激活“規(guī)定性”知識(shí)，學(xué)習(xí)“有溫度”的數(shù)學(xué)

林景 楊彩蘭

【編者按】小學(xué)數(shù)學(xué)中有著許多的規(guī)定性知識(shí)，就如人們習(xí)以為常的“年、月、日”的知識(shí)，一些教師在面對(duì)這些知識(shí)時(shí)，處理方式往往簡(jiǎn)單粗暴，無(wú)法使學(xué)生探究規(guī)定背后的數(shù)學(xué)道理與知識(shí)本質(zhì)，使得課堂顯得更加枯燥乏味，更無(wú)法達(dá)到較為理想的教學(xué)實(shí)效。本期話題圍繞數(shù)學(xué)中的規(guī)定性知識(shí)教學(xué)展開探討。

規(guī)定性知識(shí)因其“先天”的特殊性，導(dǎo)致這部分內(nèi)容在教學(xué)方式的選擇上擺脫不了傳授的屬性。如果在教學(xué)中教師只關(guān)注知識(shí)本身的獲得，習(xí)慣對(duì)知識(shí)進(jìn)行掐頭去尾，“庖丁解牛”般把自己認(rèn)為最精華的部分展示給學(xué)生，那么讓學(xué)生看到的就往往都是X光之下“白骨嶙峋”的數(shù)學(xué)，這樣要讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)之美、涵養(yǎng)數(shù)學(xué)之智就強(qiáng)人所難了，形成核心素養(yǎng)也就只會(huì)是空中樓閣了。如何才能讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中不僅看清知識(shí)的骨骼，還能發(fā)現(xiàn)知識(shí)的脈絡(luò)與血肉，學(xué)習(xí)知識(shí)與溫度并存、思維與美同在的數(shù)學(xué)呢？

一、樹立“大數(shù)學(xué)”觀，教學(xué)完整數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)是具象和抽象的結(jié)合體，數(shù)學(xué)概念從現(xiàn)實(shí)中抽象出來(lái)，形成自身的邏輯結(jié)構(gòu)，然后又通過(guò)應(yīng)用回到現(xiàn)實(shí)生活中。所謂大數(shù)學(xué)觀，就是要跳出教材看數(shù)學(xué)。一方面，要認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)內(nèi)容的豐富性，數(shù)學(xué)不僅僅是課本上的那些內(nèi)容，它包羅萬(wàn)象。另一方面，要了解到知識(shí)間是相互聯(lián)系的，數(shù)學(xué)是一切科學(xué)的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間，都有著緊密的聯(lián)系。

由于規(guī)定性知識(shí)純粹是人為規(guī)定的，如果教師處理不當(dāng)，就會(huì)在學(xué)生的認(rèn)知里留下“無(wú)理”的印象，無(wú)法激發(fā)學(xué)生對(duì)其進(jìn)行主動(dòng)建構(gòu)的欲望，從而導(dǎo)致這些知識(shí)的學(xué)習(xí)孤立、浮于表面，無(wú)法在學(xué)生的知識(shí)體系中扎根，有效遷移亦會(huì)擱淺。

以蘇教版四下“運(yùn)算律單元復(fù)習(xí)”教學(xué)為例。當(dāng)問(wèn)及“a÷b÷c=a÷（b×c）”或者“（a+b）×c=a×c+b×c”為什么成立的時(shí)候，學(xué)生往往給出的解釋都是這兩個(gè)公式的記憶方法：連續(xù)除以兩個(gè)數(shù)就相當(dāng)于除以這兩個(gè)數(shù)的乘積;兩個(gè)數(shù)的和乘一個(gè)數(shù)就相當(dāng)于這兩個(gè)數(shù)分別和這個(gè)數(shù)相乘，兩個(gè)乘積再相加。個(gè)別學(xué)生也只能從“舉例”的角度給予論證。由此可以推測(cè)，教師在授課時(shí)過(guò)于注重運(yùn)算律的“形”，沒(méi)有深挖運(yùn)算律的“質(zhì)”，過(guò)于注重記憶，輕視理解，這就導(dǎo)致學(xué)生把運(yùn)算律看作是封閉、孤立的知識(shí)，認(rèn)為只需要記憶、會(huì)用即可。

為此，我們要為學(xué)生的學(xué)習(xí)搭建合理的腳手架，幫規(guī)定性知識(shí)——運(yùn)算律把“理”呈現(xiàn)出來(lái)，讓學(xué)生對(duì)其產(chǎn)生親切感，進(jìn)而習(xí)得可遷移的思維，而不是會(huì)遺忘的結(jié)論。這里的腳手架包括：一是乘、除法的意義和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合;二是和其他知識(shí)的關(guān)聯(lián)。對(duì)于除法的性質(zhì)，首先可以用點(diǎn)子圖圈一圈進(jìn)行呈現(xiàn)：24÷4÷2表示把24平均分成4份，每份6個(gè)，6再平均分成2份，每份3個(gè);24÷（4×2）表示24直接平均分成8份，每份3個(gè)。同理，乘法分配律也可以借助“點(diǎn)子圖”驗(yàn)證。其次，為了更好地培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和幾何直觀，可以把“點(diǎn)子圖”抽象成“線”（如右圖）。最后，可以通過(guò)與豎式，以及長(zhǎng)方形周長(zhǎng)、面積計(jì)算等已學(xué)知識(shí)融合，打通前后知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，使運(yùn)算律的根在學(xué)生腦海中扎得更深、更廣。不僅如此，還可以出示諸如“a÷（b+c）=a÷b+a÷c，（a+b）÷c=a÷c+b÷c哪個(gè)式子成立，請(qǐng)畫圖探究”等探究題作為實(shí)踐性作業(yè)，促進(jìn)學(xué)生當(dāng)下知識(shí)學(xué)習(xí)的完整性：有乘法分配律，是否有除法分配律呢？同時(shí)也為后期分?jǐn)?shù)、小數(shù)運(yùn)算律的學(xué)習(xí)埋下思維的伏筆。

如此教學(xué)，運(yùn)算律不再局限于其“簡(jiǎn)便運(yùn)算”功能，其“孕育”學(xué)生思維的作用就大大顯現(xiàn)了。因此，樹立大數(shù)學(xué)觀，就需要把規(guī)定性知識(shí)的學(xué)習(xí)置于一個(gè)縱橫交錯(cuò)、千絲萬(wàn)縷的背景中，打通、建立它與其他知識(shí)之間的聯(lián)系，找到其“源”與“流”，賦予其應(yīng)有的生命力。長(zhǎng)此以往，學(xué)生的知識(shí)網(wǎng)鏈接方式漸漸由“單點(diǎn)結(jié)構(gòu)”“多點(diǎn)結(jié)構(gòu)”向“關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)”“拓展結(jié)構(gòu)”躍遷，確保深度學(xué)習(xí)真正發(fā)生。

二、滲透數(shù)學(xué)史，洞悉知識(shí)之源

對(duì)于規(guī)定性知識(shí)的學(xué)習(xí)，如果僅僅停留于知識(shí)的“結(jié)果”狀態(tài)，那么對(duì)于學(xué)習(xí)者來(lái)說(shuō)是很難引起學(xué)習(xí)的興趣及欲望的，也不利于對(duì)知識(shí)的理解與掌握。而當(dāng)學(xué)習(xí)者有機(jī)會(huì)參與或經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程，即了解知識(shí)的來(lái)龍去脈，那么學(xué)習(xí)對(duì)他而言，就不僅僅是思維的活動(dòng)，還應(yīng)該是各種認(rèn)知感官、情感態(tài)度共同參與的活動(dòng)。數(shù)學(xué)史呈現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的來(lái)龍去脈，敘述了人類對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知如何步步深入，在知識(shí)的抽象過(guò)程中我們就能體會(huì)和把握數(shù)學(xué)知識(shí)認(rèn)識(shí)提升的關(guān)鍵之處。

以蘇教版三下“年、月、日”的教學(xué)為例，該部分內(nèi)容比較繁雜：“年、月、日”的認(rèn)識(shí);大月、小月、二月的區(qū)分和記憶;平年、閏年的區(qū)分和判定等。通過(guò)前測(cè)可知，大部分學(xué)生對(duì)“一年有12個(gè)月，一年有365天（部分學(xué)生也知道366天），年有平年、閏年之分，大月31天，小月30天”等知識(shí)都有或多或少的了解，至于為什么這么規(guī)定則知之甚少。學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的了解大多數(shù)來(lái)自媒體、家長(zhǎng)或課外書，言語(yǔ)中多見別人的思想，不見自己的思考。針對(duì)這種情況，為了讓課堂教學(xué)更為飽滿，學(xué)生的思考和交流更加充分，可以讓學(xué)生的學(xué)習(xí)前置。筆者設(shè)置了如下關(guān)于“年、月、日”的課前預(yù)學(xué)單。

學(xué)生先在課前查閱資料，填寫上表，獨(dú)立展開對(duì)“年、月、日”的初步學(xué)習(xí)，從而了解關(guān)于“年、月、日”的歷史信息。如年是人們根據(jù)地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)產(chǎn)生的四季交替現(xiàn)象而形成的，日是人們根據(jù)地球自轉(zhuǎn)產(chǎn)生晝夜交替的現(xiàn)象形成的，等等。學(xué)習(xí)搜集這些資料的過(guò)程就是一個(gè)“浸入式”的學(xué)習(xí)、研究過(guò)程，這個(gè)過(guò)程也培養(yǎng)了學(xué)生搜集信息、處理信息的能力。在這些基礎(chǔ)上，學(xué)生帶著自己的收獲走進(jìn)課堂，在教師的引導(dǎo)、組織下，與小組成員共享資料、交流思考，對(duì)信息進(jìn)行整合、完善后總結(jié)提煉出本組觀點(diǎn)。最后，進(jìn)行全班展示，擴(kuò)大交流范圍，教師相機(jī)指導(dǎo)，結(jié)合課件（教師提前準(zhǔn)備關(guān)于“年、月、日”的史實(shí)資料，如前述的內(nèi)容），合理利用課堂生成資源促進(jìn)學(xué)生對(duì)“年、月、日”的深度學(xué)習(xí)。

數(shù)學(xué)史的參與讓規(guī)定性知識(shí)的教學(xué)體現(xiàn)知識(shí)之和諧，展示文化之魅力，彰顯德育之效用，學(xué)生還可以從中獲取探究之樂(lè)趣。學(xué)生循著“相似”的發(fā)展歷史，分別在課前、課中、課后與古人進(jìn)行隔空交流。理解知識(shí)的來(lái)龍去脈，可以為其增添歷史的縱深感和厚重感，讓學(xué)生帶著“創(chuàng)造”與“發(fā)現(xiàn)”奔向未來(lái)。

三、融合多學(xué)科，提升核心素養(yǎng)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出了“跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)”概念，這是教育改革順應(yīng)時(shí)代發(fā)展潮流的體現(xiàn)，其宗旨是以真實(shí)問(wèn)題為載體，適當(dāng)采取主題活動(dòng)或項(xiàng)目學(xué)習(xí)的方式，通過(guò)綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的知識(shí)與方法解決真實(shí)問(wèn)題，著力培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)、實(shí)踐能力、社會(huì)擔(dān)當(dāng)?shù)染C合品質(zhì)。規(guī)定性知識(shí)本身的探究成分不足，卻可以通過(guò)其他途徑來(lái)維系其深度學(xué)習(xí)，跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)就是一個(gè)很好的選擇。如常見的量的學(xué)習(xí)，包括長(zhǎng)度、面積、質(zhì)量等，可以設(shè)計(jì)主題學(xué)習(xí)活動(dòng)：度量衡的“前世今生”。

1. 了解度量衡。

讓學(xué)生通過(guò)各種途徑查閱有關(guān)度量衡的資料，了解度量衡的歷史與發(fā)展，然后組織學(xué)生在適當(dāng)?shù)膱?chǎng)合進(jìn)行面對(duì)面的交流。

2. 找出下列內(nèi)容中的計(jì)量單位。

（1）歷史故事中的計(jì)量單位。如“差之毫厘，失之千里”的故事，“半斤八兩”的故事……通過(guò)這些歷史故事的學(xué)習(xí)，可以讓學(xué)生了解到我國(guó)古代度量衡單位及其標(biāo)準(zhǔn)的創(chuàng)立經(jīng)歷了從“直觀感知”“假借器物測(cè)量”到“創(chuàng)造出專用度量衡器具”的過(guò)程。

（2）古詩(shī)詞里的計(jì)量單位。如李白《夜宿山寺》中的“危樓高百尺，手可摘星辰”。岳飛《滿江紅·怒發(fā)沖冠》中的“三十功名塵與土，八千里路云和月。莫等閑，白了少年頭，空悲切”。李白《行路難·其一》中的“金樽清酒斗十千，玉盤珍羞直萬(wàn)錢”等。

（3）成語(yǔ)典故中的計(jì)量單位。如寸步不離、百步穿楊、膽大如斗等。

3. 開展主題匯報(bào)活動(dòng)。

可以引導(dǎo)學(xué)生制作小報(bào)、故事演講、錄制小視頻等，組織一次匯報(bào)交流活動(dòng)，讓學(xué)生有機(jī)會(huì)相互學(xué)習(xí)。

這樣的活動(dòng)不僅豐富了學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，有效地宣傳中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，促進(jìn)文化自信;還使學(xué)生的量感、推理意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)等核心素養(yǎng)得以提升。

四、課堂評(píng)價(jià)多元化，關(guān)注學(xué)生的持續(xù)發(fā)展

對(duì)于學(xué)生的學(xué)習(xí)來(lái)說(shuō)，規(guī)定性知識(shí)掌握得扎實(shí)固然重要，但更重要的是學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)的持續(xù)興趣和動(dòng)力。課堂評(píng)價(jià)是課堂教學(xué)不可分割的部分，與課堂教學(xué)的其他活動(dòng)交錯(cuò)進(jìn)行，它在課堂教學(xué)過(guò)程中起到銜接、調(diào)整、糾正、指導(dǎo)、激勵(lì)等作用。課堂評(píng)價(jià)的多元化，一方面指評(píng)價(jià)的主體多元，包括師生評(píng)價(jià)、生生評(píng)價(jià)、學(xué)生自評(píng)等;另一方面是評(píng)價(jià)內(nèi)容的多元化，評(píng)價(jià)的內(nèi)容可以是學(xué)習(xí)的結(jié)果，也可以是學(xué)習(xí)的過(guò)程，甚至包括學(xué)習(xí)過(guò)程中體現(xiàn)的情感態(tài)度價(jià)值觀，這點(diǎn)在強(qiáng)調(diào)學(xué)科育人的教育背景下顯得尤為重要。

如以上“年、月、日里的秘密”的案例中，我們要關(guān)注學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容掌握程度的評(píng)價(jià)，包括年、月、日之間的關(guān)系，大月、小月及其相關(guān)知識(shí)，平年、閏年等方面的基本知識(shí)。還要關(guān)注學(xué)生在收集資料過(guò)程中使用的方法、技巧，合作探討、交流互動(dòng)中表現(xiàn)出來(lái)的獨(dú)立思考能力、團(tuán)隊(duì)合作能力、創(chuàng)新意識(shí)等的水平。在“我會(huì)查”這個(gè)環(huán)節(jié)中，有些學(xué)生可能通過(guò)查閱紙質(zhì)資料的方式，這種方式雖然安全、可靠，但不比網(wǎng)絡(luò)搜索的方式更快捷、內(nèi)容更豐富，當(dāng)然，網(wǎng)絡(luò)搜索的內(nèi)容真假不一，還需提高甄別能力。教師可以基于以上情況，對(duì)學(xué)生使用的方法、技巧等進(jìn)行評(píng)價(jià)。

另外，要關(guān)注“評(píng)他”的教育效應(yīng)，即通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)家們的不懼困難、矢志求真等精神的評(píng)價(jià)，來(lái)提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，來(lái)激發(fā)他們克服學(xué)習(xí)困難的信心和求知欲。例如，對(duì)圓周率的學(xué)習(xí)，一方面要設(shè)置情境，讓學(xué)生充分參與探究圓周率的產(chǎn)生過(guò)程，另一方面要給學(xué)生介紹與圓周率命名相關(guān)的歷史，尤其是圓周率原來(lái)也叫“祖率”等，借機(jī)讓學(xué)生了解關(guān)于圓周率研究的故事，如我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉歆、祖沖之等，僅借助算籌等工具計(jì)算圓周率，其繁雜的計(jì)算過(guò)程和龐大的計(jì)算量是現(xiàn)代人無(wú)法想象的，從中可以引導(dǎo)學(xué)生看到數(shù)學(xué)家們?yōu)樽非笳胬硭冻龅呐Γ瑖L試讓學(xué)生對(duì)這種行為作出評(píng)價(jià)。在此基礎(chǔ)上，教師的評(píng)價(jià)既要肯定學(xué)生在研究的過(guò)程當(dāng)中體現(xiàn)出來(lái)的精神與態(tài)度，更要弘揚(yáng)數(shù)學(xué)家們?yōu)樽非罂茖W(xué)而不懈努力的精神，這是學(xué)生終身學(xué)習(xí)所必備的素養(yǎng)。

對(duì)“規(guī)定性知識(shí)”教學(xué)方式的研究不僅對(duì)數(shù)學(xué)一般知識(shí)的教學(xué)起到一定的啟發(fā)和指引作用，更重要的是，它還為量感等學(xué)生核心素養(yǎng)的培育提供了新的思路和可供參考的可視化路徑。知其然，不僅要知其所以然，還要知其所以用。一直以來(lái)，我們都是倡導(dǎo)“授人以魚，不如授人以漁”。筆者以為，較之“魚”和“漁”本身，“魚”和“漁”所帶來(lái)的能促進(jìn)學(xué)生身心發(fā)育的素養(yǎng)才是我們更應(yīng)該關(guān)注和追求的。如此，學(xué)生便對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)有了期待，數(shù)學(xué)本身也便有了溫度。

（作者單位：海南省教育研究培訓(xùn)院 ? ? ? 中國(guó)人民大學(xué)附屬中學(xué)?？趯?shí)驗(yàn)學(xué)校）