談高中數(shù)學(xué)規(guī)范化解題培養(yǎng)的幾個(gè)有效途徑

袁鳳祥

[摘? 要] 在數(shù)學(xué)考試中，很多學(xué)生常因解答過(guò)程不完整、數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)不準(zhǔn)確、數(shù)學(xué)符號(hào)應(yīng)用不規(guī)范等情況而造成失分，出現(xiàn)這一現(xiàn)象的主要原因之一就是平時(shí)學(xué)習(xí)時(shí)不重視解題規(guī)范. 因此，在平時(shí)教學(xué)中，教師要從審題、轉(zhuǎn)化、解答、書(shū)寫(xiě)等多方面入手，培養(yǎng)學(xué)生良好的解題習(xí)慣，以此促進(jìn)學(xué)習(xí)成績(jī)提升.

[關(guān)鍵詞] 解題規(guī)范;解題習(xí)慣;學(xué)習(xí)成績(jī)

任何學(xué)科都是學(xué)以致用的，數(shù)學(xué)學(xué)科自然也不例外，對(duì)于高中數(shù)學(xué)而言，其應(yīng)用性特別強(qiáng)，主要原因就在于我國(guó)高中數(shù)學(xué)的知識(shí)體系已經(jīng)非常嚴(yán)明，學(xué)生接受了數(shù)學(xué)知識(shí)后，自身的思維可以得到充分的培養(yǎng)與應(yīng)用，而運(yùn)用的主要場(chǎng)所就是解題. 一直以來(lái)，我國(guó)高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)都非常重視過(guò)程與結(jié)果，強(qiáng)調(diào)用嚴(yán)密的推理過(guò)程獲得正確的結(jié)果，這是學(xué)生解題的理想狀態(tài). 然而有一定經(jīng)驗(yàn)的高中數(shù)學(xué)教師都知道，要達(dá)成這個(gè)理想狀態(tài)并不容易，更多時(shí)候?qū)W生會(huì)在解題過(guò)程中出現(xiàn)各種各樣的錯(cuò)誤，表現(xiàn)出了非常不規(guī)范的一面. 要化解這一問(wèn)題，就必須走規(guī)范化解題的道路.

一般認(rèn)為，數(shù)學(xué)是一門(mén)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，它要求解題時(shí)不僅結(jié)論敘述要精煉、準(zhǔn)確，而且結(jié)論的推理過(guò)程也要做到嚴(yán)謹(jǐn)、周密. 然在現(xiàn)實(shí)教學(xué)中，部分學(xué)生對(duì)解題規(guī)范的認(rèn)識(shí)存在一定的片面性，他們認(rèn)為數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，答案是唯一的，若公式、定理、解題思路等應(yīng)用錯(cuò)誤不可能得到正確的答案，結(jié)論正確才是最重要的，規(guī)范化并不會(huì)對(duì)解題結(jié)果造成影響，只要會(huì)就可以了，沒(méi)有必要“吹毛求疵”;還有學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)間緊，平時(shí)學(xué)習(xí)時(shí)有些步驟可以省略，只要高考時(shí)能規(guī)范化書(shū)寫(xiě)就可以了，這樣只關(guān)注“結(jié)果”和“分?jǐn)?shù)”的片面認(rèn)識(shí)影響了解題規(guī)范的形成. 要知道，數(shù)學(xué)是一門(mén)邏輯性較強(qiáng)的學(xué)科，若沒(méi)有良好的解題習(xí)慣，當(dāng)學(xué)生處理一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題時(shí)也許可以輕松應(yīng)對(duì)，但當(dāng)面對(duì)較為復(fù)雜的題目時(shí)往往會(huì)寸步難行，只有規(guī)范化解題才能使解題過(guò)程更加完整，使每步的實(shí)施都有理有據(jù)，使公式、定理的應(yīng)用更加準(zhǔn)確和規(guī)范，從而大大減少解題錯(cuò)誤，逐漸養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣和學(xué)習(xí)習(xí)慣，促進(jìn)學(xué)生思維能力提升.

基于解題時(shí)出現(xiàn)的一些不規(guī)范問(wèn)題，筆者結(jié)合具體實(shí)例談?wù)剮c(diǎn)規(guī)范化解題的培養(yǎng)途徑，僅供參考.

[?]審題規(guī)范化

考前學(xué)生聽(tīng)得最多的話(huà)可能就是“考試時(shí)要認(rèn)真審題”，看似一句簡(jiǎn)單的囑托卻透露出了審題的重要性，可以說(shuō)審題是解題的基礎(chǔ)和前提，只有審好了題才能快速、準(zhǔn)確地形成解題思路，提高解題效率;只有審好了題才能有效避免煩瑣的運(yùn)算;只有審好了題才能避免因錯(cuò)看信息而造成錯(cuò)解，等等. 因此，學(xué)生解題時(shí)不能急于求成，要多角度觀察題設(shè)信息，由表及里地分析出問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，從而使解題過(guò)程有條不紊，快速高效.

實(shí)際教學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)的問(wèn)題是，盡管“認(rèn)真審題”已經(jīng)磨破了學(xué)生的耳朵，但是真正解題時(shí)依然會(huì)出現(xiàn)很多的審題問(wèn)題. 說(shuō)到底，出現(xiàn)這些問(wèn)題的原因就在于學(xué)生審題不規(guī)范，因此審題規(guī)范化是解題規(guī)范化教學(xué)中的第一個(gè)重要環(huán)節(jié). 從經(jīng)驗(yàn)的角度來(lái)看，很多教師追求審題規(guī)范化時(shí)，會(huì)提出“畫(huà)關(guān)鍵詞”等方式;但是事實(shí)又表明，盡管有很多學(xué)生解題時(shí)也能夠用畫(huà)線或者畫(huà)圈的方法標(biāo)出題目中的關(guān)鍵詞，但是這依然不能支撐起學(xué)生解題能力的提升. 這其中的原因又是什么呢？說(shuō)白了，學(xué)生圈畫(huà)關(guān)鍵詞只不過(guò)是簡(jiǎn)單的模仿而已，當(dāng)學(xué)生通過(guò)耳濡目染，知道了數(shù)學(xué)題目中哪些詞是關(guān)鍵詞后，再用不同的方式標(biāo)志出來(lái)，這時(shí)圈畫(huà)關(guān)鍵詞實(shí)際上只具其形、并無(wú)其神. 很顯然，這樣的努力并不能促成審題規(guī)范化.

那么，具體應(yīng)如何去審題呢？怎樣審題才是規(guī)范化審題呢？筆者認(rèn)為，具體可以從審詞、審圖、審式等角度進(jìn)行. 之所以從這幾個(gè)角度進(jìn)行描述，是因?yàn)橐粋€(gè)完整的題目通常是由文字和圖形組成的——文字表達(dá)的題目信息，通常是數(shù)學(xué)題目的主干;圖形是一種形象化的表達(dá)，與文字是匹配的關(guān)系. 數(shù)學(xué)是研究數(shù)與形的學(xué)科，先用文字來(lái)描述數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系或提出與數(shù)有關(guān)系的問(wèn)題，然后借助圖形讓學(xué)生更好地理解題目中的信息，這是數(shù)學(xué)題目的大致輪廓，而學(xué)生解題通常需要借助公式來(lái)完成. 由此可見(jiàn)，審詞、審圖、審式確實(shí)是解答高中數(shù)學(xué)題目的首要規(guī)范. 下面對(duì)這三者進(jìn)行具體的闡述：

1. 審詞

學(xué)生審題不能走馬觀花，要學(xué)會(huì)抓住關(guān)鍵詞，從而透過(guò)關(guān)鍵詞理清題目中的條件和結(jié)論，通過(guò)對(duì)條件和結(jié)論的挖掘找到問(wèn)題的本質(zhì)，從而高效解決問(wèn)題.

例1 已知奇函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（x）=f（-x-2），且當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）=2x，則f（1812）的值為_(kāi)_______.

解析：首先，當(dāng)讀到f（x）為奇函數(shù)時(shí)，可以寫(xiě)出f（-x）=-f（x）;其次，題目中的第二個(gè)條件為f（x）=f（-x-2），結(jié)合f（x）為奇函數(shù)這個(gè)條件將其轉(zhuǎn)化成f（x）=f（x+4），轉(zhuǎn)化后可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)的周期性，這樣運(yùn)用函數(shù)的奇偶性和周期性使問(wèn)題迎刃而解.

學(xué)生解題時(shí)不要著急入手，先逐詞逐句進(jìn)行分析，挖掘出題設(shè)中隱藏的信息、弄清已知和結(jié)論后，再結(jié)合解題經(jīng)驗(yàn)制定合理的解決方案，這樣在解題中可以少走彎路，精簡(jiǎn)計(jì)算量，提高解題效率.

2. 審圖

圖形往往比文字信息更加簡(jiǎn)潔、直觀，認(rèn)真審圖不僅可以幫助學(xué)生理清題設(shè)中的文字信息，而且可以幫助學(xué)生挖掘出隱藏的條件，進(jìn)而快速形成解題思路. 但是，在解題中也發(fā)現(xiàn)，部分學(xué)生對(duì)圖形不夠重視，數(shù)形結(jié)合意識(shí)淡薄，僅將圖形作為審題輔助工具，而不重視挖掘隱藏其中的特殊關(guān)系，未能借助圖形將已知和結(jié)論建立聯(lián)系，致使圖形的價(jià)值未能全部發(fā)揮，限制了解題思路的形成.

例2 給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量和，它們的夾角為120°. 如圖1所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上變動(dòng). 若=x+y，其中x，y∈R，則x+y的最大值是________.

解析：由圖1可知，，，均為單位向量，∠AOC的大小影響著x+y的值. 本題的求解過(guò)程不唯一. 方法1：將向量間的關(guān)系2=（x+y）2轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，得到（x+y）2-1=3xy，接下來(lái)利用基本不等式求解;方法2：結(jié)合圖形，以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，由此得出點(diǎn)A（1，0），B

-，

，設(shè)點(diǎn)C（cosθ，sinθ），將x+y的最大值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值問(wèn)題.

通過(guò)審圖更容易發(fā)現(xiàn)，，這三個(gè)向量的關(guān)系，便于學(xué)生將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系. 另外，在方法2中，審圖后建立了平面直角坐標(biāo)系，使圖形和已知條件聯(lián)系得更加緊密，利用數(shù)形結(jié)合思想對(duì)條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，能高效地求解問(wèn)題.

3. 審式

有很多數(shù)學(xué)題目中的等量關(guān)系是通過(guò)關(guān)系式的形式給出的，因此，學(xué)生要想順利求解就需要認(rèn)真分析關(guān)系式的特點(diǎn)，理解關(guān)系式中各量的本質(zhì)聯(lián)系，從而應(yīng)用公式、定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，直至順利求解.

例3 在銳角三角形ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若+=6cosC，則+的值是________.

解析：已知條件+=6cosC中既有邊又有角，而+中都為角，因此根據(jù)已知和結(jié)論的結(jié)構(gòu)特征容易發(fā)現(xiàn)解題時(shí)需要進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化. 于是根據(jù)余弦定理得+==6×，所以a2+b2=. 這樣將角轉(zhuǎn)化為邊后再代入求解. 當(dāng)然，求解時(shí)也可以用利用正弦定理將式子+=6cosC進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而將邊轉(zhuǎn)化成角. 總之，解題時(shí)學(xué)生要注意觀察式子的結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)而挖掘出關(guān)系式的內(nèi)在聯(lián)系，結(jié)合已有認(rèn)知進(jìn)行有效轉(zhuǎn)化.

可見(jiàn)，審題是解題的關(guān)鍵，教師在日常教學(xué)中要重視學(xué)生審題習(xí)慣的培養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生善于抓住關(guān)鍵詞，注重挖掘圖形中隱藏的條件，利用好關(guān)系式中的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而讓學(xué)生通過(guò)審題發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)特征，找到解題方法，從而高效地解決問(wèn)題.

[?]轉(zhuǎn)化規(guī)范化

數(shù)學(xué)是一個(gè)高度重視轉(zhuǎn)化的學(xué)科，數(shù)學(xué)解題過(guò)程可以說(shuō)就是一個(gè)不斷轉(zhuǎn)化的過(guò)程. 轉(zhuǎn)化的過(guò)程越簡(jiǎn)潔、越符合邏輯，描述轉(zhuǎn)化過(guò)程所用的數(shù)學(xué)語(yǔ)言就越規(guī)范，那么解題過(guò)程通常也就越規(guī)范. 實(shí)際教學(xué)中很多數(shù)學(xué)教師都知道轉(zhuǎn)化的重要性，但是對(duì)于轉(zhuǎn)化規(guī)范的教學(xué)，教師通常只是將一些標(biāo)準(zhǔn)的解題過(guò)程呈現(xiàn)給學(xué)生，然后讓學(xué)生去模仿. 事實(shí)證明，這種簡(jiǎn)單的模仿只能夠幫助學(xué)生打好基礎(chǔ)，要想讓轉(zhuǎn)化變成高水平的規(guī)范，那就需要關(guān)注更多的細(xì)節(jié). 筆者梳理了如下幾點(diǎn)：

1. 注意條件轉(zhuǎn)化的全面性

數(shù)學(xué)是一門(mén)非常嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，任何限制條件都可能會(huì)影響題目的最終結(jié)果，因此學(xué)生解題時(shí)一定要全面考慮已知條件，充分挖掘已知中的隱含條件，避免因考慮不周而出現(xiàn)不等價(jià)轉(zhuǎn)化，最終造成錯(cuò)解.

例4 A={（x，y）

x2+mx-y+2=0，x∈R}，B={（x，y）

x-y+1=0，0≤x≤2}，若A∩B≠，求m的取值范圍.

解析：聯(lián)立方程y=x2+mx+2與y=x+1，得到關(guān)于x的方程x2+（m-1）x+1=0，由A∩B≠，原問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為“方程x2+（m-1）x+1=0在[0，2]上有解，求m的取值范圍”. 解題中，很多學(xué)生根據(jù)Δ≥0得到m≤-1或m≥3，卻忽視了0≤x≤2這一限定條件;也有學(xué)生關(guān)注到“方程x2+（m-1）x+1=0在[0，2]上有解”，但是沒(méi)有找到解題思路，也沒(méi)有得到答案. 仔細(xì)觀察方程x2+（m-1）x+1=0，不難得出方程的兩根之積xx=1，若將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）=x2+（m-1）x+1，可知函數(shù)f（x）恒過(guò)點(diǎn)（0，1）. 相信當(dāng)學(xué)生挖掘出這兩個(gè)隱藏信息后，問(wèn)題也就迎刃而解了.

為了提高學(xué)生解題的準(zhǔn)確率，教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生用全局的眼光去審視問(wèn)題，關(guān)注題設(shè)中的每一個(gè)已知條件，從而培養(yǎng)思維的深刻性，提升解題的準(zhǔn)確性.

2. 注意轉(zhuǎn)化過(guò)程的準(zhǔn)確性

在運(yùn)用公式、定理解題時(shí)，學(xué)生必須充分考慮其適用條件，切勿機(jī)械套用和濫用而造成錯(cuò)解. 為了保證學(xué)生應(yīng)用的準(zhǔn)確性，引導(dǎo)學(xué)生將公式、定理中的限定條件與已知條件相對(duì)比，保證轉(zhuǎn)化的準(zhǔn)確性，從而在等價(jià)轉(zhuǎn)化的前提下，尋找解題方案.

例5 已知△ABC為等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)為C.

（1）在斜邊AB上任取一點(diǎn)M，求AM

（2）在∠ACB的內(nèi)部，以點(diǎn)C為端點(diǎn)任作一條射線CM，與線段AB相交于點(diǎn)M，求AM

解析：這是一道幾何概型的概率問(wèn)題，解題時(shí)很多學(xué)生分不清這是哪種幾何概型而使解題出現(xiàn)了錯(cuò)誤. 對(duì)于問(wèn)題（1），在斜邊AB上任取一點(diǎn)M，對(duì)象的活動(dòng)范圍是線段AB，其以長(zhǎng)度為測(cè)度;而對(duì)于問(wèn)題（2），在∠ACB的內(nèi)部，以點(diǎn)C為端點(diǎn)作射線，對(duì)象的活動(dòng)范圍顯然是在∠ACB的內(nèi)部，因此其以角度為測(cè)度. 本題若想順利求解就需要厘清構(gòu)成事件的區(qū)域，區(qū)分好“長(zhǎng)度”和“角度”，再抓住“等可能性”這一特點(diǎn)，順利求解.

總之，數(shù)學(xué)解題過(guò)程可以看作是一個(gè)等價(jià)轉(zhuǎn)化的過(guò)程，為了保證轉(zhuǎn)化科學(xué)合理，學(xué)生從審題到解題都要保證過(guò)程的準(zhǔn)確性，切勿盲目臆造而使解題偏離方向，從而出現(xiàn)錯(cuò)誤. 同時(shí)，解題時(shí)要注意，轉(zhuǎn)化的過(guò)程并不是唯一的，因此在日常訓(xùn)練中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度去思考和解決問(wèn)題，進(jìn)而使轉(zhuǎn)化思路更加靈活、高效.

[?]解答規(guī)范化

高考中很多學(xué)生因書(shū)寫(xiě)不規(guī)范、數(shù)學(xué)語(yǔ)言和數(shù)學(xué)符合應(yīng)用不準(zhǔn)確而造成失分，明明可以得分的題目卻因解答不規(guī)范而失分實(shí)屬可惜. 因此在日常教學(xué)中，教師必須對(duì)學(xué)生的步驟書(shū)寫(xiě)和數(shù)學(xué)語(yǔ)言應(yīng)用做出嚴(yán)格要求，尤其在平時(shí)練習(xí)和平時(shí)考試時(shí)一定要嚴(yán)格按照高考的打分標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行評(píng)分，不要因平時(shí)的感情而影響學(xué)生最終的高考成績(jī)，得不償失.

應(yīng)當(dāng)說(shuō)提出這一點(diǎn)對(duì)于當(dāng)下的高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)來(lái)說(shuō)，有著非常重要的現(xiàn)實(shí)意義. 學(xué)生解答數(shù)學(xué)題目的過(guò)程，本質(zhì)上是一個(gè)用自己所掌握的數(shù)學(xué)語(yǔ)言去闡述自己所理解的數(shù)學(xué)邏輯關(guān)系的過(guò)程. 學(xué)生解題若想獲得成功，那就必須滿(mǎn)足兩個(gè)基本條件：一是確保自己所掌握的數(shù)學(xué)邏輯是準(zhǔn)確的，二是保證自己所掌握的數(shù)學(xué)語(yǔ)言是精確的. 通常情況下，教師教學(xué)時(shí)重視第一個(gè)條件，對(duì)于第二個(gè)條件的努力往往是一些簡(jiǎn)單的重復(fù). 而事實(shí)上，第二個(gè)條件正是當(dāng)下很多學(xué)生解題規(guī)范化的瓶頸，要突破這個(gè)瓶頸就必須重視解答規(guī)范化的教學(xué). 而且特別需要注意的是，解答規(guī)范化不能讓學(xué)生簡(jiǎn)單地去模仿，而應(yīng)當(dāng)著力培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言的能力，要讓學(xué)生知道運(yùn)用怎樣的數(shù)學(xué)語(yǔ)言才能體現(xiàn)出數(shù)學(xué)概念之間嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬯P(guān)系. 這是學(xué)生的內(nèi)在認(rèn)識(shí)，也是解答規(guī)范化的著力點(diǎn). 例如，求g（x）=sin

4x+

，x∈0

，的最小值時(shí)，學(xué)生直接寫(xiě)道：“由x∈0

，，所以g（x）的最小值為.”本題求解時(shí)學(xué)生沒(méi)有按照規(guī)范進(jìn)行書(shū)寫(xiě)，結(jié)論的得出顯得尤為突兀，這樣解題跨度較大，缺少相應(yīng)的文字說(shuō)明，證明過(guò)程和運(yùn)算過(guò)程嚴(yán)重缺失，即使結(jié)論正確也很難得分.

總之，在解題過(guò)程中必須嚴(yán)格遵守解題規(guī)范，這不僅有利于成績(jī)的提升，而且解題規(guī)范化可以使思維過(guò)程更加全面，有助于學(xué)習(xí)能力和解題能力提升. 作為高中數(shù)學(xué)教師，要認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)解題規(guī)范化的價(jià)值，要能夠在解題規(guī)范化的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的教育價(jià)值.