利用向量法，巧解三角形

童波

［摘? 要］ 縱觀近幾年全國高考數(shù)學(xué)卷，向量法應(yīng)用的比例一直居高不下，甚至還有穩(wěn)中上升的趨勢. 文章以“正（余）弦定理”教學(xué)為例，從教學(xué)內(nèi)容的分析與教學(xué)實錄的開展出發(fā)，對如何利用向量法，巧解三角形談一些看法與思考.

［關(guān)鍵詞］ 向量法；三角形；正（余）弦定理

實踐證明，能建立空間直角坐標系的問題，大部分都可以用向量法來解決. 與傳統(tǒng)解題方法相比，向量法雖然計算量偏大，卻具有將復(fù)雜問題變簡單的功效. 遇到解三角形類的問題，也可以巧借向量的代數(shù)運算功能將復(fù)雜的問題變得簡單，讓解題變得更加科學(xué)合理. 因此，筆者從正（余）弦定理的教學(xué)實錄出發(fā)，談一些看法.

[?]教學(xué)內(nèi)容分析

正弦定理的證明方法，教材提供了幾何法與向量法兩種，幾何法將斜三角形的邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化成直角三角形的邊角關(guān)系進行證明；向量法則將向量等式轉(zhuǎn)化成數(shù)量等式，然后對向量邊長進行轉(zhuǎn)化. 余弦定理的證明方法，教材僅提供了向量法一種，且只用了寥寥幾行字，就揭示了向量法的優(yōu)勢. 從教材所提供的證明方法來看，利用向量法證明正弦、余弦定理是編者倡導(dǎo)的證明方法，體現(xiàn)出了向量法在解決三角形問題中的優(yōu)越性.

[?]教學(xué)簡錄

為了讓學(xué)生充分感知向量法的工具性與便利性，筆者結(jié)合學(xué)情，在實際教學(xué)中，將正弦、余弦定理進行了整合處理，獲得了不錯的教學(xué)成效.

1. 教學(xué)目標

（1）帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷用向量法對三角形邊角關(guān)系進行研究的過程，讓學(xué)生體驗向量運算的基本方法，感知向量法在解決三角形問題中的工具性特征與實際價值.

（2）掌握正弦、余弦定理的相關(guān)知識.

2. 教學(xué)過程

（1）創(chuàng)設(shè)情境，引出主題

情境作為一種特殊的教學(xué)環(huán)境，是教者為了促進學(xué)者學(xué)習(xí)，結(jié)合學(xué)情與教學(xué)目標有針對性創(chuàng)設(shè)的一種支持性的教學(xué)環(huán)境［1］. 情境的應(yīng)用，不僅能激發(fā)學(xué)生的探索欲，還能突出教學(xué)的針對性，充分發(fā)揮情感在課堂教學(xué)中的促進作用，提高學(xué)習(xí)效率.

情因境生，境為情設(shè). 良好的教學(xué)情境，能有效激發(fā)學(xué)生的探究熱情，讓學(xué)生產(chǎn)生新的認知，有新的收獲. 本堂課以激發(fā)學(xué)生的自主探究為主，教學(xué)對象為邏輯思維較強的高中生，因此在情境選擇上，可應(yīng)用充滿“數(shù)學(xué)味”的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生直接切入主題.

問題情境：三角形邊角關(guān)系的研究，除了可以從幾何的角度進行外，還有其他研究途徑嗎？

師：大家都清楚，向量作為數(shù)學(xué)工具的一種，既具備“形”的特征，又含有“數(shù)”的意義. 三角形的邊角特征就可以用這種集“數(shù)形”特征于一體的向量來刻畫. 那么，什么樣的向量關(guān)系式能刻畫出△ABC三邊之間的關(guān)系呢？

生1：++=0.

師：不錯，這就是三角形最基本的向量等式，該等式不僅刻畫了三角形三邊之間的關(guān)系，還蘊含了三角形三角之間的關(guān)系.

在問題情境的引導(dǎo)下，教師以“如何用向量關(guān)系式刻畫△ABC三邊之間的關(guān)系”為切入口，引導(dǎo)學(xué)生回顧三角形最基本的向量等式，讓學(xué)生快速明確本節(jié)課的主題，也為接下來的探究活動奠定基礎(chǔ).

（2）多重方案，引發(fā)探究

師：式子++=0刻畫的是向量之間的關(guān)系，若要將該式轉(zhuǎn)化成三角形邊角之間的關(guān)系，該怎么處理呢？

生2：應(yīng)該要進行某種運算吧？（不太確定）

師：大家分析一下，怎樣實施運算可以進行轉(zhuǎn)化？

生3：向量加減法不能得到邊角之間的關(guān)系，從數(shù)量積的運算角度考慮，數(shù)量積運算的介入，結(jié)合其定義，能夠獲得邊角之間的關(guān)系.

設(shè)計意圖：以問題啟發(fā)學(xué)生從“數(shù)量積運算”的角度進行轉(zhuǎn)化，不僅能獲得想要的邊角之間的關(guān)系，還能將向量等式轉(zhuǎn)化成數(shù)量等式，這一過程具有培養(yǎng)學(xué)生目標意識的重要作用.

師：說一說你們的轉(zhuǎn)化方法.

（學(xué)生合作交流，匯報結(jié)論）

方案1：

生4：等式++=0移項后可得=-①，在等式①的兩邊同時點乘，得2=·（-），即a2=abcosC+accosB，化簡后可得a=bcosC+ccosB.

師：非常好，在等式的兩邊同時點乘，就是將原來的向量等式轉(zhuǎn)化成了數(shù)量等式，為接下來研究三角形的邊角關(guān)系提供了支持. 類似于此，在等式①的兩邊還可以點乘其他向量嗎？若可以，能得到怎樣的結(jié)論？

生5：等式++=0移項后可得=-②，在等式②的兩邊同時點乘，經(jīng)過化簡可得b=acosC+ccosA.

生6：等式++=0移項后可得=-③，在等式③的兩邊同時點乘，經(jīng)過化簡可得c=acosB+bcosA.

師：不錯，這三個等式被稱為三角形的射影定理.

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生感知在等式的兩邊同時點乘向量的過程，旨在激發(fā)學(xué)生的探究欲. 雖然本節(jié)課并沒有將射影定理作為教學(xué)任務(wù)，但射影定理是本節(jié)課實施探究的載體，因此有必要帶領(lǐng)學(xué)生進行一定了解.

方案2：

師：對于++=0這個式子，是否存在其他的數(shù)量化處理方式？

生7：等式++=0移項后可得=-，將移項后的式子兩邊同時平方，可得2=（-）2，即2=2+2-2·，也就是a2=b2+c2-2bccosA.

師：不錯，將等式的兩邊同時平方，也就是將原式轉(zhuǎn)化成了數(shù)量等式，獲得了三角形邊角關(guān)系的等式. 類似于此，我們還能如何進行平方？獲得什么結(jié)論呢？

生8：同樣經(jīng)過移項，可得=-，將等式兩邊同時平方，整理可得b2=a2+c2-2accosB.

生9：原式移項后可得=-，將等式兩邊同時平方，整理可得c2=a2+b2-2abcosC.

師：非常好！我們將移項后的等式兩邊同時平方，能將向量等式數(shù)量化，整理后所獲得的三個邊角關(guān)系的等式，被稱為余弦定理.

設(shè)計意圖：教師通過適當?shù)狞c撥，引導(dǎo)學(xué)生自主操作——移項后等式兩邊同時平方，將向量等式數(shù)量化，余弦定理的發(fā)現(xiàn)水到渠成.

方案3：

師：對于式子++=0，是否還存在其他數(shù)量化處理的方法？

一石激起千層浪，隨著問題的驅(qū)動，點燃了學(xué)生思維的火花，此時課堂氛圍達到了高潮，學(xué)生一個個都躍躍欲試，進入了深度探究的狀態(tài).

生10：將等式++=0的兩邊直接平方，可得（++）2=0，經(jīng)過整理可得a2+b2+c2=2bccosA+2accosB+2abcosC.

師：很好，這種方法同樣可將向量等式數(shù)量化. 從以上幾種轉(zhuǎn)化策略不難看出，要么平方，要么點乘特殊的向量. 如方案1，點乘的向量是三角形三邊所在的向量，具有與對應(yīng)邊平行的特征. 大家思考一下，除了以上幾種向量外，是否還存在其他特殊的向量可以用來點乘呢？

（學(xué)生沉思）

設(shè)計意圖：教師提出“平行”這個詞語，意在給學(xué)生一種指向與暗示，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)另一種特殊向量——法向量也可作為點乘向量.

方案4：

生11：假設(shè)∠C是△ABC中最大的角，++=0移項后可得=-，在該式的兩邊同時點乘的法向量，可得·-·=0，也就是b·

·cos∠DAC-c·

·cos∠DAB=0.

如圖1所示，假設(shè)∠C是銳角，那么=.

如圖2所示，假設(shè)∠C是鈍角，那么==.

同理可得，==.

師：非常好！將等式的兩邊點乘的法向量，成功地將原向量等式數(shù)量化，化簡等式后即得本節(jié)課的教學(xué)重點——正弦定理. 觀察以上幾種解題方案，不難發(fā)現(xiàn)，向量等式是解決問題的起點，是實施運算的基礎(chǔ)，在等式的兩邊作數(shù)量積是解題的關(guān)鍵.

（師生共同總結(jié)正弦定理與余弦定理）

綜上分析，方案2和方案3是通過平方作數(shù)量積，方案1和方案4是通過點乘特殊向量作數(shù)量積，不論哪種方法的應(yīng)用，都是將向量等式轉(zhuǎn)化成數(shù)量等式. 通過多種方案的展示，不僅可以拓展學(xué)生的視野，還能開拓學(xué)生的思維，讓正弦、余弦定理的形成更加自然.

（3）知識應(yīng)用

任何結(jié)論的獲得都是為應(yīng)用奠定基礎(chǔ)，正弦、余弦定理也不例外. 基于以上定理的形成過程，筆者呈現(xiàn)出以下經(jīng)典例題，供學(xué)生探討分析，并通過試題變式，培養(yǎng)學(xué)生實際應(yīng)用的靈活性，以促進學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展.

例題 如圖3所示，在△ABC中，已知∠BAC=60°，AB=8，AC=5，點D為BC邊的中點，則中線AD的長度是多少？

分析：從常規(guī)解法來看，本題可以借助余弦定理獲得第三條邊BC的長度，再結(jié)合中線定理知AD=，進而獲得AD的長；也可以借助中線的向量性質(zhì)，列式=（+），該式的兩邊同時平方，解得

=.

變式：如圖4所示，在△ABC中，已知AB=8，AC=5，點D為BC邊上接近點B的三等分點，在AD=的情況下，∠BAC的度數(shù)是多少？

分析：此變式的常規(guī)解決方法用在△ABC與△ABD中，借助余弦定理建立關(guān)于BC與cosB的方程組，獲得BC的長度，然后在△ABC中，結(jié)合余弦定理得到∠A的度數(shù)；也可以用向量法，得=+，等式兩邊同時平方，整理得cosA=，所以∠A=60°.

設(shè)計意圖：通過典型例題與其變式讓學(xué)生感知，用向量法解決三角形問題，具備顯著的簡潔、直接等優(yōu)勢，明確此類問題解決的關(guān)鍵在于將向量等式兩邊同時平方進行轉(zhuǎn)化，獲得數(shù)量等式.

在學(xué)以致用的基礎(chǔ)上，本節(jié)課也接近尾聲，此時教師可以帶領(lǐng)學(xué)生站在同一高位，一起回顧本節(jié)課的教學(xué)重點與難點，厘清整個學(xué)習(xí)思路，力爭將這種學(xué)習(xí)方法延續(xù)到后期更多的學(xué)習(xí)中，形成一種學(xué)習(xí)技能.

[?]教學(xué)思考

1. 設(shè)計合理的教學(xué)流程

新課標提出：數(shù)學(xué)課堂教學(xué)需建立在學(xué)習(xí)者原有的認知水平與知識經(jīng)驗基礎(chǔ)上進行，教學(xué)活動的開展，應(yīng)一直位于學(xué)生認知的最近發(fā)展區(qū)［2］. 由此可見，研究學(xué)生原有的認知結(jié)構(gòu)與認知水平是教學(xué)設(shè)計的根本，也是各類教學(xué)活動開展的起點.

學(xué)生在本節(jié)課上課前已經(jīng)掌握了向量的相關(guān)知識，教師進行課堂設(shè)計時，就是以此為基準的，利用充滿“數(shù)學(xué)味”的問題情境直奔教學(xué)主題，讓學(xué)生快速進入學(xué)習(xí)狀態(tài). 同樣，在探究活動環(huán)節(jié)中，教師的追問是基于學(xué)生的認知經(jīng)驗進行的，每個問題都緊貼著學(xué)生的最近發(fā)展區(qū). 因此獲得了較好的教學(xué)成效.

2. 提供充足的探究空間

動手操作、自主探究與合作交流是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式，學(xué)生通過親身經(jīng)歷，將一些實際的數(shù)學(xué)問題抽象成模型. 因此，新課標對于課堂探究活動的開展，提出了更加明確的要求——要求教師為學(xué)生提供充足的探究空間與時間，讓學(xué)生自主建構(gòu)新知，而非由教師機械地告知.

探究活動在傳統(tǒng)教學(xué)中的應(yīng)用較少，有些“老教師”對于教學(xué)設(shè)計意圖的把握不太精準，導(dǎo)致實施過程中障礙重重. 鑒于此，教師應(yīng)不斷更新教育教學(xué)理念，通過提升自身的綜合素養(yǎng)與專業(yè)水平，為學(xué)生提供真正意義上的探究空間，以調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，促進學(xué)生思維品質(zhì)（敏捷性、深刻性、廣闊性等）的發(fā)展.

本節(jié)課中，教師通過簡單明了的問題驅(qū)動，引發(fā)學(xué)生的探究欲，并在適當?shù)臅r機給予點撥與引導(dǎo)，讓學(xué)生自主探索出三種解題方案，總結(jié)出正弦、余弦定理. 這種教學(xué)方法，讓學(xué)生體驗知識的“再發(fā)現(xiàn)”過程，感知學(xué)習(xí)的樂趣，建立學(xué)習(xí)信心.

3. 靈活用好數(shù)學(xué)教材

教材是實施教學(xué)的依據(jù)，但教材的安排適用于一般情況，而具體教學(xué)的實施，受學(xué)情、學(xué)校背景等綜合因素的影響，需教師結(jié)合實際情況作一些調(diào)整. 本節(jié)課從教材出發(fā)，結(jié)合了學(xué)生實際情況，打破了教材原有編排，重新整合了教材內(nèi)容，因勢利導(dǎo)地實施教學(xué)，充分挖掘了教材的教學(xué)功能.

4. 增強課堂教學(xué)節(jié)奏感

教學(xué)設(shè)計應(yīng)結(jié)合教學(xué)內(nèi)容與學(xué)情，把握好每個環(huán)節(jié)的節(jié)奏，讓學(xué)生在張弛有序的氛圍中感知學(xué)習(xí)的快樂. 例如，本節(jié)課方案4的探究環(huán)節(jié)，學(xué)生想不到點乘向量，沉思時間過長，課堂氛圍顯得較為沉悶. 究其原因在于教師所設(shè)置的問題沒有明確的指向性，學(xué)生一時找不到思考方向. 教師若在此環(huán)節(jié)用“問題串”的形式，為學(xué)生的思維搭建“腳手架”，則會出現(xiàn)不一樣的教學(xué)效果.

參考文獻：

［1］? 馬復(fù). 設(shè)計合理的數(shù)學(xué)教學(xué)［M］. 北京：高等教育出版社，2003.

［2］? 中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版） ［M］.北京：人民教育出版社，2018.