如何求三角形中角的大小

王燦

求三角形中角的大小問題比較常見.此類問題側(cè)重于考查三角形的角平分線定義、三角形的內(nèi)角和定理、三角形內(nèi)角之間的關(guān)系以及銳角的三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用.求三角形中角的大小問題，往往要結(jié)合圖形來分析，這樣有助于提升解題的效率.

一、利用角之間的關(guān)系求解

在三角形中角的關(guān)系較多，如對頂角相等，互余的兩個角的和為90o，被角平分線平分的兩個角相等，三角形的一個內(nèi)角與其外角的和為180o，三角形的三個內(nèi)角之和為180°，等等.在求三角形中角的大小時，同學(xué)們可結(jié)合圖形，仔細(xì)研究三角形中的各個角，以便找到各個角之間的相等、互余、互補(bǔ)關(guān)系，由此建立關(guān)系式，求得角的大小.

例1如圖1，在△ABC中，∠A=70°，如果∠ABC與∠ACB的平分線交于點(diǎn)D，那么∠BDC= 度.

分析：先利用三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC +∠ACB的度數(shù)，即可求得∠DBC +∠DCB的度數(shù)，最后再利用三角形內(nèi)角和定理就能順利求得∠BDC的大小.

解：∵∠A=70°，

∴∠ABC +∠ACB=180°-∠A=110°.

∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，

∴∠DBC +∠DCB=12 （∠ABC +∠ACB）=55°，

∴∠BDC=180°-（∠DBC +∠DCB）=125°.

說明：本題是考查與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題.靈活運(yùn)用角平分線的定義和三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵.

二、根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求解

1.已知直角三角形，利用特殊角的三角函數(shù)值求解

有些求三角形中的角的大小問題中涉及了特殊角的三角函數(shù)值，此時我們只需根據(jù)題目要求建立關(guān)系式，選取相應(yīng)的特殊角的三角函數(shù)值，按照運(yùn)算順序進(jìn)行計算即可.根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求三角形中角的大小，往往要熟記一些常見的三角函數(shù)值，如

例 2 如圖 2，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=7.5，將△ABC折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)D處，EF為折痕，若AE=5，求∠BFD的大小.

分析：由題可證△AEF≌△DEF，即可得出∠EDF=∠A;再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理及三角函數(shù)的定義建立關(guān)系式，即可根據(jù)特殊角的三角函數(shù)式求得∠BFD的大小.

解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=7.5，

∴∠A=∠B，

由折疊圖形的性質(zhì)得到：

△AEF≌△DEF，

∴∠EDF=∠A，

∴∠EDF=∠B，

∴∠CDE +∠BDF +∠EDF=∠BFD +∠BDF +∠B=180°，

∴∠CDE=∠BFD.

又∵ AE=DE=5，∴CE=7.5 - 5=2.5，

∴在直角△ECD中

2.構(gòu)造直角三角形，利用特殊角的三角函數(shù)值求解

利用銳角三角函數(shù)值求解的前提是在直角三角形中，題目中若沒有直角條件，往往要添加合適的輔助線，構(gòu)造出直角三角形，然后根據(jù)直角三角形中直角邊與斜邊建立關(guān)于角的三角函數(shù)式，這樣即可根據(jù)特殊角30°、45°、60°、90°的正余弦值或正切值求得角的大小.

例3 如圖3，⊙O是△ABC的外接圓，CD是⊙O的直徑.若CD=10，弦AC=5 3，則∠ABC的值為（ ）.

A. 45 B. 35 C. 43 D. 34 圖3

分析：連接AD，根據(jù)直徑所對的圓周角等于90°和勾股定理，可以求得AD的長，然后根據(jù)三角函數(shù)的定義求得∠ADC的余弦值，再根據(jù)同弧所對的圓周角相等，可以得到∠ABC=∠ADC，從而可以求得∠ABC的值.

解：連接AD，如圖4所示，

∵CD是⊙O的直徑，CD=10，AC=5，

∴∠DAC=90°，

∴AD=CD2 - AC2=5 3，

∴cos∠ADC=ADDC=5103=23，

∵∠ABC=∠ADC=60°.

說明：對于非直角三角形的問題，可通過作垂線來構(gòu)造以該銳角為內(nèi)角的直角三角形，以便在直角三角形中根據(jù)三角函數(shù)的定義求出銳角的三角函數(shù)值，從而求得角的大小.