絕對(duì)值概念及其應(yīng)用的教學(xué)思考

赫秀輝

[摘 ?要] 絕對(duì)值作為初中數(shù)學(xué)的基本概念之一，在數(shù)學(xué)中具有廣泛的應(yīng)用. 作為初中數(shù)學(xué)起始章節(jié)的重要內(nèi)容，是教學(xué)的難點(diǎn). 文章從概念本質(zhì)和概念應(yīng)用兩個(gè)角度來闡述對(duì)這部分內(nèi)容的教學(xué)思考.

[關(guān)鍵詞] 絕對(duì)值;概念;教學(xué);解題

絕對(duì)值是初中數(shù)學(xué)中最基本的概念之一，它是以數(shù)軸作為橋梁，利用“距離”這個(gè)基本的幾何量來定義的. 絕對(duì)值的概念是有理數(shù)一章中教學(xué)的難點(diǎn)，同時(shí)也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，因此教師有必要圍繞概念的教學(xué)進(jìn)行深入的考量，從概念的理解與應(yīng)用兩個(gè)方面有效實(shí)施教學(xué).

對(duì)絕對(duì)值概念的理解

1. 從定義看概念的教學(xué)

在教材中，絕對(duì)值是以數(shù)在數(shù)軸上的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離來定義的，即用“距離”來定義絕對(duì)值，這體現(xiàn)了絕對(duì)值的本質(zhì). 對(duì)學(xué)生而言，借助數(shù)軸理解絕對(duì)值的定義，是直觀而容易的. 然而，教材配置的練習(xí)中缺少用絕對(duì)值的幾何意義解決問題的題目. 既然是從幾何角度定義的，應(yīng)該讓學(xué)生通過解決問題充分體會(huì)這一本質(zhì).

教材對(duì)于絕對(duì)值的代數(shù)意義 ， 只用“由絕對(duì)值的定義可知” ， 并且分為三類情況來表述，形式上使用了分類思想. 事實(shí)上，一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值仍然是一個(gè)數(shù)，只是依據(jù)數(shù)的不同屬性得到不同的值，它應(yīng)是一個(gè)完整的數(shù). 因此，用一個(gè)式子來表達(dá)更準(zhǔn)確，即應(yīng)該表示為a=a

（a>0），

0（a=0），

-a（

a<0）， 這樣的表達(dá)有利于學(xué)生完整理解概念，并且整個(gè)表達(dá)形式與高中相關(guān)問題的表達(dá)形式是一致的.

值得注意的是，絕對(duì)值的代數(shù)意義既是從代數(shù)的角度表達(dá)絕對(duì)值，把絕對(duì)值作為一個(gè)完整的“數(shù)”來理解，也給出了求一個(gè)數(shù)絕對(duì)值的具體方法. 它是學(xué)生在解題中常用的方法，因此不能忽視它.

2. 從定義看知識(shí)的完善

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)，不但要注重知識(shí)，還要注重知識(shí)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”和“延伸點(diǎn)”，注重知識(shí)間的邏輯聯(lián)系，使學(xué)生會(huì)把局部數(shù)學(xué)知識(shí)置于整體知識(shí)體系中，從而加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)的整體把握和宏觀認(rèn)識(shí). 絕對(duì)值作為一個(gè)數(shù)學(xué)概念，不是孤立的，它是數(shù)學(xué)概念中的一個(gè)有機(jī)部分，也是學(xué)習(xí)理解其他數(shù)學(xué)知識(shí)的工具. 在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系前面的內(nèi)容，幫助學(xué)生建立知識(shí)間的聯(lián)系.

絕對(duì)值的概念是建立在數(shù)軸和相反數(shù)的基礎(chǔ)上的. 一個(gè)數(shù)和它的絕對(duì)值具有確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系：一個(gè)數(shù)確定了，它的絕對(duì)值是唯一確定的數(shù). 反之則不然，a確定了，對(duì)應(yīng)的數(shù)a也是確定的，但可能不唯一.具體地說，若絕對(duì)值是正數(shù)，對(duì)應(yīng)的數(shù)a有互為相反數(shù)的兩個(gè)值. 若絕對(duì)值是零，對(duì)應(yīng)的數(shù)a是零. 有的學(xué)生對(duì)于“一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，0的絕對(duì)值是0”記得很熟，但是往往在已知絕對(duì)值求字母的取值時(shí)漏掉一種情況，缺乏對(duì)這種對(duì)應(yīng)關(guān)系的理解. 在教學(xué)中，應(yīng)該注意強(qiáng)化學(xué)生這種對(duì)應(yīng)的理解.

教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生在絕對(duì)值的學(xué)習(xí)中進(jìn)一步理解有理數(shù)的意義，即利用絕對(duì)值來說明正數(shù)、負(fù)數(shù)的意義. 一個(gè)數(shù)由符號(hào)和絕對(duì)值構(gòu)成，例如-3，“-”號(hào)表示這個(gè)數(shù)的屬性，即表示一個(gè)負(fù)數(shù)，而3表示這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值. 從數(shù)軸上看，“-”號(hào)表示這個(gè)數(shù)的位置在原點(diǎn)的左側(cè)，3表明它與原點(diǎn)的距離是3個(gè)單位長(zhǎng)度. 這樣的理解有助于學(xué)生對(duì)于一個(gè)數(shù)形成完整的認(rèn)識(shí)，也有助于建立知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系. 此外，絕對(duì)值符號(hào)a中的a既可以是一個(gè)具體的數(shù)，也可以是一個(gè)代數(shù)式. 在后面學(xué)習(xí)整式、方程以及不等式的相關(guān)內(nèi)容中，也需要注意深化對(duì)a的理解和應(yīng)用.

絕對(duì)值概念的應(yīng)用

促進(jìn)深度思維的數(shù)學(xué)概念教學(xué)，關(guān)鍵在于深層理解概念并能遷移運(yùn)用其解決問題. 絕對(duì)值的定義是概念，也是方法，而且非常明顯的具有代數(shù)和幾何兩種意義. 絕對(duì)值綜合問題的解決應(yīng)緊緊圍繞概念進(jìn)行.

1. 代數(shù)意義的理解

為了加深對(duì)概念本身的理解，化簡(jiǎn)含有幾個(gè)絕對(duì)值符號(hào)的代數(shù)式，是常見的題目，解決這類問題的常用方法是利用絕對(duì)值的代數(shù)意義，將絕對(duì)值符號(hào)化去，將其轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值的問題.

例1 ?（化簡(jiǎn)絕對(duì)值） 已知a，b，c三個(gè)數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)：a-b+a+c+c-b.

解答 ?由 a，b，c在數(shù)軸上的位置可知 a<0，b<0，c>0，且a

上面的問題是利用數(shù)軸上數(shù)的位置確定了數(shù)的正負(fù)，然后再利用絕對(duì)值的代數(shù)意義去掉絕對(duì)值符號(hào)，屬于概念的直接應(yīng)用. 對(duì)于含有字母的問題，僅從數(shù)的角度去理解即可.

從概念可以得出，一個(gè)非零數(shù)和它的絕對(duì)值或是相等或是互為相反數(shù)，因此它們的商等于1或者是-1. 據(jù)此可以設(shè)計(jì)下面的問題.

例2如果abc<0，求++的所有可能值.

解答 ?因?yàn)閍bc<0，所以a，b，c中有兩個(gè)大于0，一個(gè)小于0或三個(gè)都小于0. 所以原式 =-3或1.

2. 幾何意義的應(yīng)用

從絕對(duì)值的定義我們知道，a的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離. 相應(yīng)地，x-a的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)x的點(diǎn)與表示數(shù)a的點(diǎn)之間的距離. 在這個(gè)意義下，某些問題很容易得到解決.

例3已知x-2=1，求x的值.

解答 ?（從幾何意義去理解）方程x-2=1表示在數(shù)軸上表示數(shù)x的點(diǎn)與表示數(shù)2的點(diǎn)之間的距離是1，于是容易求出數(shù)x的值為1或3.

當(dāng)然，此題也可以把x-2看作一個(gè)數(shù)，再根據(jù)絕對(duì)值的意義直接得到關(guān)于x的一元一次方程，這種方法可以在后面方程學(xué)習(xí)中得以深化. 此題看似是方程問題 ，但是在第一章中的學(xué)習(xí)中，用絕對(duì)值的幾何意義去解決更符合學(xué)生認(rèn)知，是對(duì)概念的進(jìn)一步深化. 按照這個(gè)思路，求x-2>1或是x-2<1中未知數(shù)x的取值范圍，對(duì)學(xué)生而言也不是難事.

例4求y=x-2+x+3的最小值.

解答 ?方法一（利用絕對(duì)值的幾何意義），x-2的幾何意義是數(shù)軸上表示x的點(diǎn)M與表示2的點(diǎn)A之間的距離. x+3的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)x的點(diǎn)M與表示數(shù)-3的點(diǎn)B之間的距離. 要求y的最小值，其實(shí)就是求這兩個(gè)距離之和的最小值. 顯然，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)A與點(diǎn)B之間時(shí)，這個(gè)和最小，且最小值為5.

方法二（依據(jù)絕對(duì)值的代數(shù)意義，使用“零點(diǎn)分段法”化簡(jiǎn)x-2+x+3，得到一個(gè)分段函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)得到最小值），因?yàn)楫?dāng)x=2時(shí)，x-2=0，當(dāng)x=-3時(shí)，x+3=0，于是我們可以用-3和2將x的取值分為三段，得到分段函數(shù)y=-2x-1（x≤-3），

5

（-3

2x+1（x≥2），于是可求出這個(gè)函數(shù)的最小值為5.

上述兩種方法都是依據(jù)絕對(duì)值的意義，顯然幾何意義對(duì)于解決此類問題更簡(jiǎn)捷. 更能體現(xiàn)出概念本質(zhì). 根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義容易得到：

當(dāng)且僅當(dāng)a≤x≤b時(shí)，y=x-a+x-b（a≤b）取得最小值. 進(jìn)一步推廣：

當(dāng)a≤x≤a時(shí)，

y=

x-a+

x-a+

x-a+…+

x-a（n為正整數(shù)，a≤a≤…≤a）取得最小值，即當(dāng)零點(diǎn)個(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，x取最中間兩個(gè)零點(diǎn)間的任何一個(gè)數(shù)時(shí)，y都可取得最小值.

當(dāng)x=a時(shí)，y=

x-a+

x-a+

x-a+…+

x-a（n為正整數(shù)，a≤a≤…≤a）取得最小值. 即當(dāng)零點(diǎn)個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，x取最中間零點(diǎn)時(shí)，原函數(shù)可取得最小值.

利用上面的結(jié)論可以解決下面的問題.

例5求y=x-1+2x-1+3x-1的最小值.

解答 ?將等式右邊化為：

x-1+2x-1+3x-1=x-1+

x-+

x-+

x-+

x-+

x-，

根據(jù)上面的結(jié)論，當(dāng)≤x≤時(shí)，y取得最小值1.

絕對(duì)值作為數(shù)學(xué)中的重要概念，在教學(xué)中應(yīng)引起重視，其代數(shù)意義和幾何意義作為解決問題的一種重要方法，在不同階段強(qiáng)化不同. 在初中階段，應(yīng)強(qiáng)化幾何意義的應(yīng)用，讓學(xué)生深刻理解絕對(duì)值的“距離”本質(zhì)，這也是絕對(duì)值概念的核心.