一道初中求線段長度最值題的解法賞析

王莉璠

[摘? 要] 文章通過探究一道求線段長度最值題的多種解法，以提高學生學習的興趣與解題能力，促使他們了解并掌握求線段長度最值題的常用方法：軌跡法、構造折線段法、構造函數(shù)法.

[關鍵詞] 一題多解;最值;線段長度

很多數(shù)學題都有多種解法，我們在平常的教學中要讓學生養(yǎng)成發(fā)散思維的習慣，讓學生從不同的角度思考問題，以此探尋同一問題不同的解法，這樣有利于提高學生的學習興趣與解題能力. 下面以一道初中求線段長度最值題為例，談談如何從不同的角度思考、分析問題，進而得到不同的解題方法.

題目與分析

如圖1所示，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，BC=4，連接AC，BD. 若BD⊥CD，求AC長度的最大值.

這是一道求線段長度的最值問題，主要考查學生利用知識解決問題的能力. 解決此題有多種方法，下面進行詳細的闡述.

思路與解法

視角1將B，C視為定點，D視為主動點，A視為從動點，根據(jù)主從動點的關系，利用主動點D的運動軌跡判斷從動點A的運動軌跡，再利用點A的運動軌跡解題.

解法1如圖2所示，因為∠BDC=90°，BC=4，所以點D在以BC為直徑的圓O上運動. 因為AB=AD，∠BAD=60°，所以△ABD是等邊三角形. 所以BD=BA. 將△BDC及其外接圓O繞點B逆時針旋轉60°后，得到△BAC′和圓O′，連接O′A，O′C，C′C. 因為BC′=BC，∠C′BC=60°，所以△C′BC是等邊三角形. 因為O′為BC′的中點，所以O′C=BC=2. 因為O′A為圓O′的半徑，所以O′A=BC′=BC=2. 因為C為定點，A為定圓O′上的動點，所以AC長度的最大值=O′A+O′C=2+2.

點評因為BC的長為定值（BC=4），它所對的∠BDC也為定值（∠BDC=90°），因此可將B，C視為定點，D視為動點. 因為△ABD是等邊三角形，因此點A可視為由點D繞點B逆時針旋轉60°后得到的. 故動點D為主動點，動點A為從動點. 因為點D在圓O上，因此點A在圓O′（圓O′為圓O逆時針旋轉60°后所得）上. 于是可將求AC的最大值問題轉化為求定點C與定圓O′上動點A之間的距離最大值問題.

視角2? 將B，C視為定點，因為D，A為動點，它們之間又有固定的關系，于是通過旋轉把動點A旋轉到動點D的位置，再利用動點D的軌跡解題.

解法2? 如圖3所示，因為∠BDC=90°，BC=4，所以點D在以BC為直徑的圓O上. 因為AB=AD，∠BAD=60°，所以△ABD是等邊三角形. 所以BD=BA. 將△BAC繞點B順時針旋轉60°后得到△DBC′，連接OD，OC′，C′C. 因為BC′=BC，∠CBC′=60°，所以△CBC′是等邊三角形. 因為O為BC的中點，所以OC′=BC′=BC=2. 因為OD為圓O的半徑，所以OD=BC=2. 因為C′為定點，D為定圓O上的動點，所以DC′長度的最大值=OD+OC′=2+2. 因為DC′=AC，所以AC長度的最大值為2+2.

點評將B，C視為定點，A，D視為動點，利用旋轉，將動點A旋轉到動點D的位置，把求AC長度的最大值問題轉化為求DC′長度的最大值問題.

視角3? 將∠BDC視為定角，B，C分別視為DB，DC上的動點，根據(jù)定角對定邊的三角形的外接圓的半徑為定值的特性，利用三角形的外接圓的圓心構造折線段解題.

解法3? 如圖4所示，因為AB=AD，∠BAD=60°，所以△ABD是等邊三角形. 所以BD=BA. 將△BAC繞點B順時針旋轉60°后得到△BDC′，取BC的中點O，連接OD，OC′，C′C，則OD=BC=2. 因為BC′=BC，∠CBC′=60°，所以△CBC′是等邊三角形. 所以OC′=BC′=BC=2. 因為DC′≤OD+OC′，所以DC′≤2+2，且當D，O，C′三點共線時，DC′的長度取得最大值2+2. 因為DC′=AC，所以AC長度的最大值為2+2.

點評將△BAC繞點B順時針旋轉60°后得到△BDC′，把求AC長度的最大值轉化為求DC′長度的最大值. 因為∠BDC為定值（∠BDC=90°），它所對的邊BC為定值（BC=4），因此將∠BDC視為定角，B，C分別視為射線DB，DC上的動點，則△BDC外接圓的半徑為定值. 由于∠BDC=90°，因此△BDC外接圓的圓心O為BC的中點. 根據(jù)△BDC外接圓的半徑為定值這一特性，利用圓心O在D，C′兩點之間構造一條折線段，且組成這條折線段的兩條線段的長度均為定值，再利用三角形的三邊關系求DC′長度的最大值，即得AC長度的最大值.

視角4將B，C視為定點，將線段BD的長度視為變量，構造關于線段AC長度的函數(shù)，利用函數(shù)的性質求最值.

解法4? 如圖5所示，過點A作AE⊥CD，交CD的延長線于點E. 因為AB=AD，∠BAD=60°，因此△ABD是等邊三角形. 所以BD=AD，∠BDA=60°. 因為∠BDC=90°，所以∠ADE=30°. 設BD=x（x>0），則AD=x，AE=AD·sin∠ADE=x，DE=AD·cos∠ADE=x. 在△BDC中，因為∠BDC=90°，BC=4，BD=x，所以CD==. 所以CE=CD+DE=+x. 所以AC2=CE2+AE2=16+=16+≤16+8=（2+2）2. 所以AC≤2+2. 所以當x2=8，即x=2時，AC的長度取得最大值2+2.

點評因為△BAD是等邊三角形，BC是定值（BC=4），因此把B，C視為定點，當線段BD的長度發(fā)生變化時，會引起D，A兩點的位置變化，從而引起線段AC長度的變化. 所以設線段BD的長度為變量x，構造關于線段AC長度的函數(shù)，再利用函數(shù)的性質求最值.

求線段長度最值的常用方法有：軌跡法、構造折線段法、構造函數(shù)法. 根據(jù)這些方法求線段長度的最值，要么尋找動點的軌跡，將所求最值問題轉化為求點與圓、點與直線間距離的最值;要么構造折線段，利用三角形的三邊性質求最值;要么構造函數(shù)，利用函數(shù)的性質求最值.