“設(shè)而不求法”在拋物線解題中的應(yīng)用例談

摘 要：現(xiàn)階段，在高中教學(xué)中，設(shè)而不求法作為整體處理變量的措施，運(yùn)用設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)表達(dá)新的內(nèi)容，充分利用客觀條件，將運(yùn)算范圍整體地進(jìn)行表示，無需求出所設(shè)點(diǎn)，使具體的坐標(biāo)問題可以被解決.基于此本文結(jié)合實(shí)際思考，首先簡要分析了“設(shè)而不求法”的教學(xué)內(nèi)容以及相關(guān)解析，其次闡述了“設(shè)而不求法”在拋物線解題中的應(yīng)用目標(biāo)及其解析，同時對拋物線解題中所需應(yīng)用的預(yù)備性知識以及教學(xué)流程進(jìn)行闡述，最后，運(yùn)用典型例題等方式，例談“設(shè)而不求法”在拋物線解題中的應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：設(shè)而不求法;拋物線;解題;應(yīng)用例談

中圖分類號：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2022）24-0023-03

收稿日期：2022-05-25

作者簡介：劉劍華，中學(xué)高級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

隨著時代的不斷發(fā)展，我國經(jīng)濟(jì)效益的不斷提升，政府以及相關(guān)部門逐漸提高對教學(xué)事業(yè)的關(guān)注力度，在此背景作用下，可加強(qiáng)數(shù)學(xué)教學(xué)課程，其中設(shè)而不求法作為一種相對重要的解題手段，運(yùn)用假設(shè)的方式執(zhí)行相應(yīng)的策略，避免在計(jì)算環(huán)節(jié)出現(xiàn)盲目推演的問題，使運(yùn)算呈現(xiàn)出循環(huán)以及無益的狀態(tài)，提高運(yùn)算環(huán)節(jié)的準(zhǔn)確性，滿足快捷的解題效果.

1 “設(shè)而不求法”的教學(xué)內(nèi)容以及相關(guān)解析

首先“設(shè)而不求”主要作為在數(shù)學(xué)課程內(nèi)，處理并解析曲線以及直線問題的一種幾何運(yùn)算手段，它在應(yīng)用過程中，無需直接求出坐標(biāo)中的點(diǎn)，而是需要通過假設(shè)的方式，執(zhí)行先設(shè)出的坐標(biāo)假設(shè)方式，劃分出設(shè)出點(diǎn)的存在位置，通過根與系數(shù)之間的關(guān)系，穩(wěn)定“已知”以及“未知”之間的聯(lián)系，促使學(xué)生可以在短時間內(nèi)掌握數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的中心點(diǎn)所在，從而執(zhí)行對解題過程的簡化工作.

由此方式，則可將“設(shè)而不求法”的操作重心進(jìn)行劃分，從根本意義上是掌握運(yùn)算環(huán)節(jié)的基本流程，保證學(xué)生可以將運(yùn)算求解進(jìn)行上升，更加注重對求解過程的分析，確保學(xué)生可以運(yùn)用相對較少的時間，執(zhí)行少量的計(jì)算解題方案，在短時間內(nèi)完成問題.

其次，“設(shè)而不求法”可以執(zhí)行整體處理變量的應(yīng)用措施，它可以通過坐標(biāo)等方式，更好地將坐標(biāo)與點(diǎn)之間的關(guān)系進(jìn)行闡明，增加對其中限制性條件的重視，處理小范圍以及整體，解出所設(shè)點(diǎn)的具體數(shù)值，這樣可解決在坐標(biāo)設(shè)點(diǎn)應(yīng)用過程中存在的問題，解讀出幾何解題操作的通性，但由于幾何問題的轉(zhuǎn)化操作作為數(shù)據(jù)運(yùn)算工作的實(shí)施難點(diǎn)，其不僅可以規(guī)劃為字母運(yùn)算環(huán)節(jié)中的難點(diǎn)，更可以讓學(xué)生執(zhí)行歸納總結(jié)算法，成為突破此問題的關(guān)鍵要點(diǎn)所在.

2 “設(shè)而不求法”在拋物線解題中的應(yīng)用目標(biāo)及其解析

2.1 教學(xué)目標(biāo)

（1）了解“設(shè)而不求法”的內(nèi)涵，確認(rèn)其在圓錐曲線中的具體操作方式.

（2）實(shí)施“設(shè)而不求法”的策略，避免出現(xiàn)盲目推演以及出現(xiàn)無益的循環(huán)推算操作.

（3）明確“設(shè)而不求法”的意義，掌握此操作方式在拋物線解題環(huán)節(jié)的運(yùn)算意義.

2.2 教學(xué)重點(diǎn)劃分

（1）明確“設(shè)而不求法”在圓錐曲線內(nèi)部的實(shí)際操作方式

（2）簡化“設(shè)而不求法”的應(yīng)用流程，將根與系數(shù)之間的關(guān)系闡明清楚，充分運(yùn)用轉(zhuǎn)化的方式讓學(xué)生了解，怎樣將代數(shù)以及幾何的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)換，展現(xiàn)出“設(shè)而不求法”的精準(zhǔn)轉(zhuǎn)化優(yōu)勢，使化歸以及轉(zhuǎn)化工作的思想方式全面應(yīng)用于解題環(huán)節(jié).

例1 與弦以及中點(diǎn)弦的相關(guān)問題，當(dāng)過點(diǎn)為D（1，2）的直線以及雙曲線x2-y2/1=2;呈現(xiàn)出相交的狀態(tài)，且可以于A1，A2兩點(diǎn)相互連接，求點(diǎn)A1，A2的中點(diǎn)位置以及點(diǎn)A的實(shí)際軌跡.

解 假設(shè)A1（x1，y1），A2（x2，y2），則當(dāng)x21-y21/1=2或x22-y22/1=2兩個方程式進(jìn)行做差時，則可將其進(jìn)行整理，并得出方程式（y1-y2）/（x1-x2）=2（x1+x2）/（y1+y2）.由此方式，即可規(guī)劃出A1，A2的中點(diǎn)所在位置，讓中點(diǎn)A的實(shí)際軌跡方程式設(shè)置為2x2-4x-y2+y=0.

3 預(yù)備性知識

為增加預(yù)備性知識的應(yīng)用，可引入實(shí)例.例如，拋物線y2=2x與直線y=x-2呈現(xiàn)相交的狀態(tài)，可以規(guī)劃出C，D兩點(diǎn).學(xué)生在此基礎(chǔ)上，可執(zhí)行求證計(jì)劃，分別執(zhí)行對OC⊥OD的求證計(jì)劃;△COD的求證;CD中點(diǎn)坐標(biāo)的求證.

4 教學(xué)流程

教學(xué)人員：執(zhí)行實(shí)例的引入計(jì)劃，讓學(xué)生根據(jù)往期知識，增加實(shí)物投影在課堂內(nèi)的應(yīng)用，確保在前15min以內(nèi)，實(shí)例的引入方案可以完成，讓學(xué)生在3min以內(nèi)進(jìn)行總結(jié).

學(xué)生A：運(yùn)用曲線以及直線的相交方式，掌握該部分問題的解決方案，執(zhí)行對直線斜率的討論計(jì)劃，將直線方程以及交點(diǎn)坐標(biāo)的運(yùn)行狀態(tài)進(jìn)行規(guī)劃，通過聯(lián)立的方式，將曲線以及直線方程進(jìn)行整體替換，由此方式執(zhí)行對該部分內(nèi)容的解析.

在此基礎(chǔ)上，教師進(jìn)行點(diǎn)評，讓學(xué)生增強(qiáng)對“整體代換”基本理念的認(rèn)知，并讓后續(xù)學(xué)生以及學(xué)生A的想法能夠在板書展示環(huán)節(jié)進(jìn)行體現(xiàn).

學(xué)生B：通過“整體代換”的方式，執(zhí)行“設(shè)而不求法”.

解 假設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2），通過y=x-2，y2=2x，避免y受到干擾，得出x2-6x+4=0;此時Δ=36-16=20>0，求解x1+x2=6，x1x2=4.

由上述內(nèi)容可知，運(yùn)用求解的方式，可以掌握OC以及OD的狀態(tài)，故OC⊥OD.

學(xué)生C：運(yùn)用假設(shè)算法，C（x1，y1），D（x2，y2），執(zhí)行方程式的聯(lián)立計(jì)劃，將方程組設(shè)置為y=x-2，y2=2x，讓y能夠合理地運(yùn)行，避免在直線以及曲線的相交過程中出現(xiàn)問題，使x2-6x+4=0，這樣，則可計(jì)算出后續(xù)OC以及OD的基礎(chǔ)數(shù)值，得出OC⊥OD.

與此同時，教師可以執(zhí)行點(diǎn)評計(jì)劃，根據(jù)同學(xué)A、B的解題方式，掌握在幾何問題進(jìn)行解析環(huán)節(jié)存在的問題，避免“通性通法”在應(yīng)用過程中出現(xiàn)差錯，執(zhí)行代數(shù)的操作方式，加強(qiáng)對此方面幾何問題的研究，這樣，則可保證教師在執(zhí)行后續(xù)工作時不會出現(xiàn)紕漏，穩(wěn)定“代數(shù)關(guān)系”以及“幾何關(guān)系”確保二者可以進(jìn)行精準(zhǔn)的轉(zhuǎn)化工作.除此之外，更可以掌握兩位同學(xué)的解題方式，讓其可以運(yùn)用不同的操作手段對此坐標(biāo)進(jìn)行分析，從不同的角度進(jìn)行規(guī)劃，以解決其在解題環(huán)節(jié)所遇到的問題.這樣一來，即可根據(jù)學(xué)生所做出的假設(shè)，讓另一位學(xué)生進(jìn)行闡述，提高實(shí)物展臺的利用率，讓學(xué)生的猜想可以更有效地應(yīng)用于此，這樣，教師則可對學(xué)生的證明方式進(jìn)行解讀，通過“幾何畫板”軟件的方式，執(zhí)行動畫的展示工作，適當(dāng)加深“形”以及“數(shù)”的應(yīng)用角度，全面詮釋著問題的本質(zhì)內(nèi)容.

5 例談“設(shè)而不求法”在拋物線解題中的應(yīng)用

5.1 典型案例

例2 （以2021年山東新高考試題為例）已知拋物線E，其頂點(diǎn)坐標(biāo)中的原點(diǎn)O為已知量，題中的焦點(diǎn)F，處于x軸且占據(jù)正半軸的位置，而Q作為拋物線上的一個不變點(diǎn)存在，其與F點(diǎn)之間的距離設(shè)置為1，且與y軸之間的實(shí)際距離為38，求取拋物線內(nèi)的標(biāo)準(zhǔn)方程.

學(xué)生A求解：

解 根據(jù)已知變量，可加強(qiáng)對拋物線方程中y2=2px的解讀，設(shè)置p>0，則可規(guī)劃出Q達(dá)到焦點(diǎn)F之間的實(shí)際距離，將其設(shè)置為1，距離為38的區(qū)域則為y軸到Q，據(jù)此，可得出方程式：y2=52x.

若此時教師進(jìn)行點(diǎn)評，可引導(dǎo)學(xué)生掌握拋物線的實(shí)際定義，根據(jù)所得出參數(shù)，判定待定系數(shù)的位置，這樣則可引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)入下一環(huán)節(jié)的問題解決區(qū)間.

學(xué)生B求解：

解 運(yùn)用“通性通法”的方式，掌握此方面的幾何問題，通過對曲線以及直線相交工作的闡釋，掌握直線以及曲線之間的相交關(guān)系，運(yùn)用聯(lián)立的方式，執(zhí)行“設(shè)而不求法”，這樣一來，則可完成此部分的求解操作，以板書的解答方式，執(zhí)行引例操作，通過證明的方式，以結(jié)論作為基礎(chǔ)，運(yùn)用實(shí)物展臺演示的方式，簡化計(jì)算操作流程，使數(shù)學(xué)問題的操作方式重要性可以在此階段展現(xiàn)出來.

5.2 課后總結(jié)

（1）執(zhí)行“設(shè)而不求法”的操作手段，通過對幾何的解析方式，讓學(xué)生可以掌握曲線以及直線二者之間的相交關(guān)系，讓此部分問題能夠闡明，順利求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若此時無法直接求出，則可確認(rèn)點(diǎn)的坐標(biāo)，通過“已知”以及“未知”之間的關(guān)系，明確“根”與“系數(shù)”之間的狀態(tài)，方便我們掌握問題的解決方式，運(yùn)用“設(shè)而不求法”使運(yùn)算求解操作可以上升為減少運(yùn)算量的操作手段.

（2）運(yùn)用方程替代函數(shù)、數(shù)形結(jié)合以及化歸的數(shù)學(xué)教學(xué)思想，合理解決數(shù)學(xué)教學(xué)環(huán)節(jié)存在的問題.

（3）結(jié)合本節(jié)課中的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行闡述，掌握數(shù)學(xué)問題解答環(huán)節(jié)具有數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)建模以及邏輯推算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，保證教師可以在短時間內(nèi)掌握學(xué)生的思維運(yùn)行方式，調(diào)動學(xué)生對數(shù)學(xué)課程的積極性，確保其可以運(yùn)用創(chuàng)新性的解題方式，解決數(shù)學(xué)問題，且可以滿足新課標(biāo)的基本要求，讓學(xué)生可以將基本技能在課堂內(nèi)進(jìn)行展現(xiàn).5.3 課后練習(xí)

結(jié)合2017年的高考數(shù)學(xué)課標(biāo)內(nèi)容，已知拋物線C：y2=2x，過點(diǎn)（2，0）的直線l與C相交，規(guī)劃出A點(diǎn)以及B，則AB為圓M的直徑.

（1）運(yùn)用證明分析的方式，確認(rèn)O在M上;

（2）設(shè)置圓的過點(diǎn)為P（4，-2），則可規(guī)劃出M與直線l的關(guān)系;

（3）完成拋物線的求解操作，確保A1與直線l相較于M點(diǎn)以及N點(diǎn)，編輯出方程式為（OM+ON）∥B1A2，據(jù)此求出直線l的方程.

綜上所述，為簡化學(xué)生的解題思路，可運(yùn)用“設(shè)而不求法”的解題方式， 讓學(xué)生在短時間內(nèi)掌握圓錐曲線以及解直線之間的關(guān)系，劃分出實(shí)質(zhì)方面整體結(jié)構(gòu)的運(yùn)行意義，讓學(xué)生能夠產(chǎn)生整體思維以及變式思維，使“設(shè)而不求法”可以順利地應(yīng)用于新課標(biāo)背景下的數(shù)學(xué)課堂中，讓學(xué)生可以積極地探索此部分知識，更好地掌握“設(shè)而不求法”的應(yīng)用意義以及基本技能，適當(dāng)提升此環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)課堂解題效率，增加學(xué)生在數(shù)學(xué)課程中的輔助性因素.

參考文獻(xiàn)：

[1] 張琳.“設(shè)而不求”巧解初中數(shù)學(xué)競賽題[J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2022（09）：45-46.

[2] 胡敬婷.例談“設(shè)而不求”技巧在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].新課程導(dǎo)學(xué)，2022（09）：60-62.

[3] 郭鴻金，江書婉.設(shè)而不求，速解二次函數(shù)壓軸題[J].數(shù)理天地（初中版），2022（05）：25-26.

[4] 曹彬.“設(shè)而不求”有變化聯(lián)立方程須謹(jǐn)慎[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2022（02）：44-45.

[責(zé)任編輯：李 璟]