(guān)鍵線段MQ何時(shí)有最小值是本題突破口.

如圖8，當(dāng)R，M，Q三點(diǎn)共線時(shí)MQ最小.此時(shí)兩個(gè)動(dòng)線段AQ和MQ聯(lián)合定長(zhǎng)線段RM轉(zhuǎn)化為AQ + RQ，即由兩定點(diǎn)A，R來(lái)鎖定，使得動(dòng)態(tài)問(wèn)題順利“著陸”，最終利用“兩點(diǎn)之間線段最短”解決問(wèn)題.

解：如圖9，取點(diǎn)A關(guān)于邊BC的對(duì)稱點(diǎn)E，取AD中點(diǎn)R，連接RE，交圓R、矩形ABCD于點(diǎn)M，Q，此時(shí)AQ + MQ最小值.

∵四邊形ABCD是矩形，∴∠RAE = 90°，∵AR = [12AD] = [2]，AE = 2AB = 4[3]，∴RE = [AR2+AE2] = [（2）2+（43）2] = [52]，

∵RM = [12]AD = [2]，∴AQ + MQ的最小值為[52-2=42]. 故填4[2].

勤于積累

1. 解題經(jīng)驗(yàn)：線段和的最值問(wèn)題是各地中考的重要考點(diǎn)，通常的考查形式有選擇題、填空題、解答題的壓軸問(wèn). 在備考過(guò)程中，同學(xué)們應(yīng)認(rèn)真梳理關(guān)于最值問(wèn)題的解題策略，以便在考場(chǎng)上能自由應(yīng)對(duì).

（1）角色定位：解決最值問(wèn)題時(shí)，啟動(dòng)步驟是定、動(dòng)點(diǎn)的角色定位.認(rèn)真分析題目中哪些是定點(diǎn)，哪些是動(dòng)點(diǎn). 如果是動(dòng)點(diǎn)，進(jìn)一步分析其在什么線型上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的軌跡是什么，運(yùn)動(dòng)的范圍是什么.

（2）對(duì)稱變換：解決最值問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵步驟是結(jié)合定、動(dòng)點(diǎn)所在位置，若屬于定點(diǎn)在動(dòng)點(diǎn)所在線同側(cè)情況，結(jié)合軸對(duì)稱變換將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為異側(cè)情況.

（3）最值定型：現(xiàn)階段的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為兩種，一是兩點(diǎn)之間線段最短模型，二是垂線段最短模型.無(wú)論哪一種模型，都會(huì)經(jīng)歷“折”化“直”的轉(zhuǎn)化過(guò)程.

（4）數(shù)形結(jié)合：經(jīng)過(guò)對(duì)稱變換，最值問(wèn)題已經(jīng)轉(zhuǎn)化為求線段長(zhǎng).計(jì)算時(shí)，通常借助直角三角形利用勾股定理來(lái)求解.

2.拓展模型：

（1）如圖10，OC平分∠AOB，P是OC上的定點(diǎn)，M，Q為OB上動(dòng)點(diǎn)，求PM + PQ的最小值.

思路分析：如圖10，作點(diǎn)Q關(guān)于OC的對(duì)稱點(diǎn)Q'，作MQ[″]⊥OA于點(diǎn)Q[″]，則PM + PQ轉(zhuǎn)化為PM + PQ'，再轉(zhuǎn)化為MQ[″]. 所以PM + PQ的最小值為線段MQ[″]的長(zhǎng).

（2）如圖11，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)一定點(diǎn)，分別在射線OA，OB上求作點(diǎn)M，N，使得△PMN的周長(zhǎng)最小.

思路分析：如圖11，分別作點(diǎn)P關(guān)于OA，OB的對(duì)稱點(diǎn)P'，P[″]，連接P'P[″]，分別交OA，OB于點(diǎn)M，N，則PM = P'M，PN = P[″]N，△PMN的周長(zhǎng)的最小值轉(zhuǎn)化為線段P'P[″]的長(zhǎng).

（3）如圖12，[l1][?][l2]，[l1]，[l2]之間距離為[d]，在[l1]，[l2]上分別找M，N兩點(diǎn)，使得MN⊥[l1]，且AM + MN + NB最小.

思路分析：求AM + MN + NB的最小值，表面上看是求三條線段和的最小值，但其中MN為定長(zhǎng)[d]，所以只需求AM + NB的最小值，而這兩條線段沒(méi)有公共點(diǎn)，沒(méi)辦法直接化“折”為“直”，可借助構(gòu)造平行四邊形AA'NM平移線段來(lái)解決（如圖12），此時(shí)AM = A'N，所以本題轉(zhuǎn)化為求A'N + NB最小.連接A'B即為A'N + NB的最小值，點(diǎn)M，N也隨之確定，這樣就解決了AM + MN + NB的最小值問(wèn)題.

（4）如圖13，已知△ABC，在邊AB，BC，AC上分別求作點(diǎn)P，M，N，使得△PMN的周長(zhǎng)最小.

思路分析：求△PMN的周長(zhǎng)的最小值，即MP + NP + NM的最小值，三個(gè)動(dòng)點(diǎn)都在直線上，利用軸對(duì)稱變換化“折”為“直”即可.如圖13，作點(diǎn)M關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)M'，則MP = M'P;作點(diǎn)M關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)M[″]，則NM = NM[″]，所以MP + NP + NM轉(zhuǎn)化成M'P + NP + NM[″].當(dāng)M'，P，N，M[″]四點(diǎn)共線時(shí)，M'P + NP + NM[″]的長(zhǎng)最小，為M'M[″]的長(zhǎng).由于∠M'AM[″] = 2∠BAC，為定角，若要M'M[″]最小，則需要AM'最小，即AM最小，當(dāng)AM⊥BC時(shí)即可.