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      淺談矩陣的初等行變換在線性代數(shù)中的應(yīng)用

      2022-05-30 10:48:04張亞龍
      關(guān)鍵詞:線性方程組矩陣

      張亞龍

      摘要:本文從矩陣的初等行變換出發(fā),分別提出在矩陣、向量組、線性方程組、矩陣的特征向量、二次型中的一些應(yīng)用,并呈現(xiàn)對(duì)應(yīng)例題,加強(qiáng)學(xué)生對(duì)矩陣的初等行變換的理解與應(yīng)用.

      關(guān)鍵詞:初等行變換;矩陣;向量組;線性方程組

      中圖分類號(hào):G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào):1008-0333(2022)21-0029-03

      目前,《線性代數(shù)》這門課程是理工科和經(jīng)管類必開設(shè)的一門課程,主要內(nèi)容包括行列式、矩陣、線性方程組、向量組、相似矩陣、二次型等.矩陣的初等行變換貫穿在整個(gè)線性代數(shù)的內(nèi)容中,為了方便學(xué)生學(xué)習(xí),下面歸納總結(jié)了關(guān)于矩陣初等行變換在線性代數(shù)中的應(yīng)用.

      1 矩陣中的應(yīng)用

      1.1 求矩陣的逆

      若矩陣A可逆,則A-1也可逆,A-1可以表示成若干個(gè)初等矩陣的乘積,因此可由矩陣的初等行變換求A-1,即(A,E)初等行變換(E,A-1),我們將矩陣A和單位矩陣E都做初等行變換,當(dāng)矩陣A化為單位矩陣E時(shí),單位矩陣E就變成了A-1.

      例1求矩陣A=1-20

      120

      221的逆.

      解作一個(gè)3×6的矩陣(A,E),并對(duì)其做矩陣的初等行變換.

      (A,E)=1-20100

      120010

      221001→

      10012120

      010-14140

      001-12-321=(E,A-1).

      因此,A-1=12120

      -14140

      -12-321.

      1.2 求矩陣的秩

      矩陣秩的定義是非零子式的最高階數(shù),我們知道初等變換不改變矩陣的秩,對(duì)矩陣A做初等行變換化為行階梯形矩陣B,由行列式的性質(zhì)可知,矩陣A和矩陣B的非零子式最高階數(shù)相同,所以矩陣A與矩陣B的秩相等.

      例2求矩陣A=1-1210

      10011

      2-2420

      03001的秩.

      解對(duì)矩陣A做初等行變換化為行階梯形矩陣.

      A=1-1210

      10011

      2-2420

      03001→1-1210

      01-201

      0060-2

      00000=B

      因?yàn)榫仃嘊中有三個(gè)非零行,即R(B)=3,所以R(A)=3.

      2 在向量組中應(yīng)用

      2.1 求向量組的秩

      由于任何矩陣A,它的行秩=列秩=R(A),因此我們只需將向量組中的向量均按列構(gòu)成一個(gè)矩陣A,向量組的秩就等于矩陣A的秩.

      例3求向量組α1=(1,-2,2),α2=(1,-4,0),α3=(1,-2,2)的秩.

      解以αT1,αT2,αT3為列向量構(gòu)成矩陣A,并對(duì)矩陣A進(jìn)行初等行變換,把A化為階梯形矩陣B.

      A=111

      -2-4-2

      202→111

      0-20

      0-20→111

      010

      000=B,得R(A)=R(B)=2,又因?yàn)橄蛄拷Mα1,α2,α3的秩等于矩陣A的秩,即向量組α1,α2,α3的秩為2.

      2.2 求向量組的極大無關(guān)組

      由于初等行變換不改變矩陣列向量的線性關(guān)系,因此可由初等行變換求解向量組的極大無關(guān)組.

      例4求向量組α1=(1,2,3,0),α2=(-1,-2,0,3),α3=(2,4,6,0),α4=(1,-2,-1,0)的一個(gè)極大線性無關(guān)組.

      解以αT1,αT2,αT3,αT4為列向量構(gòu)成矩陣A,并對(duì)矩陣A進(jìn)行初等行變換,把A化為行最簡(jiǎn)形矩陣B.

      A=1-121

      2-24-2

      306-1

      0300→1020

      0100

      0001

      0000=B

      非零行首非零元1所在的列作極大線性無關(guān)組,因此向量組α1,α2,α3,α4的一個(gè)極大線性無關(guān)組為α1,α2,α4.

      3 在線性方程組中的應(yīng)用

      通過一系列的初等行變換,將系數(shù)矩陣或增廣矩陣化為行最簡(jiǎn)形矩陣,判斷方程組是否有解,有解的情況下,求出通解.

      3.1 解齊次線性方程組

      例5求解齊次線性方程組

      2x1+x2-x3+3x4=0

      x1+2x2+3x3+x4=0

      3x2+7x3-x4=0

      x1-x2-4x3+2x4=0

      解對(duì)系數(shù)矩陣A進(jìn)行初等行變換,化為行最簡(jiǎn)形矩陣,A=21-13

      1231

      037-1

      1-1-42

      →1231

      0173-13

      0000

      0000→10-5353

      0173-13

      0000

      0000

      得同解方程組為x1=53x3-53x4

      x2=-73x3+13x4其中x3,x4為自由未知量,令自由未知量x3

      x4依次取1

      0,0

      1,得基礎(chǔ)解系η1=53

      -73

      1

      0,η2=-53

      13

      0

      1,所以齊次線性方程組的通解為c1η1+c2η2,(c1,c2為任意常數(shù)).

      3.2 解非齊次線性方程組

      例6求非齊次線性方程組x1+x2=5

      2x1+x2+x3+2x4=1

      5x1+3x2+2x3+2x4=3的通解.

      解對(duì)增廣矩陣B進(jìn)行初等行變換,化為行最簡(jiǎn)形矩陣.

      B=11005

      21121

      53223→

      1012-4

      01-1-29

      000-2-4→1010-8

      01-1013

      00012

      可以得出系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩,并且小于未知量的個(gè)數(shù),因此方程組有無數(shù)個(gè)解.即它的同解方程組為x1=-x3-8

      x2=x3+13

      x4=2,其中x3為自由未知量,令自由未知量x3=0,得特解α0=-8

      13

      0

      2.

      導(dǎo)出組的同解方程組為x1=-x3

      x2=x3

      x4=0,其中x3為自由未知量,令x3=1,得對(duì)應(yīng)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系η=-1

      1

      1

      0,所以線性方程組的通解為α0+cη=-8

      13

      0

      2+c-1

      1

      1

      0,其中c為任意常數(shù).

      4 在矩陣特征向量中的應(yīng)用

      上面我們介紹了用初等行變換求解線性方程組,計(jì)算矩陣的特征向量就會(huì)涉及到解齊次線性方程組.

      例7求矩陣A=22-2

      25-4

      -2-45的特征向量.

      解由A-λE=2-λ2-2

      25-λ-4

      -2-45-λ=-(1-λ)2(λ-10)=0,得矩陣的特征值λ1=10,λ2=λ3=1.

      當(dāng)特征值λ1=10時(shí),解齊次線性方程組(A-10E)X=0,即A-10E=-82-2

      2-5-4

      -2-45→201

      011

      000→1012

      011

      000得基礎(chǔ)解系η1=-12

      -1

      1,故A的對(duì)應(yīng)于特征值λ1=10的全部特征向量為c1-12

      -1

      1,其中c1為任意非零常數(shù).

      當(dāng)λ2=λ3=1時(shí),解齊次線性方程組(A-E)X=0,即A-E=12-2

      24-4

      -2-44→12-2

      000

      000,

      其基礎(chǔ)解系為η2=-2

      1

      0,η3=2

      0

      1,故A的對(duì)應(yīng)于特征值λ2=λ3=1的全部特征向量為c2-2

      1

      0+c32

      0

      1,其中c2,c3是不全為零的任意常數(shù).

      矩陣的初等行變換貫穿于整個(gè)線性代數(shù)章節(jié)中,熟練應(yīng)用初等行變換是學(xué)好線性代數(shù)的基礎(chǔ),學(xué)生要在平時(shí)學(xué)習(xí)中,學(xué)會(huì)歸納總結(jié),使每個(gè)知識(shí)點(diǎn)建立聯(lián)系.

      參考文獻(xiàn):

      [1] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)[M].北京:高等教育出版社,2014.

      [2] 郝秀梅,姜慶華.線性代數(shù)[M].北京:經(jīng)濟(jì)科學(xué)出版社,2017.

      [責(zé)任編輯:李璟]

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