數學文化視域下的小學數學教學

余璟

[摘 要]考慮到學生的年齡及思維特點，蘇教版教材在三年級開設的“探索規(guī)律”單元專題活動中，將不再呈現簡單的規(guī)律的情境，而是偏向于呈現復雜、內隱的數學規(guī)律。這樣一來，學生勢必要以一定的探究方式進行過程性的探索與發(fā)現，才能感受到探究的樂趣，感悟數學思想。

[關鍵詞]小學數學;數學文化;奇偶性

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2022）17-0040-03

數學的概念、公式、法則、定律（知識性成分）是顯性的數學文化，而貫穿其間的數學思想、理性精神、數學方法（觀念性成分）則是數學文化的精神實體，這種蘊藏在知識性成分背后的觀念性成分（也叫隱性數學文化）則是數學文化的核心和靈魂所在。下面，筆者結合“和的奇偶性”一課，從數學文化的實踐視角談談自己的思考。

視角一：舉例

在規(guī)律探究的過程中，有教師認為應教授學生用推理的模式進行探究。而筆者卻認為，推理是從現象到本質的一種追尋，而舉例卻是反其道而行之的、契合學生思維的一種歸納。

相比較而言，舉例是驗證規(guī)律的最直接的手段。就本節(jié)課“和的奇偶性”舉例活動的反饋來看，學生的思維高下直接顯現：有的學生以較小的自然數逐一列舉，并沒有考慮不同的類型，而有的學生所舉的例子體現出差異性，不但考慮到不同情況（有加數數位的不同，有加數個位數字的不同），還考慮到0這樣的特殊數。通過這個活動，所有學生都能在自己原有的知識基礎上獲得真正的思考與探究。當然，選擇舉例并不是排斥使用其他方法，只不過有所側重，因為這些例子對學生來說是最方便的，在驗證時懂得用有限的例子闡述自己的猜想，說明學生的思考勢必要經歷一個從有限到無限的擴展過程。如果在此過程能夠給予學生充分的時間引發(fā)他們反思，引導他們從反例上去琢磨，便能與用數學文化思想育人的步調保持一致，也為學生的后續(xù)習得經驗提供強有力的支撐。

視角二：猜想

荷蘭數學教育家弗賴登塔爾曾說，真正的數學家常常憑借數學的直覺思維做出各種猜想并加以證實。因此，猜想、驗證都是重要的思想方法，也是人們在解決數學問題時采用的基本策略。

“和的奇偶性”是在學生掌握了奇偶數概念，并掌握一定的研究、猜想、驗證的學習方法之后展開教學的。對于這節(jié)活動課，如果教師的教學目標僅限于讓學生掌握和的奇偶性特征，那么學生只要記住結論，然后套用結論進行判斷即可。很顯然，這種模仿式的判斷只是一種形式化的教學，很難讓學生真正達到對問題本質的理解，更難培養(yǎng)學生數學的意識與眼光，也就無法真正讓學生形成數學思維方式和數學素養(yǎng)。因此，當學生能夠運用舉例的方式發(fā)現“奇數+奇數=偶數，偶數+偶數=偶數，奇數+偶數=奇數”的猜想時，筆者并沒有簡單地讓學生進行形式化的演繹和驗證，而是適時啟發(fā)：“同學們能根據平時積累的經驗，通過舉例后提出了猜想，并在舉例時能夠考慮不同類型，比如加數位數不同、個位數字不同……不過，這樣的例子舉得完嗎？萬一有個例子不符合結論怎么辦？該如何驗證猜想的正確性？”并據此帶領學生展開深度探究。借助學生的各種表達方式（用字母表示、數形結合，以及只考慮加數個位數的和的結果等），讓學生真正掌握了數學規(guī)律的本質，使學生“知其然”，更“知其所以然”，感受到數學的嚴謹，以及懂得數學是一門講理的學科。在教師不斷追問“為什么”的過程中，學生的理解也由表及里、由淺入深，這無形之中形成的批判意識和質疑精神為學生的數學素養(yǎng)奠定了重要基石，同時也彰顯了數學文化的育人功能。

視角三：建模

伽利略曾說：“宇宙是永遠放在我們面前的一本大書，哲學就寫在這本書上。但是，如果不首先掌握它的語言和符號，就不能理解它。這本書是用數學寫的，它的符號是三角形、圓和其他圖形，不借助于它們就一個字也看不懂，沒有它們就只會在黑暗的迷宮里躑躅?！蔽覀冎溃瑪祵W模型是對數學本質最精妙的概括，是數學抽象性特征的具體體現。因此，在嚴格意義上來說，建模既是數學教學的手段和方法，更是一種基本的數學思想。

“和的奇偶性”一課的知識起點并不高，對學生而言貌似是“不教也會”的內容，但事實果真如此嗎？實際上，學生對這些知識只是“知其然”，而“不知其所以然”，對于知識背后所蘊含的思想、方法大都是一知半解而已。教師一定要從數學文化的視角對教材作深度挖掘與思考。

【片段1】筆者引導學生判斷36+28的和是奇數還是偶數，36+6+20+32的和呢？36+1+9+3+5的和呢？學生發(fā)現三個算式的結果都是偶數，而最后一個算式中，在“36”后面依次添上“+1”“+9”“+3”“+5”時，和有時是奇數，有時是偶數。由此，學生根據直覺猜測和的奇偶性與算式中奇數的個數有關。于是，筆者出示學習單（如圖1）。

筆者以兩個問題追問學生：（1）幾個非0自然數的和是奇數還是偶數，關鍵看什么？（2）和的奇偶性與算式中奇數的個數有什么關系？一下子將學生對2個數的和的奇偶性的認知擴大到3個、 4個、 5個……將關注點聚焦于奇數的個數上，使學生對知識“知其然”，更“知其所以然”，這為課程的推進起到了較強的推動作用，從而為全課營造基于疑問的認知場，使得學生的答案精彩紛呈。

生1：偶數的個數不管是2個、3個、4個……它們的和的奇偶性并沒有變化，也就是n個非0偶數的和仍然是偶數。

生2：隨著奇數個數的增加，它們的和的奇偶性隨之發(fā)生變化。當奇數的個數是1、3、5、7……時，它們的和是奇數;當奇數的個數是2、4、6、8……時，它們的和是偶數。也就是n個奇數的和有可能是奇數，也有可能是偶數。

師（追問）：這樣看來，判斷n個數相加的和的奇偶性，我們只要看什么就行了？起決定作用的是什么？

生（齊）：奇數的個數。

師：當奇數的個數是奇數時，和就是奇數;當奇數的個數是偶數時，和就是偶數。

生3：在既有奇數也有偶數的加法算式中，如果僅僅增加偶數的個數，和的奇偶性不改變。但是增加奇數的個數時，如果增加偶數個奇數，和的奇偶性不變;如果增加奇數個奇數，和的奇偶性改變。

嚴密的思維和清晰的表達是數學學科重要的學習要求。此時，這張為學生搭建認知結構平臺的學習單，成為他們不斷分析、思考、演繹、歸納的場所。在學生不斷思考構建數學模型的過程中，學習單中的表格充當了學生不斷建模的理想“模具”，于無形中幫助學生拓展了新的模型，也剛好符合數學文化的教育價值要求。

視角四：表征

真正的數學文化蘊含在數學知識的生成過程之中，它有著本身自帶的文化生命。對學生來說，使他們感到困惑的內容，往往是蘊藏在知識背后的、反映數學本質的思想觀念。因此，教師應將教材中沒有顯現出來的，或學生理解存在困惑之處進行加工再創(chuàng)造，使得隱藏于數學知識里的邏輯規(guī)律顯現。

【片段2】奇數+奇數=偶數，偶數+偶數=偶數，奇數+偶數=奇數。兩個自然數相加，和的奇偶性為什么會有這樣的規(guī)律呢？

師：要解決這個問題，我們先來認識一位重要的人物——華羅庚。華羅庚是我國著名的數學家，他有一句非常重要的話——數形結合百般好。這句話是什么意思呢？為什么數和形結合好處多呢？剛才我們研究這三條規(guī)律時都采用了舉例的方式，其實我們在數學學習中不僅要回答老師提出的問題，更重要的是自己能提出有價值的問題。下面小組合作討論，任選一條規(guī)律，用你喜歡的方式驗證它是否適合所有的算式。

（學生反饋如圖2、圖3、圖4）

筆者用這樣一個敞開式的話題勾起了學生交流的欲望。學生有的用具體數值計算（如圖2），有的采用字母表征的方式（如圖3），有的考慮個位相加的情況，有的依據奇數和偶數的本質特點——能否被2整除來闡述（如圖4）……這樣的過程呈現的是學生原生態(tài)的思維方式。

【片段3】

如圖5，當學生演繹出“2a+2b+2c+1=2（a+b+c）+1”的字母表達式時，儼然已經超出了本節(jié)課的知識目標定位，但筆者并沒有阻止學生繼續(xù)思考，而是給學生搭建必要的支架，讓他們的思考路徑、思考方法順勢而為，因為這樣的探究更能激發(fā)學生學習的活力，碰撞出新火花。在這種相輔相成的互動中，演繹出字母表達式的學生自身也能夠因同伴的啟發(fā)而產生更深刻的思考。接著學生的思維，筆者用課件呈現學生的思路（如圖6）。

課件內容的直觀呈現，使學生切實體會到“數形結合百般好”的優(yōu)勢所在。

學習數學的興趣和好奇心是認同數學價值的內在動力，而對數學價值認同的重要標識顯然是對數學思想的體會及凝練。良好的數學素養(yǎng)、言必有據的治學精神都是由數學縝密的邏輯思維方式所給予的。相信這樣一節(jié)充滿理性探究、動態(tài)生成的課堂，勢必為學生今后的學習奠定堅實的基石！

（責編 李琪琦）