注重解題策略 優(yōu)化數(shù)學(xué)思維

魏綺蕓

［摘? 要］ 注重解題策略的培養(yǎng)，能優(yōu)化學(xué)生的思維，幫助學(xué)生快速找到問(wèn)題的突破口，提高解題能力. 文章從數(shù)形轉(zhuǎn)化解題策略、整體性解題策略、特殊化解題策略、具體與抽象解題策略四方面展開(kāi)闡述，以饗讀者.

［關(guān)鍵詞］ 解題策略；思維；突破口；解題能力

解題不僅能檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解與掌握程度，還能讓學(xué)生在錯(cuò)綜復(fù)雜的情境下，靈活應(yīng)用自身已有的知識(shí)對(duì)具體問(wèn)題進(jìn)行有條不紊地分析，通過(guò)再創(chuàng)造性的思考，感知探究問(wèn)題的過(guò)程，從而解決問(wèn)題. 解題策略對(duì)解題能力的形成，具有舉足輕重的影響. 但在實(shí)際教學(xué)中，仍有部分教師只注重學(xué)生的解題結(jié)果，而忽略了解題策略的引導(dǎo)，導(dǎo)致有些學(xué)生遇到一些復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，感到手足無(wú)措，無(wú)法變通. 因此，筆者特別針對(duì)解題策略在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用談一些拙見(jiàn).

[?] 數(shù)形轉(zhuǎn)化解題策略

數(shù)形轉(zhuǎn)化解題策略是指將數(shù)或形的問(wèn)題，從一種形態(tài)轉(zhuǎn)化為另一種形態(tài)或互相轉(zhuǎn)化的策略，它既是一種常用的解題方法，也是一種重要的數(shù)學(xué)思想. 解題時(shí)，我們常在問(wèn)題提供的“數(shù)”中思考相應(yīng)的“形”，或在問(wèn)題提供的“形”中尋覓相應(yīng)的“數(shù)”，將兩者嚴(yán)密地結(jié)合在一起，互相轉(zhuǎn)化，則能達(dá)到解題的目的.

縱觀近些年的高考試題，會(huì)發(fā)現(xiàn)新穎的問(wèn)題層出不窮，對(duì)學(xué)生思維的深度與靈活性的要求越來(lái)越高. 數(shù)形轉(zhuǎn)化解題策略的應(yīng)用，不僅能解決一些抽象的問(wèn)題，還能優(yōu)化學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造意識(shí). 這種轉(zhuǎn)化方法常用于解決函數(shù)最值與值域、不等式以及三角函數(shù)等問(wèn)題，簡(jiǎn)化問(wèn)題難度是它最大的優(yōu)勢(shì)，在填空題與選擇題的解決中，其優(yōu)越性更加明顯. 因此，教師應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形意識(shí)，形成“見(jiàn)數(shù)思圖”“見(jiàn)圖知數(shù)”的習(xí)慣.

例1 直線y=1與函數(shù)y=2sin

+ωx

（ω>0）在（0，π）內(nèi)存在三個(gè)交點(diǎn)，求ω的取值范圍.

分析：從題設(shè)條件來(lái)看，這是直線與函數(shù)位置關(guān)系的圖形問(wèn)題，常規(guī)思維認(rèn)為通過(guò)畫圖來(lái)解題是最便捷的. 但觀察問(wèn)題的條件，會(huì)發(fā)現(xiàn)本題的函數(shù)圖像并不容易畫出來(lái)，同時(shí)，問(wèn)題還涉及三個(gè)無(wú)法一眼就能確定的交點(diǎn)位置，因此從“形”的角度著手思考，不一定是最便捷的方法. 若轉(zhuǎn)化思考本題的方向，從“數(shù)”的角度去分析，也就是應(yīng)用方程來(lái)解題，則容易得多.

解析：根據(jù)2sin

+ωx

=1可得+ωx=+2kπ（k∈Z），或+ωx=+2kπ（k∈Z），也就是x=（k∈Z），或x=（k∈Z）. 因?yàn)閤∈（0，π），所以x=，x=，x=，x=，x=. 根據(jù)題意，x∈（0，π），x?（0，π），所以

≥π，

<π，所以<ω≤.

從本題來(lái)看，雖然圖形具有直觀、形象的特征，但過(guò)于復(fù)雜的“形”還需要依靠“數(shù)”來(lái)分析. 這就需要充分挖掘問(wèn)題中的條件，結(jié)合圖形的幾何意義與性質(zhì)，準(zhǔn)確地將圖形數(shù)字化，達(dá)到解題的目的.

[?] 整體性解題策略

整體性解題策略是指將問(wèn)題中的一些元素視為一個(gè)整體，通過(guò)對(duì)這個(gè)整體條件與結(jié)論的研究，達(dá)到簡(jiǎn)化問(wèn)題難度、提高解題效率的目的. 這種方法能有效地避免多個(gè)小問(wèn)題帶來(lái)的信息干擾. 新課授學(xué)時(shí)，教師將數(shù)學(xué)的整體結(jié)構(gòu)進(jìn)行點(diǎn)狀分割，以幫助學(xué)生更好地理解知識(shí)結(jié)構(gòu)；復(fù)習(xí)時(shí)，又將這些點(diǎn)狀的知識(shí)點(diǎn)有機(jī)地整合到一起，讓學(xué)生通過(guò)整體結(jié)構(gòu)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)，完善認(rèn)知；解題時(shí)，從知識(shí)的整體性出發(fā)，聯(lián)系各知識(shí)點(diǎn)之間的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行分析，可提高解題效率.

例2 已知函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a>0），且f（1）=-，證明f（x）在（0，2）上有零點(diǎn).

分析：根據(jù)題意，f（1）=-<0，依照零點(diǎn)存在定理，僅需判斷f（0）與f（2）的正負(fù)即可，但這個(gè)方向難度較大，需要分類討論. 若從整體思想的角度來(lái)考慮，則能有效簡(jiǎn)化本題難度，呈現(xiàn)耳目一新之感. 此題還隱藏著一個(gè)重要的“二分法”思想，即1為區(qū)間（0，2）的中點(diǎn).

解析：根據(jù)題意，f（1）=-<0，a，b，c的和為-，則b+c=-，因此f（0）+f（2）=4a+c+2b+c=4a+2×

-

=a>0，因此f（0）與f（2）中必定有一個(gè)為正，由此可確定f（0）·f（1）<0與f（1）·f（2）<0中必定有一個(gè)是成立的，因此函數(shù)f（x）在（0，1）或（1，2）上存在零點(diǎn)，因此f（x）在（0，2）上存在零點(diǎn).

為了鞏固學(xué)生對(duì)整體性解題策略的應(yīng)用，教師可以設(shè)計(jì)變式，供學(xué)生自主探究，達(dá)到啟發(fā)思維、深化思考、熟能生巧的目的.

變式：已知函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a>0），且2a+3b+6c=0，證明f（x）在（0，1）上有零點(diǎn).

此變式比較“狡猾”，雖然問(wèn)題與原題類似，但條件卻很隱蔽，需要學(xué)生從“二分法”的角度去思考，也就是f

的正負(fù). 由此可見(jiàn)，該變式主要考查學(xué)生的思維變通能力.

解題時(shí)，若遇到過(guò)程過(guò)于煩瑣或干擾條件過(guò)多時(shí)，不妨換一種思維模式，另辟蹊徑，讓思維“整體轉(zhuǎn)化”，將一些條件視為一個(gè)整體進(jìn)行解題，有可能會(huì)出現(xiàn)“柳暗花明又一村”的景象. 高中數(shù)學(xué)中常用的整體性解題策略包括整體代換、整體判斷、整體換元等. 不論應(yīng)用哪種方法，都需要用戰(zhàn)略性的眼光去看待每一個(gè)問(wèn)題，以突破解題思維的瓶頸，達(dá)到優(yōu)化思維、提升解題能力的目的.

[?] 特殊化解題策略

特殊化解題策略主要是以特殊數(shù)值、圖形、角、位置或數(shù)列等代替問(wèn)題中的普遍條件，從所獲得的特殊結(jié)論來(lái)推導(dǎo)、論證出命題的正確性的方法. 特殊化解題策略不僅具有“探路”作用，還能在很大程度上簡(jiǎn)化運(yùn)算與推理過(guò)程，提高解題效率. 縱觀近些年的高考試題，結(jié)合特例法解答的問(wèn)題占比有上升趨勢(shì). 因此，教學(xué)中教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生勤加訓(xùn)練，使學(xué)生能敏銳地發(fā)現(xiàn)更簡(jiǎn)便的解題方法.

數(shù)學(xué)中有很多問(wèn)題都存在著一定的結(jié)構(gòu)特征與內(nèi)在規(guī)律，只要有敏銳的觀察能力，就能快速洞察到其特點(diǎn)，這對(duì)解題具有深遠(yuǎn)的影響. 如看到問(wèn)題中有3，4，5這樣的數(shù)字，就能快速聯(lián)想到勾股定理，這種對(duì)數(shù)字、式子或圖形敏感的能力，能讓學(xué)生快速發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)，從而化繁為簡(jiǎn)，巧妙求解.

例3 函數(shù)f（x）定義在

，π

上，且滿足f′（x）-tanx·f（x）>0，下列說(shuō)法正確的是（? ）

A. f

B. f

>f

C. f

<0

D. f

>f

解法1：運(yùn)用“特例法”，設(shè)f（x）=1，f（x）滿足原題條件，利用“排除法”，很快可將B，C，D排除掉，確定本題選A.

解法2：將題設(shè)條件更換成cosx·f′（x）-sinx·f（x）<0，令g（x）=cosx·f（x），那么g（x）<0，因此g（x）在

，π

上單調(diào)遞減，通過(guò)代入檢驗(yàn)的方式，可得選項(xiàng)A是正確的.

對(duì)比以上這兩種解題方法，發(fā)現(xiàn)解法1給大家?guī)?lái)了一種大快人心的感覺(jué)，設(shè)f（x）=1就輕輕松松把一道題給解決了. 此過(guò)程不僅呈現(xiàn)了數(shù)學(xué)簡(jiǎn)潔美的魅力，還體現(xiàn)了思維的靈活性與敏銳性對(duì)解題的影響. 應(yīng)用特殊化策略解題，除了要有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)外，還要有良好的數(shù)感，遇到問(wèn)題時(shí)才能靈光乍現(xiàn). 而要獲得這種數(shù)感，就需要日常的思維訓(xùn)練和核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

[?] 具體與抽象解題策略

生活中，有些事物我們可通過(guò)切身體驗(yàn)感知它的存在，而有些事物卻無(wú)法用我們的感覺(jué)器官去感知. 生活如此，解題亦如此. 有些開(kāi)放性問(wèn)題，我們可以通過(guò)實(shí)踐獲得真知，但有些問(wèn)題無(wú)法通過(guò)具體實(shí)踐獲得答案. 這就需要學(xué)生充分發(fā)揮想象，將抽象的事物具體化或?qū)⒕唧w的事物抽象化，在兩者的互相轉(zhuǎn)化中找到突破口解題.

同時(shí)，抽象思維與具體思維又是相輔相成、相對(duì)而言的. 有些學(xué)生雖然有良好的具體思維能力，但抽象思維能力有所欠缺. 這種特征導(dǎo)致他們更擅長(zhǎng)解決一些具體問(wèn)題，對(duì)于抽象問(wèn)題則容易產(chǎn)生畏懼心理. 因此，教師應(yīng)注重學(xué)生抽象思維與具體思維互相轉(zhuǎn)化的培養(yǎng)，為核心素養(yǎng)的發(fā)展奠定基礎(chǔ).

例4 已知函數(shù)f（x）=log（+x）+2018x3，且f（x2+2x）+f（x-4）>0，則x的取值范圍是多少？

分析：觀察本題，雖然題設(shè)條件給出了具體函數(shù)，但若想用“代入法”求解，有一定難度. 換個(gè)角度，抽象發(fā)現(xiàn)該函數(shù)是奇函數(shù)，且為增函數(shù)，根據(jù)此性質(zhì)解題，則簡(jiǎn)單很多.

解析：已知函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，同時(shí)在R上是增函數(shù)，根據(jù)f（x2+2x）+f（x-4）>0，可得f（x2+2x）>-f（x-4）=f（4-x），因此x2+2x>4-x，即x2+3x-4>0，解得x>1或x<-4. 因此x的取值范圍為（-∞，-4）∪（1，+∞）.

本題充分體現(xiàn)了具體與抽象互相轉(zhuǎn)化對(duì)解題的直接影響. 較好的抽象能力，能把控好問(wèn)題的整個(gè)格局. 有時(shí)拋開(kāi)一些具體、零散或繁雜的干擾條件，常能抽象出問(wèn)題的核心與本質(zhì)，讓人產(chǎn)生一種“撥開(kāi)云霧見(jiàn)天日”的感覺(jué)，解題能力與思維品質(zhì)也在這種轉(zhuǎn)化中得以螺旋提升.

總之，解題策略是考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握程度，衡量學(xué)生思維能力與解題能力的重要指標(biāo)之一. 有效的解題策略能讓學(xué)生利用最少的時(shí)間，高效、準(zhǔn)確地完成解題. 然而，解題策略有很多，究竟該如何選擇，這就需要教師培養(yǎng)學(xué)生根據(jù)問(wèn)題特征與認(rèn)知情況，用科學(xué)、合理的策略解題，達(dá)到優(yōu)化思維品質(zhì)、提升核心素養(yǎng)的目的.