基于學(xué)科核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)建模案例

楊惠凱

發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)是當(dāng)下高中教學(xué)的關(guān)鍵，也是我國課程改革深入的標(biāo)志。高中建?；顒邮桥囵B(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的有效載體，能引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題。因此，教師需要重視高中數(shù)學(xué)建?；顒拥脑O(shè)計，積累成功案例經(jīng)驗(yàn)，推動數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的落實(shí)。本文基于學(xué)科核心素養(yǎng)，對如何設(shè)計成功的高中數(shù)學(xué)建模案例進(jìn)行研究并提出幾點(diǎn)建議，以供參考。

一、基于學(xué)科核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)建模設(shè)計原則

數(shù)學(xué)建?；顒拥脑O(shè)計要以教學(xué)設(shè)計為主要框架，并按照新課標(biāo)的教學(xué)要求開展，這樣才能真正落實(shí)學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。而在設(shè)計建模活動中，教師要遵循以下基本原則：第一，處理好數(shù)學(xué)建?；咏虒W(xué)時機(jī)與課時的安排。根據(jù)高中數(shù)學(xué)教學(xué)特點(diǎn)分析，課程分為必修課程、選擇性必修課程、選修課程，不同課程的教學(xué)要求不同、課時分布不同，對應(yīng)設(shè)計的數(shù)學(xué)建模活動也應(yīng)有所不同。教師應(yīng)以核心素養(yǎng)的培養(yǎng)為前提開展教學(xué)設(shè)計，必修課程課時最多、內(nèi)容也更緊要，教師要重視基礎(chǔ)建?；顒拥脑O(shè)計，選擇2～3個課題指導(dǎo)學(xué)生對知識進(jìn)行鞏固和強(qiáng)化。第二，確定教學(xué)重難點(diǎn)。建模案例的設(shè)計能讓學(xué)生參與其中，并對數(shù)學(xué)知識點(diǎn)有更深刻的認(rèn)識，而且高中生已經(jīng)具備初步的自主學(xué)習(xí)能力，為了保證不影響教學(xué)效率，教師應(yīng)重視挑選教學(xué)重難點(diǎn)，圍繞重難點(diǎn)設(shè)計數(shù)學(xué)建模活動，并在活動中給予學(xué)生正確的指導(dǎo)，讓學(xué)生能在建立數(shù)學(xué)模型和求解中靈活運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識和解題技巧，達(dá)到鍛煉建模素養(yǎng)的目的。第三，創(chuàng)新教學(xué)形式。基于核心素養(yǎng)下的高中數(shù)學(xué)課堂，不能是教師用大部分時間灌輸知識的教學(xué)方式，也不能完全放任學(xué)生自由學(xué)習(xí)，而是要結(jié)合教學(xué)內(nèi)容的難度和學(xué)生的思維水平、學(xué)習(xí)狀態(tài)、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)等進(jìn)行選擇，促進(jìn)“教”“學(xué)”共同成長。

二、結(jié)合常規(guī)教學(xué)的課內(nèi)數(shù)學(xué)建模案例研究

在高中數(shù)學(xué)課堂中設(shè)計建?；顒?，目的是讓學(xué)生在深刻理解知識點(diǎn)的基礎(chǔ)上，掌握應(yīng)用知識解決數(shù)學(xué)問題的能力。當(dāng)知識儲備與能力相匹配時，學(xué)生才能學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、分析世界、描述世界，從而實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)和提升。教師要在課堂中以實(shí)際生活案例為切入點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型，達(dá)到解決問題的教育目標(biāo)。以“數(shù)學(xué)建模案例（二）：曼哈頓距離”為例，現(xiàn)實(shí)生活中很多城市的街道都是相互垂直或平行的，人們需要通過直行和拐彎才能到達(dá)目的地。德國數(shù)學(xué)家閔可夫斯基據(jù)此提出了“曼哈頓距離”，教師可以從中概括出問題，并在數(shù)學(xué)課堂中將其拆分為多個問題，引導(dǎo)學(xué)生參與建?；顒又小?/p>

（一）提出問題

教師要先提出一個簡單的問題，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，問題為：某地三個新建居民區(qū)位置分別位于三點(diǎn)，A（3，20），B（-10，0），C（14，0），現(xiàn)計劃在[x]軸上方區(qū)域（包含[x]軸）內(nèi)的某一點(diǎn)[P]處修建一個文化中心，請嘗試確定點(diǎn)[P]的位置，并使三個居民區(qū)的曼哈頓距離最小。

（二）分析問題

很多以曼哈頓距離為背景的實(shí)際應(yīng)用問題都是以某點(diǎn)到已知各點(diǎn)的曼哈頓距離最小作為約束條件，并引導(dǎo)學(xué)生建立模型確定該點(diǎn)位置。在向量相關(guān)課程的教學(xué)中，教師可以將這一問題作為實(shí)際應(yīng)用例題，引導(dǎo)學(xué)生利用所學(xué)的向量知識進(jìn)行分析。如果想要得出三個居民區(qū)的曼哈頓距離最小，就要先設(shè)點(diǎn)[P]的位置為（[x]，[y]），并從水平和豎直兩個角度展開分析。

（三）模型建立與求解

學(xué)生在教師的指導(dǎo)下完成問題的分析后，要先結(jié)合題干在白紙上將圖像畫下來，通過直觀的觀察后，設(shè)點(diǎn)P（x，y）其中[y≥0]，則點(diǎn)P到三個居民點(diǎn)的曼哈頓距離可以表示為：[Z=dx，y=x-3+y-20+x+10+y+x-14+y=x-3+x+10+x-14+y-20+2y]。通過列式分析發(fā)現(xiàn)，水平方向的距離為[X=hx=x-3+x+10+x-14]，垂直方向的距離為[Y=vy=y-20+2y]，二者是相互獨(dú)立的，雙方并無影響。曼哈頓距離求的是點(diǎn)P到三個居民點(diǎn)的最小距離，也就是求Z的最小值，且[Z=X+Y=hx+vy]，通過等量替換得出，Z的最小值[Zmin]就等于水平距離X的最小值[Xmin]與垂直距離Y的最小值[Ymin]的和，即有[Zmin=Xmin+Ymin=minhx+minvyx，y∈R]。從水平距離上看，因?yàn)閇X=hx=x-3+x+10+x-14]，當(dāng)且僅當(dāng)[x=3]是，不等式的等號是成立的，即[x+10+x-14≥-x+10+x-14=24]，計算得出的結(jié)果為[Xmin=24]。同理可以求出，當(dāng)[y=0]時，[Ymin=20]。因此，當(dāng)文化中心修建在點(diǎn)[P]（3，0）時，它距離三個居民區(qū)的曼哈頓距離最小，最小距離為44。基于此，學(xué)生能在教師指導(dǎo)下完成數(shù)學(xué)模型的建立和求解，并利用學(xué)過的向量知識對問題進(jìn)行分析和解決，同時強(qiáng)化了對向量知識理解和掌握，也使抽象思維、數(shù)學(xué)建模、運(yùn)算能力等得到了鍛煉和培養(yǎng)。

（四）創(chuàng)新問題并提高難度

在上述問題的基礎(chǔ)上，為了進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生的思維，教師可以在題目中加入新的條件，讓學(xué)生開展更深層次的思考。例如，設(shè)置問題：假設(shè)以點(diǎn)O為圓心，半徑為1的圓的范圍內(nèi)屬于生態(tài)環(huán)境區(qū)，人們不能進(jìn)入，在其他條件不變的基礎(chǔ)上，點(diǎn)P 的位置是否會產(chǎn)生變化，如果產(chǎn)生了變化請重新確定，使其到三個居民點(diǎn)的曼哈頓距離最小。教師要引導(dǎo)學(xué)生重新分析題意，發(fā)現(xiàn)題目中融入了圓的相關(guān)知識，結(jié)合之前所求出的P點(diǎn)位置和圓的特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)水平方向上的位置不需要變化，但垂直方向上的位置則不符合題目要求。因?yàn)閳A的半徑為1，所以建立模型并求解時應(yīng)添加[y≥1]的限制條件，再遵循原來的思路進(jìn)行解題，點(diǎn)P的位置應(yīng)該由P（3，0）變?yōu)镻（3，1）。重新列式計算得出，文化中心到三個居民區(qū)的曼哈頓距離的最小值為45。由此，學(xué)生在建模求解中不僅加強(qiáng)了對向量知識的掌握，還復(fù)習(xí)了圓的相關(guān)知識，能將向量與圓的知識完成銜接，構(gòu)建更加完善的知識體系，促進(jìn)數(shù)學(xué)建模能力提高的同時，還能將所學(xué)知識融會貫通，強(qiáng)化系統(tǒng)化學(xué)習(xí)。

（五）問題拓展

當(dāng)學(xué)生接觸過建模活動且厘清學(xué)習(xí)思維后，教師可以在原有基礎(chǔ)上設(shè)計拓展環(huán)節(jié)，指導(dǎo)學(xué)生對模型展開進(jìn)一步的討論。例如，根據(jù)圖1所示，n臺工作效率相同的機(jī)器等距排列在一條流水線上，每臺機(jī)器生產(chǎn)零件都需要送到人工檢驗(yàn)臺上檢驗(yàn)，質(zhì)量合格后才能進(jìn)入下一道工序。如果零件在直線上傳送速度是相同的，問檢驗(yàn)臺的位置應(yīng)設(shè)置在哪里，才能使零件傳輸時總的距離最?。?/p>

在前面的問題中，教師給予了學(xué)生指導(dǎo)，并在題目中給出了具體數(shù)值，學(xué)生在計算時可以通過繪制直觀的圖像解題，但拓展問題的難度明顯增大，將固定的位置轉(zhuǎn)變?yōu)閯討B(tài)的流水線，且題目中給出的條件有限。很多學(xué)生在初次閱讀題目后往往是一頭霧水，教師可以將學(xué)生分成多個小組，讓他們在小組內(nèi)展開分析和探究。小組內(nèi)成員需要結(jié)合題意先完成建模工作，小組長鼓勵成員依次說明自己的觀點(diǎn)和看法，集中所有人的智慧建模再求解。根據(jù)題目的要求將零件傳送總距離設(shè)為y，將檢驗(yàn)臺位置設(shè)為x，再將第k個零件的位置設(shè)為[Akk=1，2，...，n]，再列式求出結(jié)果。教師通過設(shè)計基礎(chǔ)性、創(chuàng)新性、拓展性等難度不同的問題，不僅可以讓學(xué)生鞏固向量的知識，還能對數(shù)列、圓等知識加強(qiáng)理解，而且讓學(xué)生完整地體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模的過程，最終使學(xué)生的核心素養(yǎng)得到鍛煉和提高。

三、依托學(xué)生社團(tuán)的課外數(shù)學(xué)建模案例研究

數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)僅依靠課堂教學(xué)時間是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，教師應(yīng)探索將教學(xué)向課外拓展，尋找課內(nèi)外活動相銜接的道路。社團(tuán)活動是學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力發(fā)展的有效途徑，為了培養(yǎng)學(xué)生綜合能力，部分高中陸續(xù)開展了社團(tuán)活動，這為數(shù)學(xué)建?；顒犹峁┝税l(fā)展和實(shí)踐的良好平臺。教師在鼓勵學(xué)生成立數(shù)學(xué)建模社團(tuán)活動，并邀請課內(nèi)外教師為他們做指導(dǎo)工作，以生活中的實(shí)際問題為背景建立數(shù)學(xué)模型，并設(shè)計競賽活動，鼓勵學(xué)生以組隊(duì)的形式參與其中。以“數(shù)學(xué)建模案例（三）：人數(shù)估計”為例，為了培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，教師可以在社團(tuán)舉辦競賽活動，設(shè)計只知道部分信息的題目，讓學(xué)生以小組為單位，自行推理和估計全部信息。問題的設(shè)計要盡量貼合生活實(shí)際，如醫(yī)療科研機(jī)構(gòu)調(diào)查某慢性病患者的人數(shù)、學(xué)校五一外出旅游的人數(shù)、高考改革后物理學(xué)科選考人數(shù)等，讓學(xué)生在建模中深化對知識的掌握。

（一）提出問題

某高校美術(shù)系平面設(shè)計專業(yè)是“大熱門”，報考人數(shù)連創(chuàng)新高，今年報名結(jié)束后，某考生想要知道報考的總?cè)藬?shù)，就隨機(jī)了解了50個考生的考號整理在下表1中?？忌目继柺前凑沼尚〉酱蟮捻樞蛞来闻帕械?，請大家設(shè)計一種方法，根據(jù)隨機(jī)的考生考號估計考生的總數(shù)。

（二）分析問題

從表格中隨機(jī)抽取的考號，總體中的個體已經(jīng)按照自然數(shù)編號，通過隨機(jī)抽取并按照從小到大的順序排序后，把考號分別記為[x1]，[x2]，[x3]，...[xn]，其中 。但由于考生總數(shù)并沒有精確的估計方法，如果沒有其他輔助消息，則只能利用樣本估計總體的形式進(jìn)行近似估計。因此，為了使估計值更加精準(zhǔn)，各小組可以在多種假設(shè)的條件下，采用不同的估計方法建立數(shù)學(xué)模型并求解。

（三）建模與求解

結(jié)合所學(xué)知識，各小組學(xué)生會采用不同的方法建立數(shù)學(xué)模型并求解，有的小組從樣本與總體的關(guān)系入手，嘗試用樣本的最大值估計總體的最大值;有的小組則借助中位數(shù)建模，用樣本的中位數(shù)估計總體的中位數(shù);有的小組則是借助樣本的平均值估計總體的平均值;還有小組利用分區(qū)間的方式求解。以用分區(qū)間方法求解為例，具體解題內(nèi)容如下：將隨機(jī)抽取的50個樣本按照從小到大的順序排列，利用它將N個數(shù)據(jù)分段，選取不同的端點(diǎn)，則得到不同的估計值。在分區(qū)間時，需要先將區(qū)間[1，N]分成51個小區(qū)間，分別是[1，x1]，[x1，x2]，……，[x50，N]，利用公式計算出這51個小區(qū)間長度均值為[N-151]，而前50個區(qū)間的平均長度則為[x50-150]，由于樣本是隨機(jī)抽取的，可以認(rèn)為[N-151≈x50-150]，因此，N的估計值可取為[N4=51x50-150+1=1006]。在建模和求解的過程中，各小組所用的方法不一樣，取得的結(jié)果也會存在一定的差異，教師知道結(jié)果是在合理的假設(shè)前提下得到的，就不能說結(jié)果一定是錯的，這也體現(xiàn)了統(tǒng)計學(xué)的特點(diǎn)。對此，競賽評委要更重視對學(xué)生的建模過程和分析過程進(jìn)行點(diǎn)評，讓學(xué)生在建模中通過討論和探究有所收獲。

（四）模型檢驗(yàn)

指導(dǎo)教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生的建模過程和探究結(jié)果，要求學(xué)生嘗試在合理范圍內(nèi)改變隨機(jī)考號內(nèi)容，并重新建模計算求解，查看結(jié)果是否存在偏差，如果前后兩次所得結(jié)果相差無幾，則說明所建模型的合理性與適用性。反之，如果前后兩次所得結(jié)果有較大的偏差，則需要在小組內(nèi)重新討論，思索建模與求解中的不足之處，并對過程進(jìn)行合理的優(yōu)化。

四、結(jié)語

總的來說，當(dāng)前的高中數(shù)學(xué)課堂中很少組織過建模活動，更多的是教師組織學(xué)生在課堂中討論數(shù)學(xué)建模相關(guān)的問題，在課堂中很少體現(xiàn)對學(xué)生建模素養(yǎng)的培養(yǎng)。為了改變這一情況，教師應(yīng)從核心素養(yǎng)的角度出發(fā)，以理論指導(dǎo)實(shí)踐，設(shè)計具體的教學(xué)案例，并引導(dǎo)學(xué)生參與其中，通過實(shí)踐活動獲取知識、提高自身能力。

（吳淑媛）