張亞龍
摘要:本文從矩陣的初等行變換出發(fā),分別提出在矩陣、向量組、線性方程組、矩陣的特征向量、二次型中的一些應(yīng)用,并呈現(xiàn)對(duì)應(yīng)例題,加強(qiáng)學(xué)生對(duì)矩陣的初等行變換的理解與應(yīng)用.
關(guān)鍵詞:初等行變換;矩陣;向量組;線性方程組
中圖分類號(hào):G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào):1008-0333(2022)21-0029-03
目前,《線性代數(shù)》這門課程是理工科和經(jīng)管類必開設(shè)的一門課程,主要內(nèi)容包括行列式、矩陣、線性方程組、向量組、相似矩陣、二次型等.矩陣的初等行變換貫穿在整個(gè)線性代數(shù)的內(nèi)容中,為了方便學(xué)生學(xué)習(xí),下面歸納總結(jié)了關(guān)于矩陣初等行變換在線性代數(shù)中的應(yīng)用.
1 矩陣中的應(yīng)用
1.1 求矩陣的逆
若矩陣A可逆,則A-1也可逆,A-1可以表示成若干個(gè)初等矩陣的乘積,因此可由矩陣的初等行變換求A-1,即(A,E)初等行變換(E,A-1),我們將矩陣A和單位矩陣E都做初等行變換,當(dāng)矩陣A化為單位矩陣E時(shí),單位矩陣E就變成了A-1.
例1求矩陣A=1-20
120
221的逆.
解作一個(gè)3×6的矩陣(A,E),并對(duì)其做矩陣的初等行變換.
(A,E)=1-20100
120010
221001→
10012120
010-14140
001-12-321=(E,A-1).
因此,A-1=12120
-14140
-12-321.
1.2 求矩陣的秩
矩陣秩的定義是非零子式的最高階數(shù),我們知道初等變換不改變矩陣的秩,對(duì)矩陣A做初等行變換化為行階梯形矩陣B,由行列式的性質(zhì)可知,矩陣A和矩陣B的非零子式最高階數(shù)相同,所以矩陣A與矩陣B的秩相等.
例2求矩陣A=1-1210
10011
2-2420
03001的秩.
解對(duì)矩陣A做初等行變換化為行階梯形矩陣.
A=1-1210
10011
2-2420
03001→1-1210
01-201
0060-2
00000=B
因?yàn)榫仃嘊中有三個(gè)非零行,即R(B)=3,所以R(A)=3.
2 在向量組中應(yīng)用
2.1 求向量組的秩
由于任何矩陣A,它的行秩=列秩=R(A),因此我們只需將向量組中的向量均按列構(gòu)成一個(gè)矩陣A,向量組的秩就等于矩陣A的秩.
例3求向量組α1=(1,-2,2),α2=(1,-4,0),α3=(1,-2,2)的秩.
解以αT1,αT2,αT3為列向量構(gòu)成矩陣A,并對(duì)矩陣A進(jìn)行初等行變換,把A化為階梯形矩陣B.
A=111
-2-4-2
202→111
0-20
0-20→111
010
000=B,得R(A)=R(B)=2,又因?yàn)橄蛄拷Mα1,α2,α3的秩等于矩陣A的秩,即向量組α1,α2,α3的秩為2.
2.2 求向量組的極大無關(guān)組
由于初等行變換不改變矩陣列向量的線性關(guān)系,因此可由初等行變換求解向量組的極大無關(guān)組.
例4求向量組α1=(1,2,3,0),α2=(-1,-2,0,3),α3=(2,4,6,0),α4=(1,-2,-1,0)的一個(gè)極大線性無關(guān)組.
解以αT1,αT2,αT3,αT4為列向量構(gòu)成矩陣A,并對(duì)矩陣A進(jìn)行初等行變換,把A化為行最簡(jiǎn)形矩陣B.
A=1-121
2-24-2
306-1
0300→1020
0100
0001
0000=B
非零行首非零元1所在的列作極大線性無關(guān)組,因此向量組α1,α2,α3,α4的一個(gè)極大線性無關(guān)組為α1,α2,α4.
3 在線性方程組中的應(yīng)用
通過一系列的初等行變換,將系數(shù)矩陣或增廣矩陣化為行最簡(jiǎn)形矩陣,判斷方程組是否有解,有解的情況下,求出通解.
3.1 解齊次線性方程組
例5求解齊次線性方程組
2x1+x2-x3+3x4=0
x1+2x2+3x3+x4=0
3x2+7x3-x4=0
x1-x2-4x3+2x4=0
解對(duì)系數(shù)矩陣A進(jìn)行初等行變換,化為行最簡(jiǎn)形矩陣,A=21-13
1231
037-1
1-1-42
→1231
0173-13
0000
0000→10-5353
0173-13
0000
0000
得同解方程組為x1=53x3-53x4
x2=-73x3+13x4其中x3,x4為自由未知量,令自由未知量x3
x4依次取1
0,0
1,得基礎(chǔ)解系η1=53
-73
1
0,η2=-53
13
0
1,所以齊次線性方程組的通解為c1η1+c2η2,(c1,c2為任意常數(shù)).
3.2 解非齊次線性方程組
例6求非齊次線性方程組x1+x2=5
2x1+x2+x3+2x4=1
5x1+3x2+2x3+2x4=3的通解.
解對(duì)增廣矩陣B進(jìn)行初等行變換,化為行最簡(jiǎn)形矩陣.
B=11005
21121
53223→
1012-4
01-1-29
000-2-4→1010-8
01-1013
00012
可以得出系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩,并且小于未知量的個(gè)數(shù),因此方程組有無數(shù)個(gè)解.即它的同解方程組為x1=-x3-8
x2=x3+13
x4=2,其中x3為自由未知量,令自由未知量x3=0,得特解α0=-8
13
0
2.
導(dǎo)出組的同解方程組為x1=-x3
x2=x3
x4=0,其中x3為自由未知量,令x3=1,得對(duì)應(yīng)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系η=-1
1
1
0,所以線性方程組的通解為α0+cη=-8
13
0
2+c-1
1
1
0,其中c為任意常數(shù).
4 在矩陣特征向量中的應(yīng)用
上面我們介紹了用初等行變換求解線性方程組,計(jì)算矩陣的特征向量就會(huì)涉及到解齊次線性方程組.
例7求矩陣A=22-2
25-4
-2-45的特征向量.
解由A-λE=2-λ2-2
25-λ-4
-2-45-λ=-(1-λ)2(λ-10)=0,得矩陣的特征值λ1=10,λ2=λ3=1.
當(dāng)特征值λ1=10時(shí),解齊次線性方程組(A-10E)X=0,即A-10E=-82-2
2-5-4
-2-45→201
011
000→1012
011
000得基礎(chǔ)解系η1=-12
-1
1,故A的對(duì)應(yīng)于特征值λ1=10的全部特征向量為c1-12
-1
1,其中c1為任意非零常數(shù).
當(dāng)λ2=λ3=1時(shí),解齊次線性方程組(A-E)X=0,即A-E=12-2
24-4
-2-44→12-2
000
000,
其基礎(chǔ)解系為η2=-2
1
0,η3=2
0
1,故A的對(duì)應(yīng)于特征值λ2=λ3=1的全部特征向量為c2-2
1
0+c32
0
1,其中c2,c3是不全為零的任意常數(shù).
矩陣的初等行變換貫穿于整個(gè)線性代數(shù)章節(jié)中,熟練應(yīng)用初等行變換是學(xué)好線性代數(shù)的基礎(chǔ),學(xué)生要在平時(shí)學(xué)習(xí)中,學(xué)會(huì)歸納總結(jié),使每個(gè)知識(shí)點(diǎn)建立聯(lián)系.
參考文獻(xiàn):
[1] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)[M].北京:高等教育出版社,2014.
[2] 郝秀梅,姜慶華.線性代數(shù)[M].北京:經(jīng)濟(jì)科學(xué)出版社,2017.
[責(zé)任編輯:李璟]