古人如何用算籌記數(shù)

徐品方

據(jù)史書中的記載和考古中發(fā)現(xiàn)的材料可知，古代的算籌實際上是一根根長短和粗細差不多的小棍子.這些小棍子一般長為13-14cm、徑粗為0.2-0.3cm，大多是用竹子制成的，也有用木頭、獸骨、象牙、金屬等材料制成的.一組算籌由大約270根小棍子組成，古人通常將其放在一個布袋里，系在腰間隨身攜帶，在需要記數(shù)和計算的時候，就把它們?nèi)〕鰜?，放在桌上、炕上或地上擺弄，如圖1.

算籌最早出現(xiàn)的時間已無法查考，春秋戰(zhàn)國的《老子》中就有“善數(shù)者不用籌策”，所以大約在春秋戰(zhàn)國時期（公元前770年一公元前221年），我們的祖先就已經(jīng)開始用算籌做計算工具（圖2）.

1954年6月，湖南長沙左家公山戰(zhàn)國楚墓首次出土了40根竹制算籌.算籌長12厘米，約制作于公元前2世紀.1955年夏天，河北石家莊東郊北宋村東漢墓又出土了17根骨制算籌，每根長12.5厘米，截面既有方形的，又有圓形的.1971年至1975年，陜西千陽縣、湖南長沙和湖北江陵鳳凰山等地區(qū)的西漢墓又陸續(xù)出土了骨制、象牙制和竹制的近百根算籌，這說明當時人們已經(jīng)普遍在使用算籌了，且其已成為離不開的計算工具了.

在算籌計數(shù)法中，以縱橫兩種排列方式來表示不同的數(shù)，其中1-5均分別以縱橫方式排列相應數(shù)目的算籌來表示，6-9則以上面的算籌再加下面相應的算籌來表示，如圖3所示，

約公元3-4世紀成書的《孫子算經(jīng)》（孫子是東漢即公元1世紀前的著名數(shù)學家）中記載：“凡算之法，先識其位，一縱十橫，百立千僵，千、十相望，萬、百相當.”意思是說：用算籌記數(shù)或計算，首先要識別籌的位置，用算籌記數(shù)有縱橫兩種方式，個位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，萬位用縱式，通過縱橫相間的方式來表示數(shù)，這說明算籌記數(shù)法采用的是10進位值制，它是世界上最早發(fā)明的10進位值制記數(shù)體系.例如，“36”記為“三1_”，“6827”記為“上Ⅲ一Ⅵ”.

那么遇到零怎么辦呢？古人的辦法是，遇到零不擺弄算籌，讓該處空著.到了13世紀，南宋數(shù)學家秦九韶（1208年-1268年）在數(shù)學著作《數(shù)書九章》中，首次用圓圈“O”表示空位，即零的意思，如圖4.

我們的祖先在開始的時候只會用算籌表示正整數(shù)，后來才用算籌表示負整數(shù)，公元3世紀魏晉時期數(shù)學家劉徽（約225年一約295年）在注釋《九章算術(shù)》時，創(chuàng)用兩種方法表示正負數(shù)：“正算赤，負算黑.否則以正邪為異.”這就是說用兩種方法表示正負數(shù)，方法一是把算籌染成紅黑兩色，紅籌表示正數(shù)，黑籌表示負數(shù).方法二是斜放算籌表示負數(shù)，正放算籌表示正數(shù).后來，古人又創(chuàng)用第三種方法：用截面為三角形的算籌表示正數(shù)，截面為矩形（長方形）的算籌表示負數(shù).于是，不管是多大的整數(shù)或零，都能用算籌表示出來，

那么如何用算籌來進行計算呢？古人有一套十分健全、完整的方法.加、減、乘、除、開平方、開立方以及解方程組，都可以用算籌來進行計算，并且它的運算法則仍遵循十進位值制運算法則.

用算籌進行乘法計算，要先把乘數(shù)擺在上面，再把被乘數(shù)擺在下面，并使上面一個數(shù)的首位與下面一個數(shù)的末位對齊，按照從左到右的順序用上面一個數(shù)的首位乘以下面一個數(shù)的各位上的數(shù)碼，把乘得的積擺在上下兩個數(shù)的中間，然后將上面一個數(shù)的首位去掉、下面一個數(shù)向右移動一位，再以上面一個數(shù)的第二位乘下面一個數(shù)的各位上的數(shù)碼，加入中間的乘積，并去掉上面一個數(shù)的第二位.直到上面一個數(shù)的各位數(shù)碼都用完，中間的數(shù)便是所求的結(jié)果.下面以183x26為例說明一下：

1.把乘數(shù)26擺在上面，被乘數(shù)183擺在下面，并將被乘數(shù)的個位與乘數(shù)的十位對齊，中間留下的空位擺乘得的積（如圖5）;

2.從高位乘起，用乘數(shù)十位上的2乘被乘數(shù)183，得3660，將其擺在中間，使積的數(shù)位與被乘數(shù)對齊（如圖6，積的個位0用空位表示）;

3.去掉已乘過的乘數(shù)十位上的數(shù)字2，把乘數(shù)個位6移至與被乘數(shù)的個位對齊的位置（如圖7）;

4.用乘數(shù)的個位6乘以被乘數(shù)183，將所得的積與3660相加，最后得積4758（如圖8）.

算籌在我國是一項了不起的發(fā)明，它具有使用方便、運算迅速的特點.算籌在中國使用了近2000年，我國古代數(shù)學中的幾項領(lǐng)先世界的成就都是用算籌來取得的，直到15世紀中葉算籌被更方便的計算工具“算盤”所代替，才逐漸退出歷史的舞臺.后來，算籌的表示方式也在不斷演變，如數(shù)學家秦九韶在《數(shù)書九章》中，創(chuàng)造了一套專用的記數(shù)符號，后人稱為南宋數(shù)碼，如圖9.

與古代符號相比較，秦九韶的記數(shù)符號至少有四處不同：一是用圓圈表示零;二是增加符號“×”，用來表示4;三是用符號“00 ”表示5;四是用符號“ ”表示9.

13世紀，我國數(shù)學家開始用筆在紙上演算，這時又出現(xiàn)了一套如下包括零在內(nèi)的商用數(shù)字符號：

這套數(shù)碼實際上是在南宋數(shù)碼中的 、 （9）的基礎(chǔ)上加以改變的結(jié)果.盡管這套算籌、數(shù)字符號使用起來方便，筆畫簡明、運算迅速，但是它有一個致命的缺點，就是易被竄改，發(fā)生弊誤，

——摘自《數(shù)學符號史》