前伸后延構(gòu)體系 上下貫通促思維

車淑麗

“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”一課是“數(shù)與符號(hào)的認(rèn)識(shí)”單元主題中的內(nèi)容，是在學(xué)生已經(jīng)掌握了商不變的規(guī)律、小數(shù)的性質(zhì)、分?jǐn)?shù)的意義以及分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的。從商不變的規(guī)律到小數(shù)的性質(zhì)再到分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，這些規(guī)律都是在“變與不變”中凸顯本質(zhì)特征、感悟數(shù)學(xué)思想的。因此，作為一節(jié)生長(zhǎng)課，本節(jié)課我力求從學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)引入，通過數(shù)學(xué)思維方法的再現(xiàn)和遷移，將學(xué)生帶到“最近發(fā)展區(qū)”，為學(xué)生鋪設(shè)一條思維路徑。在探究過程中，我引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法歸納概括分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，并且借助圖形揭示分?jǐn)?shù)相等的秘密，引導(dǎo)學(xué)生理解規(guī)律背后的本質(zhì)特征。學(xué)生經(jīng)歷猜想、實(shí)踐、觀察、驗(yàn)證的全過程，在“變與不變”中探究、發(fā)現(xiàn)規(guī)律，初步感知“等價(jià)類”以及“無限”的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)了數(shù)感，發(fā)展了數(shù)學(xué)推理意識(shí)。這樣，能夠?yàn)閷W(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)約分、通分提供依據(jù)，為“分?jǐn)?shù)的計(jì)算”及“比的基本性質(zhì)”的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

一、從點(diǎn)出發(fā)，激活學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)

小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)是一條線?！扒吧臁本褪桥宄R(shí)（包括數(shù)學(xué)概念、原理、方法、規(guī)則、思想、思維等）的源頭和發(fā)展脈絡(luò)，解決“從哪里來”的問題;“后延”就是要弄清楚知識(shí)的發(fā)展趨勢(shì)，解決“到哪兒去”的問題，兩者是統(tǒng)一的。只要從這樣的視角來備課、上課，數(shù)學(xué)課就會(huì)變得有意思、有意義。

（一）憶舊導(dǎo)新，鋪設(shè)思維路徑

江蘇省特級(jí)教師許衛(wèi)兵認(rèn)為，數(shù)學(xué)是一門“關(guān)系”學(xué)。如果我們從“關(guān)系”的視角來研究教材內(nèi)容和教學(xué)方法，就會(huì)使知識(shí)系統(tǒng)化，使教學(xué)結(jié)構(gòu)化，從而使學(xué)生的思維走向“自能”化?！胺?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”一課就是在舊知的基礎(chǔ)上延伸生長(zhǎng)而來的。學(xué)生在學(xué)習(xí)小數(shù)的性質(zhì)和商不變規(guī)律的時(shí)候已經(jīng)在不經(jīng)意間應(yīng)用到了“于變中把握不變”這一思想方法，積累了相關(guān)的思維經(jīng)驗(yàn)。因此，本節(jié)課可從商不變的規(guī)律和小數(shù)的性質(zhì)入手，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到“研究數(shù)學(xué)現(xiàn)象的變化特點(diǎn)，從變中把握不變，是發(fā)現(xiàn)規(guī)律的重要方法和途徑”，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)的方法基礎(chǔ)。

教師可提出問題：（1） 8÷4 →80÷40 ;（2）24÷6→12÷3。觀察這兩組算式，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：我發(fā)現(xiàn)每組算式中被除數(shù)和除數(shù)都變了，但是商卻沒變。

生：第一組算式中被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘以10，第二組算式中被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)除以2。

生：我想到了商不變的規(guī)律——被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘以或除以一個(gè)相同的數(shù)（0 除外），商不變。

師：商不變的規(guī)律就是我們從“變與不變”的大量除法算式研究中歸納發(fā)現(xiàn)的。等式0.1=（）你會(huì)填嗎？看看什么變了？怎樣變的？什么沒變？

生：0.1=0.10=0.100=0.1000=0.10000……可以寫出無數(shù)個(gè)。

生：雖然小數(shù)末尾 0的個(gè)數(shù)逐個(gè)增多，但小數(shù)的大小是不變的。

生：我想到的是小數(shù)的性質(zhì)——小數(shù)的末尾添上 0 或去掉0，小數(shù)的大小不變。

師：小數(shù)的性質(zhì)也是從大量“變與不變”的例子中研究發(fā)現(xiàn)的。看來，研究數(shù)學(xué)現(xiàn)象的變化特點(diǎn)，從變中把握不變，是發(fā)現(xiàn)規(guī)律的一個(gè)重要方法和途徑。（板書，變、怎么變、不變）

（二）溝通聯(lián)系，引發(fā)合理猜想

教師通過新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，引發(fā)學(xué)生合理猜想，學(xué)生能自然地將學(xué)習(xí)內(nèi)容納入其已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)體系。

師：整數(shù)除法中有商不變的規(guī)律，小數(shù)中有小數(shù)的性質(zhì)。那么，請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合本單元學(xué)習(xí)的內(nèi)容，猜想一下，分?jǐn)?shù)中有可能存在什么規(guī)律？你的依據(jù)是什么？同桌之間互相說一說。

生：我認(rèn)為分?jǐn)?shù)中也存在著一定規(guī)律。根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，我們可以把“被除數(shù)”看作“分子”，把“除數(shù)”看作“分母”，把“商”看作“分?jǐn)?shù)值”，所以我認(rèn)為分?jǐn)?shù)中存在的規(guī)律與商不變的規(guī)律是基本相同的。

生：我認(rèn)為分?jǐn)?shù)中存在著一定的規(guī)律，而且這個(gè)規(guī)律也一定是在“變與不變”中發(fā)現(xiàn)的。

師：同學(xué)們，你們抓住了知識(shí)之間的聯(lián)系進(jìn)行猜想，還想到了運(yùn)用“變與不變”這一思維方法來研究，真了不起！老師為你們點(diǎn)贊！（板書，猜想）

二、自主探究，理解規(guī)律本質(zhì)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，學(xué)生的學(xué)習(xí)應(yīng)該是一個(gè)主動(dòng)的過程，認(rèn)真聽講，獨(dú)立思考，動(dòng)手實(shí)踐，自主探索，合作交流等是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式，教學(xué)活動(dòng)應(yīng)注重啟發(fā)式，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，引發(fā)學(xué)生積極思考，鼓勵(lì)學(xué)生質(zhì)疑問難，引導(dǎo)學(xué)生在真實(shí)情境中發(fā)現(xiàn)問題和提出問題。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程也是動(dòng)態(tài)建構(gòu)的過程，我們不但要引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂中形成學(xué)科知識(shí)結(jié)構(gòu)，還要讓課堂具有吸引力，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)過程充滿新奇、疑惑、探索、發(fā)現(xiàn)、驚喜、贊嘆，使學(xué)生經(jīng)歷曲折多變的“探險(xiǎn)”過程，建構(gòu)起數(shù)學(xué)知識(shí)的完整樣態(tài)，這樣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)才會(huì)“有意思”“有意義”。

（一）比較大小，形象感知相等

美國(guó)心理學(xué)家布魯納曾經(jīng)說過：“數(shù)學(xué)的生命在于探索，教師的任務(wù)是讓學(xué)生親歷探索的過程，在探索中發(fā)現(xiàn)，在探索中創(chuàng)新?！币虼耍经h(huán)節(jié)教師設(shè)計(jì)了不同層次的探究?jī)?nèi)容，通過對(duì)分?jǐn)?shù)大小的比較，借助直觀圖形，引出一組相等分?jǐn)?shù)，讓學(xué)生初步感知相等的內(nèi)涵。

師：你能比較[38]、[58]，[12]、[24]的大小嗎？說明你的理由。

生：[38]和[58]比較，[58]大于[38]。因?yàn)樗麄兌急硎景褑挝弧?”平均分成了8份，[38]表示取其中的3份，[58]表示取其中的5份，所以[58]大于[38]。

生：根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，[12]=1÷2=0.5，[24]=2÷4=0.5，所以[12]=[24]。

生：可以畫圖演示，把一張紙平均分成2份，表示其中的1份和把同一張紙平均分成4份，表示其中的2份，大小是相等的，所以[12]=[24]。

師：根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系來比較分?jǐn)?shù)的大小和借助圖形來說理，都是好方法。同學(xué)們請(qǐng)看圖（如圖1）。

通過畫圖我們可以直觀地看出，[12]確實(shí)等于[24]。實(shí)際上，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，數(shù)形結(jié)合確實(shí)是一種有效的學(xué)習(xí)方法。

（二）實(shí)踐操作，嘗試尋找相等

教師要提供豐富的學(xué)習(xí)材料，引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐，用畫一畫、折一折、擺一擺、說一說等方法找相等的分?jǐn)?shù)，使學(xué)生初步感受其中的“變與不變”，從而對(duì)變化規(guī)律有淺顯的、感性的認(rèn)識(shí)。同時(shí)，教師還可引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系生活找相等的分?jǐn)?shù)，或者利用分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系找相等的分?jǐn)?shù)，這樣能擴(kuò)大相等分?jǐn)?shù)的研究范圍。

師：[12]等于[24]，這只是一個(gè)特例嗎？在“分?jǐn)?shù)的世界”中，像這樣分子、分母不同，但大小相等的分?jǐn)?shù)還有嗎？你還能舉出這樣的例子嗎？請(qǐng)看自學(xué)提示。

自學(xué)提示：請(qǐng)打開學(xué)具袋（相同的圓形、正方形、長(zhǎng)方形紙片各4張，10根小棒，線段圖，彩筆），用畫一畫、折一折、算一算、寫一寫等方法，嘗試找出“分子、分母不同，但大小相等”的分?jǐn)?shù)。（至少找出兩個(gè)）你也可以聯(lián)系生活實(shí)際，找一找生活中相等的分?jǐn)?shù)。把你找到的分?jǐn)?shù)寫在練習(xí)本上，與小組內(nèi)同學(xué)交流，說明為什么相等。

師：通過實(shí)踐操作，相信你們一定找出了很多相等的分?jǐn)?shù)，誰(shuí)來說一說？

生：我把圓形（或正方形）的紙片對(duì)折，涂上其中的1份，就是[12];然后，我再對(duì)折，涂色部分就占圓形的[24];再對(duì)折，涂色部分就占圓形的[48]。涂色部分沒變，所以分?jǐn)?shù)的大小相等，也就是[12]=[24]=[48]。

師：如果再對(duì)折一次，涂色部分就占圓形的幾分之幾？它們的大小還相等嗎？

生：占[816]，它們還是相等的，因?yàn)橥可糠譀]變。

師：如果給你足夠大的紙，讓你一直折下去，想一想，你會(huì)得到多少個(gè)相等的分?jǐn)?shù)？

生：我想我會(huì)得到無數(shù)個(gè)相等的分?jǐn)?shù)，因?yàn)橥可糠质冀K沒變，所以分?jǐn)?shù)的大小也不變。

（三）借圖揭秘，凸顯相等本質(zhì)

教師要抓住學(xué)生匯報(bào)中對(duì)折的方法，借助圖形直觀演示，揭示性質(zhì)背后的本質(zhì)特征，即不同分?jǐn)?shù)之間為什么相等，滲透“等價(jià)類”的數(shù)學(xué)思想。教師通過讓學(xué)生想象“如果一直對(duì)折下去，你會(huì)找到多少相等的分?jǐn)?shù)？”滲透“無限”的數(shù)學(xué)思想，這也為下面怎樣“變”才會(huì)“不變”以及規(guī)律的概括提供了有力的支撐。教師課件演示。（如圖2）

圖2

師：確實(shí)，如果我們無限地對(duì)折下去，可以得到無數(shù)個(gè)相等的分?jǐn)?shù)。借助直觀圖形，我們來觀察一下，這個(gè)圖形究竟發(fā)生了什么變化？

生：我發(fā)現(xiàn)無論怎么分，只不過是涂色部分和整體分的份數(shù)變多了，但涂色部分的大小是不變的。

生：從圖中我們可以看到，將圓形平均分成2份時(shí)，涂色部分是1份，當(dāng)將圓形平均分成4份時(shí)，涂色部分就隨之變成了2份，當(dāng)將圓形平均分成8份時(shí)，涂色部分就隨之變成了4份，分得份數(shù)變多了，也就是分子和分母同時(shí)變大了，但變化前后他們所表示涂色部分的大小是相等的。

生：因?yàn)槲覀兤骄值氖钦麄€(gè)圓，所以分子和分母是同時(shí)分的，份數(shù)多了，每一份變小了，但所表示涂色部分的大小是不變的。

師：其實(shí)，無論是哪一個(gè)分?jǐn)?shù)，只要它所對(duì)應(yīng)圖形中的每一份發(fā)生了相同的變化，所得到分?jǐn)?shù)的大小就是相等的。

三、整體建構(gòu)，形成知識(shí)體系

學(xué)習(xí)的過程也是學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)與新知相互協(xié)同、整體建構(gòu)的過程。課堂上，教師要將新知化歸舊知，在溝通聯(lián)系中滲透“類比”的數(shù)學(xué)思想方法;要利用舊知解釋新知，進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移和內(nèi)化，形成知識(shí)體系。

師：同學(xué)們，你能根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系以及除法中商不變的性質(zhì)來說明分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)嗎？

生：分?jǐn)?shù)的分子相當(dāng)于（被除數(shù)），分母相當(dāng)于（除數(shù)）。如[12]可以寫成1÷2，這時(shí)我們把分子和分母時(shí)乘2、乘4，變成了[24]和[48]。其實(shí)就相當(dāng)于把1÷2中的被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘以2、乘以4，變成2÷4、4÷8，符合商不變規(guī)律。

師：我們利用以前學(xué)習(xí)的商不變的規(guī)律推理、解釋了分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。實(shí)際上，商不變的規(guī)律與分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)是可以相互轉(zhuǎn)化的，等我們到了六年級(jí)還會(huì)認(rèn)識(shí)比的基本性質(zhì)，到那時(shí)你們就會(huì)更加深刻地體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，真是“數(shù)學(xué)很奇妙，關(guān)系最重要”。

四、內(nèi)化延伸，探尋本質(zhì)特征

本課練習(xí)不能只停留在對(duì)知識(shí)和技能的掌握上，教師還要引導(dǎo)學(xué)生通過練習(xí)獲得一定的感悟、聯(lián)想和提升。

教師可先設(shè)置一個(gè)轉(zhuǎn)化題：把[23]和[1024]化成分母是12而大小不變的分?jǐn)?shù)。

[23]=[2×□3×4]=[□12][1024]=[10○□24○□]=[□12]

本題是直接應(yīng)用分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的基礎(chǔ)題，也是教材中的例題，學(xué)生這樣理解：要想使分?jǐn)?shù)的大小不變，可以根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)來填寫，[23]的分母乘4是12，所以分子2也要同時(shí)乘4，即[23]=[812];[1024]的分子、分母同時(shí)除以2，變成[512]。

然后，教師可設(shè)置“找朋友”游戲題：請(qǐng)?jiān)诜謹(jǐn)?shù)中[12];[36];[46];[48];[612];[812];[23]找出[12]和[23]的好朋友，你是怎么找到的？

學(xué)生回答“是根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)找到的”之后，教師可引導(dǎo)學(xué)生通過討論交流，形成如下的理解：

[等于[12]的分?jǐn)?shù)][等于[23]的分?jǐn)?shù)][[12]? [36]? [48]? [612]][[23]? [46]? [812]]

通過“找朋友”的游戲，讓學(xué)生找相等的分?jǐn)?shù)，加深了學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的理解和運(yùn)用。

接著，教師可設(shè)置“實(shí)際應(yīng)用”題：我們班[25]的同學(xué)參加了舞蹈小組，[410]的同學(xué)參加了書法小組，哪個(gè)小組的人數(shù)多？

學(xué)生理解為根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)[25]=[410]，所以兩個(gè)小組的人數(shù)一樣多。

最后，教師可設(shè)置“寫數(shù)”題：A、B點(diǎn)分別表示哪些數(shù)？你能寫出多少個(gè)？

生：A點(diǎn)既可以用整數(shù)2表示，同時(shí)也可以用[21]，[42]，[147]，[105]……表示，還可以用2.0，2.00……表示。

生：B點(diǎn)可以用[27]，[414]，[828]……表示。

點(diǎn)B代表（[27]，[414]，[828]……）]

師：分別觀察A點(diǎn)和B點(diǎn)所寫出的數(shù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：我發(fā)現(xiàn)A點(diǎn)用分?jǐn)?shù)或小數(shù)表示，都可以寫出無數(shù)個(gè)，用整數(shù)表示只有一個(gè);而B點(diǎn)不能用整數(shù)或小數(shù)表示，只能用分?jǐn)?shù)表示，也有無數(shù)個(gè)。

師：同學(xué)們真是善于觀察和總結(jié)！確實(shí)，數(shù)軸上所有的點(diǎn)（0除外）都可以用無限個(gè)分?jǐn)?shù)表示，盡管這些分?jǐn)?shù)不同，但是它們表示的是同一個(gè)點(diǎn)，所以大小是相等的。我們還發(fā)現(xiàn)，數(shù)軸上的點(diǎn)，有的能用整數(shù)表示，而且只有一個(gè)。有的點(diǎn)卻不能用整數(shù)表示，由此也就產(chǎn)生了分?jǐn)?shù)。

本題將分?jǐn)?shù)和整數(shù)的重要區(qū)別直觀地呈現(xiàn)在學(xué)生面前，學(xué)生進(jìn)一步感悟到分?jǐn)?shù)不同于整數(shù)的重要特性之一就在于“等價(jià)性”，感受“無限”的數(shù)學(xué)思想，進(jìn)一步加深理解了分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的意義。

（責(zé)任編輯：楊強(qiáng)）