注重“四性”理解，發(fā)展運算能力

宋顯慶

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）提出，運算能力主要是指根據(jù)法則和運算律進行正確運算的能力。能夠明晰運算的對象和意義，理解算法與算理之間的關系;能夠理解運算的問題，選擇合理簡潔的運算策略解決問題;能夠通過運算促進數(shù)學推理能力的發(fā)展。有助于形成規(guī)范化思考問題的品質(zhì)，養(yǎng)成一絲不茍、嚴謹求實的科學態(tài)度。

運算能力發(fā)展的主要知識內(nèi)容載體為數(shù)與代數(shù)，《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》把這部分內(nèi)容分為數(shù)的認識、數(shù)的運算和常見的量。在此基礎上，“新課標”根據(jù)主題結(jié)構(gòu)化的特征做了相應的整合，整合后的內(nèi)容分為數(shù)與運算和數(shù)量關系，把常見的量融入綜合與實踐，原來的探索規(guī)律、式與方程、正比例、反比例全部歸整為數(shù)量關系。這樣調(diào)整以后，更加凸顯了知識學習主題結(jié)構(gòu)化的三個基本特征，即整體性、一致性和階段性。數(shù)學學習的最大價值就是應用，解決現(xiàn)實問題以凸顯實踐應用性。教學中，突出“四性”的理解有助于學生學習和運算能力的發(fā)展。形成整體性和一致性教學理解需要教師有足夠的數(shù)學學科知識儲備和主動實踐的意識。

一、階段性與實踐應用性理解：數(shù)與代數(shù)教學要尊重學生發(fā)展規(guī)律，要聯(lián)系生活實際合理解決問題

“新課標”認為，階段性理解主要從學業(yè)要求的階段性、思維水平的階段性、核心素養(yǎng)的階段性分別提出具體的要求，體現(xiàn)的是學生運算能力培養(yǎng)的發(fā)展性，在教學過程中，教師應該合理把握教學內(nèi)容的度;實踐應用性反映的是學生對所學數(shù)學知識的靈活運用，在解決現(xiàn)實問題時能夠選擇合理的運算策略快速準確地解決問題。

教學過程中，教師需要充分尊重學生的認知水平，有效利用學生的生活經(jīng)驗，找到合理的教學支架，引導學生利用多元化的學習方式展開學習，體悟自主學習和遷移類推思想。在解決實際問題的教學中，教師要引導學生根據(jù)已學知識來解決現(xiàn)實問題，要充分體現(xiàn)知識在現(xiàn)實生活中的應用價值，讓學生感受數(shù)學學習的重要性，發(fā)展學生解決問題的關鍵能力和培養(yǎng)學生的應用意識。

“新課標”同時要求，實踐應用要關注學科知識的主題性應用和跨學科知識的項目化應用?！半p減”背景下，為了提高課堂教學效率和作業(yè)效率，教師可以從主題性應用和跨學科項目化應用角度，開發(fā)一些實踐性作業(yè)供學生選擇使用，以發(fā)展學生綜合實踐應用能力。

二、整體性理解：數(shù)的認識是基礎，意義、性質(zhì)、關系、運算是一個整體，突出結(jié)構(gòu)化認知

運算能力的發(fā)展離不開相應基礎知識、技能的學習和理解，教學中，教師要站在學生核心素養(yǎng)發(fā)展的高度進行知識、技能的教學，要突出學生的整體性理解，要為學生運算能力的發(fā)展奠基。數(shù)的認識要加強從意義的理解這個角度去整體認識數(shù)，無論整數(shù)、分數(shù)還是小數(shù)，不同數(shù)域內(nèi)數(shù)的性質(zhì)、關系以及運算之間都有著本質(zhì)的內(nèi)在聯(lián)系。教學中教師既要幫助學生理解不同數(shù)的特點與區(qū)別，更要幫助學生尋找其本質(zhì)理解。另外，對于數(shù)的運算方法及解決問題策略的選擇也要突出整體性認識，方法突出多樣性，但本質(zhì)理解要突出一致性，做到異中求同抓本質(zhì)，同中求異顯靈活?；谝陨系恼w性理解，運算能力發(fā)展的基本架構(gòu)可以用圖1來表示。運算能力的發(fā)展歷經(jīng)基礎知識、基本技能的掌握和理解等知識的形成，再到進行應用解決問題的知識輸出的過程，體現(xiàn)的是學生能力的逐步形成與發(fā)展的過程。

比如四則運算，加法是最基本的運算，減法是加法的逆運算，乘法是加法的簡便運算，除法是減法的簡便運算。在學習過程中，學生看似學了四種不同的運算，但是實際上就是一種運算，其他運算只是加法運算的變式而已。教學中教師突出數(shù)學內(nèi)容的整體性，既能增強學生學好數(shù)學的信心，又能發(fā)展學生的數(shù)學推理能力，這也是學生數(shù)學核心素養(yǎng)發(fā)展的重要體現(xiàn)。

我們來看一個具體案例，在“加法的認識”教學中，教材中從兩只小猴子摘桃子數(shù)量的多少引入，提出問題：“比一比，誰摘的桃子多？”搭建學生學習新知的“支架”，之前學習1～5的認識時，學生已經(jīng)理解了數(shù)字表示基數(shù)的具體含義，教師設問旨在喚醒學生已有認知。接著，教師利用學生已有的生活經(jīng)驗，進一步啟發(fā)學生思考：“如果要兩只小猴子摘的桃子一樣多，怎么辦？”讓學生初步理解加法的含義，初步感受到通過加法可以建立兩個量之間的相等關系。這種本質(zhì)含義的理解顯然通過死記硬背是無法達到的，需要引導學生充分利用已有的關于數(shù)的意義的知識，量的大小即個數(shù)（計數(shù)單位的初步印象）、多少關系的理解與數(shù)字符號的抽象表達，再結(jié)合現(xiàn)實的生活情境和學生已有的生活經(jīng)驗才能達到整體的構(gòu)建效果，才能促進學生對加法含義的真正理解。

三、一致性理解：從數(shù)的認識到數(shù)的運算，要突出計數(shù)單位參與運算的一致性

小學階段的數(shù)學運算實際上就是數(shù)字符號的計數(shù)單位意義在十進制下的累加規(guī)則和記錄方法，以追求正確、靈活、合理、簡捷為顯著特征，但是教學要凸顯一致性理解，淡化技能技巧的機械化和重復性的訓練，落實“雙減”政策，向課堂要質(zhì)量。

數(shù)的認識的一致性理解是學生認識數(shù)、記錄數(shù)、運算數(shù)的重要基礎。教學中，一方面要加強與學生緊密聯(lián)系或者熟悉的真實情境的創(chuàng)設，讓抽象化的理解更加具體，有助于學生加深對數(shù)的意義的理解與掌握，幫助學生建立數(shù)與現(xiàn)實生活中數(shù)量的一一對應關系，發(fā)展符號化意識。比如10以內(nèi)、20以內(nèi)甚至100以內(nèi)數(shù)的認識，教學中，教師要引領學生從具體數(shù)量與數(shù)字符號的對應逐步走向十進位值的符號化理解，尤其要突出數(shù)字符號在不同數(shù)位所表示的數(shù)量意義，凸顯規(guī)則的價值，以培養(yǎng)學生的數(shù)感，發(fā)展學生的抽象思維?！靶抡n標”明確指出，學生“能夠在真實情境中理解數(shù)的意義，能用數(shù)表示物體的個數(shù)或事物的順序”。意義的理解其本質(zhì)就是數(shù)字加計數(shù)單位來表示數(shù)量的意義及價值體現(xiàn)。如自然數(shù)的教學，教師要讓學生理解幾個幾、幾個十、幾個百、幾個千等計數(shù)單位的逐步擴大，實際上是根據(jù)現(xiàn)實需要，在一定的規(guī)則下，能夠用有限的數(shù)字符號來記錄無限的數(shù)量。

比如，在教學“10的認識”時，教師可以利用前面已有的知識經(jīng)驗和生活經(jīng)驗，從現(xiàn)實數(shù)量的對應或者利用加法的意義幫助學生明白10的組成和現(xiàn)實意義，教師要引領學生去理解10跟以前學過的1～9這9個數(shù)字符號的不同，因為10是第一個利用兩個數(shù)字符號來記錄數(shù)量的數(shù)。因此，幫助學生初步理解這樣記錄的意義和價值是重要的，也是數(shù)字化認識的一次重要的飛躍。教學中，教師可以通過具體情境結(jié)合生活實例引入十進制，同時幫助學生初步理解數(shù)位的意義，也就是位值制，初步理解數(shù)字放在不同的數(shù)位上可以表示不同的量。

【教學片段】

10的認識（人教版數(shù)學教材一年級上冊）

師：教室里有幾個小朋友？

生：9個。

師：現(xiàn)在又進來1個，教室里的小朋友數(shù)量是多少？

生：10。

師：哪里還有10？找一找、數(shù)一數(shù)。

……

師：“10”可以怎樣表示？用你們喜歡的方式表示。

師：同學們有很多想法，但是為什么書上要用原來學過的數(shù)字1和0表示10呢？

生：繼續(xù)創(chuàng)造不同的符號，但是如果有很多物體時，比如11，12……就得使用更多的符號，比較麻煩也不容易記憶。

師：說得太好了，現(xiàn)在我們只需要用0～9這10個數(shù)字就能表示出所有的數(shù)。請大家試著從0～9中選兩個數(shù)字組成一個新的數(shù)。

（學生自由組數(shù)）

師：我用1根木棒或1個物體來表示1個10可以嗎？

生：不行。因為1根木棒、1個物體只能表示1。

生：可以，但這1根木棒或1個物體要放在十位上。

（學生展示想法）

師：科學家們根據(jù)同學們的想法，研究發(fā)明了我們現(xiàn)在看到的計數(shù)器。

（學生觀察計數(shù)器）

師：在計數(shù)器上同學們看到了什么？

生：個位和十位。

師：在個位上撥1顆珠子表示什么？

生：1個1。（1）

師：在十位上撥1顆珠子表示？

生：1個10。（10）

師：都是1顆珠子，為何表示的數(shù)卻不一樣呢？

生：因為它們的位置不一樣。（滲透位值制）

師：那在個位上撥9顆珠子它表示什么？

生：9個1。（9）

師：個位有幾顆珠子就表示什么？

生：幾個1。

師：9個1再添上1個1就是什么？

生：10個1。

師：10個1也就是1個10。

師：1個10在計數(shù)器上怎么表示？（滲透十進制）

生：在十位上撥1顆珠子。

師：十位上有幾顆珠子就表示什么？

生：幾個10。

師：10和我們以前學的數(shù)有什么不同？

生：10是兩位數(shù)，我們原來學的0～9都是一位數(shù)。

生：10是由我們原來學過的1和0組成的，它比1和0都要大。

生：10里面的1放在十位表示1個10，如果在個位就表示1個1。

師：如果一個數(shù)的十位和個位都是1，這個數(shù)是多少？

生：11。

師：你們還可以舉出更多的這樣表示的數(shù)嗎？寫在草稿紙上。

問題討論雖然結(jié)束，但教師的最后一個問題具有開放性，學生可以根據(jù)所學的知識舉出更多的數(shù)，學生數(shù)數(shù)的經(jīng)驗是很豐富的，有的學生甚至可以數(shù)到100。通過上述教學，學生就會慢慢理解原來數(shù)出來的數(shù)就是這樣表示的，會有一種豁然開朗的感覺。

數(shù)的運算的一致性理解就是對運算的意義及計數(shù)單位參與計算的規(guī)則的理解，這種理解不可能一蹴而就，需要持續(xù)的關注和有效的引領。小學階段數(shù)的運算主要包括整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)的四則運算，要加強對橫向（不同數(shù)領域）與縱向（同一數(shù)領域）運算的聯(lián)系與區(qū)別的理解，要突出理解數(shù)的運算的本質(zhì)就是計數(shù)單位的“累加”。

在數(shù)的運算教學中，橫式計算是基礎，也是算理，可以通過基本算理解決一些簡單問題。筆算是另外一種更為簡便的計算方法，尤其在解決稍微復雜的計算時相當有效，方法、方式是可以多樣的，但是本質(zhì)理解還是要以口算基礎，即基本算理;更為復雜的計算當然還可以通過計數(shù)器等高科技手段來解決，而這種方式就完全看不見算理，只以追求結(jié)果和解決問題為目的，強調(diào)的是高效率。而運算教學的數(shù)學育人價值并非追求這樣的結(jié)果，更多的體現(xiàn)在追求這種結(jié)果的過程中，發(fā)揮數(shù)學教育的育人價值，滲透嚴謹?shù)倪壿嬐评硭季S，發(fā)展解決問題的高效能力，這就是數(shù)學課程核心素養(yǎng)的重要體現(xiàn)。

結(jié)合以上“四性”的教學理解，基于學生運算能力發(fā)展的課堂教學，教師要充分發(fā)揮學生學習的主動性，采取探究式、啟發(fā)式等課堂教學方式，讓學生在自主探究、合作交流的過程中學會主動學習。教學中，教師要引領學生去理解和關聯(lián)相關知識，讓學生在逐步形成知識體系的過程中，學會自主關聯(lián)，學會遷移類推，學會思考，學會用數(shù)學的方法解決現(xiàn)實問題。體現(xiàn)的是學生對基礎性知識的理解掌握、結(jié)構(gòu)化認知、創(chuàng)新綜合性應用，發(fā)展的是學生的關鍵能力和必備品格。

（作者單位：江西省教育廳教學教材研究室）