用什么撬動(dòng)“量感”培養(yǎng)

許貽亮 朱阿娜

【編者按】量感源自度量，主要是指對(duì)事物的可測(cè)量屬性及大小關(guān)系的直觀感知，也表現(xiàn)為學(xué)生在現(xiàn)實(shí)情境中主動(dòng)運(yùn)用量的意識(shí)。當(dāng)前，越來(lái)越多的教師開(kāi)始關(guān)注對(duì)學(xué)生量感的培養(yǎng)，但在實(shí)踐中卻遇到一些困惑。那么，量感與數(shù)感有何區(qū)別？量感的核心概念是什么？教學(xué)中應(yīng)采用何種策略應(yīng)對(duì)學(xué)生量感發(fā)展的需求？本期一起來(lái)探討這一話題。

提到“量感”，一線教師難免會(huì)有“熟悉的陌生”之感。熟悉的是，現(xiàn)行教材中的各種度量教學(xué)內(nèi)容，包括生活中的人民幣、質(zhì)量、時(shí)間，圖形中的長(zhǎng)度、角度、面積、體積等。陌生的是，原有的度量教學(xué)算不算對(duì)量感的培養(yǎng)？是否達(dá)成《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）中提出的“對(duì)事物的可測(cè)量屬性及大小關(guān)系的直觀感知”及相關(guān)培養(yǎng)目標(biāo)？特別是在除長(zhǎng)度、面積、體積外，其他度量教學(xué)內(nèi)容都移到“綜合與實(shí)踐”領(lǐng)域之后。觀念是行為的先導(dǎo)，認(rèn)識(shí)觀念不清，教學(xué)行為則難免走樣。我們以為，原有的度量教學(xué)與核心概念的量感培養(yǎng)之間不能簡(jiǎn)單畫(huà)上等號(hào)，它們既有聯(lián)系又有區(qū)別?？灼笃浇淌谥赋觯骸傲扛小迸c“度量”的關(guān)系就好比“數(shù)感”與“計(jì)算”的關(guān)系。那么，教學(xué)中如何架設(shè)撬動(dòng)“量感”培養(yǎng)的支點(diǎn)？筆者認(rèn)為，教學(xué)支點(diǎn)的架設(shè)應(yīng)是多維、綜合、整體地考量。在教學(xué)材料的全局設(shè)計(jì)中夯實(shí)支點(diǎn)的基體，由度量本質(zhì)的深刻體驗(yàn)中提煉支點(diǎn)的剛性，從核心素養(yǎng)的整體落實(shí)中校準(zhǔn)支點(diǎn)的方向，三者共同發(fā)力，更好地為培養(yǎng)學(xué)生量感服務(wù)。

一、設(shè)計(jì)教學(xué)材料，夯實(shí)支點(diǎn)的基體

要實(shí)現(xiàn)量感培養(yǎng)，應(yīng)重視對(duì)教學(xué)材料的設(shè)計(jì)，從而夯實(shí)教學(xué)支點(diǎn)的基體。要把現(xiàn)行教材內(nèi)容深度加工為教學(xué)材料，即在深入理解教材的學(xué)習(xí)主題、基本線索、認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，結(jié)合學(xué)情調(diào)研、教學(xué)思考、課程目標(biāo)等，對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行“照用”“截用”“重用”等綜合性使用。以設(shè)計(jì)好的教學(xué)材料，在教與學(xué)之間，在課堂教學(xué)與課程目標(biāo)之間織好紐帶、架好橋梁、搭好平臺(tái)。

“什么是面積”一課中，第1個(gè)情境問(wèn)題串是“看一看，比一比”，安排了3組教學(xué)素材：①大小相等、形狀相同的語(yǔ)文、數(shù)學(xué)課本;②大小不等、形狀相同的兩枚硬幣;③大小不等、形狀不同的兩片樹(shù)葉。細(xì)分析，可以發(fā)現(xiàn)其中的邏輯脈絡(luò)：從規(guī)則圖形到不規(guī)則圖形，從形狀相同到形狀不同，從直接觀察判斷到重疊操作判斷，進(jìn)而歸納概括面積的概念。其教學(xué)的核心有二：一是揭示面的所在，面的形狀;二是揭示有的面大，有的面小。從外延與內(nèi)涵兩方面來(lái)建構(gòu)面積概念，形成豐富表象。這樣編排符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，教學(xué)是可以按這樣的教學(xué)素材編排脈絡(luò)循序推進(jìn)的。在教學(xué)材料的深加工中，我們對(duì)這3組素材的使用并不是平均用力，而是在“照用”教材的同時(shí)對(duì)第1組素材進(jìn)行“重用”，以此夯實(shí)基體，再順延到其他2組素材。需要說(shuō)明的是，對(duì)教學(xué)材料的深加工不僅存在于課堂教學(xué)的情境創(chuàng)設(shè)階段，而是涵蓋著整個(gè)教學(xué)過(guò)程，需要整體性、全局性地統(tǒng)籌、取舍與布局。

實(shí)際教學(xué)中，我們通過(guò)對(duì)第1組素材的深度加工，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)“面”的多元感知，組織了4個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)。其一，增補(bǔ)。從語(yǔ)文書(shū)、數(shù)學(xué)書(shū)2本的簡(jiǎn)單相等，增補(bǔ)數(shù)量到6本，包括3本教科書(shū)（語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)）和3本練習(xí)本（生字本、算術(shù)簿、英語(yǔ)書(shū)寫(xiě)本），拓展規(guī)則物體形狀的外在表征，把教材中第2組素材的教學(xué)要素（大小不等，形狀相同）融合進(jìn)來(lái)，實(shí)現(xiàn)融多為一。其二，分類。把這6個(gè)教學(xué)素材進(jìn)行分類，直擊面積的核心要素“面的大小”，在直觀中喚醒學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)，自然地引出“面積”，并在操作中確定3本教科書(shū)封面一樣大，3本練習(xí)本封面一樣大，有機(jī)滲透觀察法、重疊法。其三，刷面。讓學(xué)生把手想象成一把神奇的“刷子”，刷出數(shù)學(xué)書(shū)封面的面積。刷的過(guò)程中，從只刷一點(diǎn)點(diǎn)（不滿），到一不小心刷過(guò)頭了（超出），最后完整地刷出整個(gè)面積（剛好），在3次情況對(duì)比中更好地確認(rèn)面的具體大小，即“橫向到邊，縱向到底”，從而確立面積的內(nèi)涵。其四，拓展。以圖片及實(shí)物的形式，從硬幣、樹(shù)葉，到長(zhǎng)方形、圓柱等，從物體表面到平面圖形，從規(guī)則的面到不規(guī)則的面，從直面到曲面，在外延的拓展中完善面積的豐富表象。

從一年級(jí)認(rèn)識(shí)圖形知道“面在體上”，到二年級(jí)對(duì)長(zhǎng)方形、正方形特征的認(rèn)識(shí)，其實(shí)對(duì)面的感知學(xué)生并不陌生，但深入地、微觀地認(rèn)識(shí)面的二維屬性，本課卻屬首次。在學(xué)情調(diào)研中，我們發(fā)現(xiàn)許多學(xué)生存在認(rèn)知上的困難或偏差。有的把面指為一個(gè)點(diǎn)或一條線，有的則只是籠統(tǒng)地說(shuō)“面在這兒”等，顯示出學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)中對(duì)“面”及“面的大小”感知的淺層或模糊。為此，本課教學(xué)一開(kāi)始就設(shè)計(jì)6樣學(xué)習(xí)用品（教科書(shū)、練習(xí)本），讓學(xué)生在熟悉的教學(xué)材料中一下子就關(guān)注到面及其大小，在觀察、分類、重疊中給予二次確認(rèn)，再組織有趣的浸入式體驗(yàn)把面刷出來(lái)，直觀感受面的邊界范圍，讓學(xué)生既動(dòng)手又動(dòng)腦，使量感的培養(yǎng)深入到學(xué)生的認(rèn)知興趣與具身體驗(yàn)中。因此，通過(guò)有層次性的、融合性的教學(xué)材料，夯實(shí)教學(xué)支點(diǎn)的基體，可以實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)中“知”與“情”的雙促進(jìn)與雙收獲。

二、深刻度量本質(zhì)，提煉支點(diǎn)的剛性

要推進(jìn)量感培養(yǎng)，應(yīng)突顯學(xué)生對(duì)度量本質(zhì)的深刻體驗(yàn)，提煉教學(xué)支點(diǎn)的剛性。量感與度量之間雖不能簡(jiǎn)單地畫(huà)上等號(hào)，但度量始終是量感培養(yǎng)的重要教學(xué)內(nèi)容，包括度量意識(shí)、度量單位、度量工具、度量方法、度量公式等。華羅庚先生指出：“量（liàng）”起源于“量（liáng）”，“量”是度量的結(jié)果，可以用“數(shù)+度量單位”表達(dá)?？梢?jiàn)，度量單位是“度量”的核心要素。具體到面積來(lái)說(shuō)，就是要確定面里有幾個(gè)這樣的度量單位，實(shí)現(xiàn)從定性感知到定量刻畫(huà)的認(rèn)知提升。

“什么是面積”一課，教材在第2個(gè)情境問(wèn)題串中安排了長(zhǎng)方形和正方形的面積比較，并提供3種不同的比較策略：①量邊長(zhǎng)，②剪、拼，③用小正方形度量。這些策略分別指向一維屬性的周長(zhǎng)與二維屬性的面積，既有定性的比較方法（剪、拼），也有定量的刻畫(huà)方法（量邊長(zhǎng)、用小正方形度量）。但在日常教學(xué)中，這一“定性”到“定量”的過(guò)程，常見(jiàn)學(xué)生在教師要求下的“依令而行”，特別是“用小正方形度量”時(shí)，學(xué)生缺乏“會(huì)針對(duì)真實(shí)情境選擇合適的度量單位進(jìn)行度量”的解決策略思考力，表現(xiàn)更多的是動(dòng)手操作執(zhí)行力。教學(xué)支點(diǎn)的剛性不足，不利于量感的長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展。

《課程標(biāo)準(zhǔn)》在“教學(xué)提示”中強(qiáng)調(diào)，要讓學(xué)生“經(jīng)歷選擇面積單位進(jìn)行測(cè)量的過(guò)程，理解面積的意義”。實(shí)際教學(xué)中，在揭示面積概念后，我們展開(kāi)兩次度量活動(dòng)。其一，通過(guò)對(duì)教學(xué)材料的一材多用，組織學(xué)生觀察、猜測(cè)：“數(shù)學(xué)書(shū)封面比算術(shù)簿大多少？”實(shí)現(xiàn)從“多這么多”到“2倍關(guān)系”的轉(zhuǎn)變（如圖1），不僅發(fā)展學(xué)生觀察比較的變通力，深刻感知“算術(shù)簿封面的面積為1，數(shù)學(xué)書(shū)封面的面積為2”的數(shù)學(xué)表達(dá)更為精確、準(zhǔn)確，初次感受定量刻畫(huà)的價(jià)值，又以此順勢(shì)遷移到其他的度量方式，如用小正方形度量獲得數(shù)值6等，在豐富學(xué)生度量策略的同時(shí)進(jìn)一步感知面積的數(shù)值表達(dá)。其二，出示一組不規(guī)則的圖形（如圖2），組織學(xué)生對(duì)它們的面積大小展開(kāi)比較。多數(shù)學(xué)生結(jié)合觀察到的圖形特點(diǎn)，聯(lián)系度量經(jīng)驗(yàn)，自發(fā)地提出解決問(wèn)題策略“用小正方形來(lái)量”，這時(shí)教師再提供學(xué)具支持，從而化“形”為“數(shù)”，用數(shù)據(jù)說(shuō)話。通過(guò)實(shí)際度量，最終賦予兩個(gè)圖形面積數(shù)值“8”和“7”，再次加深對(duì)圖形面積的定量把握。

從算術(shù)簿的“非標(biāo)準(zhǔn)量度量”到小正方形的“半標(biāo)準(zhǔn)量度量”，教學(xué)中始終圍繞度量單位展開(kāi)，在操作的具身體驗(yàn)中滲透培養(yǎng)了“我要度量”的意識(shí)和數(shù)學(xué)眼光。對(duì)于圖2的教學(xué)，雖然沒(méi)有過(guò)多地強(qiáng)化度量工具的多樣性選擇（如小正方形、方格紙、圓片等），卻在簡(jiǎn)單中達(dá)成深刻，在樸實(shí)中實(shí)現(xiàn)通透，使學(xué)生對(duì)度量意識(shí)、度量單位、度量?jī)r(jià)值的體驗(yàn)更為充分，從而更深層次地滋養(yǎng)學(xué)生的量感發(fā)展。因此，通過(guò)緊扣度量本質(zhì)展開(kāi)，使學(xué)生的量感體驗(yàn)厚實(shí)起來(lái)，提煉教學(xué)支點(diǎn)的剛性，可以實(shí)現(xiàn)以簡(jiǎn)馭繁的教學(xué)效果。

三、落實(shí)核心素養(yǎng)，校準(zhǔn)支點(diǎn)的方向

要實(shí)現(xiàn)量感培養(yǎng)，應(yīng)緊盯核心素養(yǎng)的具體落實(shí)，校準(zhǔn)教學(xué)支點(diǎn)的方向?！墩n程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“課程目標(biāo)的確定，立足學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展，集中體現(xiàn)數(shù)學(xué)課程育人價(jià)值?！毙W(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有“整體性、一致性和階段性”，應(yīng)在每一節(jié)課中始終給予關(guān)注與落實(shí)。對(duì)此，我們既要有基于核心觀念的備課意識(shí)，也要有單元整體教學(xué)的戰(zhàn)略眼光。具體到“什么是面積”一課，我們不能僅把它定位為一節(jié)概念課，不能僅關(guān)注它的內(nèi)涵與外延，不能僅把學(xué)生的思維觸角局限于能比較出兩個(gè)面的大小。而應(yīng)該有更寬廣的教學(xué)視野、更清晰的目標(biāo)導(dǎo)向，把它當(dāng)作基于“面積”培養(yǎng)“量感”，進(jìn)而整體落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的有機(jī)部分。

解讀“什么是面積”教材中第3個(gè)情境問(wèn)題串及“練一練”的教學(xué)內(nèi)容，可以發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含著變中不變、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，以及對(duì)空間觀念、推理意識(shí)等核心概念的感悟，這是我們教學(xué)“圖形與幾何”領(lǐng)域要始終關(guān)注的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。雖然各核心概念的側(cè)重點(diǎn)有所不同，但教學(xué)中應(yīng)該把它們與量感培養(yǎng)一并考慮、落實(shí)。

實(shí)際教學(xué)中，在賦予圖2中1號(hào)圖形、2號(hào)圖形面積大小的數(shù)值后，我們組織兩次延伸性思考。其一，“能使這兩個(gè)圖形面積一樣大嗎？”在所加上的1個(gè)小正方形的不同擺放方法中，讓學(xué)生感受度量中的“圖形面積的可加性”，體會(huì)變中不變的數(shù)學(xué)思想（如圖3）。其二，“加上去的這1個(gè)小正方形一定是這個(gè)樣子的嗎？”通過(guò)課件操作，對(duì)這個(gè)小正方形進(jìn)行切分與組合，感受面積度量中的“運(yùn)動(dòng)不變性”——都是同一個(gè)小正方形變化而來(lái)的，轉(zhuǎn)回來(lái)還是這個(gè)正方形（如圖4）。

最后，以“面積為8”的多個(gè)圖形設(shè)計(jì)來(lái)承上啟下，以學(xué)習(xí)單的形式組織學(xué)生獨(dú)立思考、分析判斷，進(jìn)一步深化對(duì)面積的感知（如圖5）。先請(qǐng)學(xué)生對(duì)題中的3個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行表決，了解全班的認(rèn)知情況，再進(jìn)行有針對(duì)性的交流，豐富數(shù)圖形面積的策略——割補(bǔ)。

通過(guò)設(shè)計(jì)一系列遞進(jìn)性的教學(xué)活動(dòng)，使學(xué)生的認(rèn)知不斷走向深入：圖3的設(shè)計(jì)既與前面的教學(xué)內(nèi)容相銜接，又很好地融合第3個(gè)教材情境問(wèn)題串中的問(wèn)題“在方格中畫(huà)3個(gè)不同的圖形，使它們的面積都等于7個(gè)方格的面積”。圖4著眼于對(duì)所添加小正方形面積“1”的考量，感受“1”的多變與不變，蘊(yùn)含“分與合”的轉(zhuǎn)化思想。圖5以選擇題的形式，考查學(xué)生對(duì)面積認(rèn)知的綜合應(yīng)用，滲透空間想象力的培養(yǎng)——通過(guò)想象與推理，變不到1格的為1格，把不規(guī)則的變成規(guī)則，既發(fā)展了學(xué)生的量感，又獲得空間觀念、推理意識(shí)的提升。因此，通過(guò)關(guān)注數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的整體落實(shí)，以教學(xué)視野的廣度、數(shù)學(xué)思維的厚度達(dá)到對(duì)教學(xué)支點(diǎn)方向的把握，可以使量感培養(yǎng)開(kāi)出更芬芳的花、結(jié)出更豐碩的果。

（作者單位：福建省晉江市第二實(shí)驗(yàn)小學(xué) 福建省晉江市安海西隅小學(xué)）