從經(jīng)歷到經(jīng)驗(yàn)：在運(yùn)算律教學(xué)中培養(yǎng)推理意識(shí)

張春潔

推理意識(shí)主要是指學(xué)生對(duì)邏輯推理過程及其意義的初步感悟，有助于學(xué)生養(yǎng)成講道理、有條理的思維習(xí)慣，是形成推理能力的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。小學(xué)是學(xué)生系統(tǒng)學(xué)習(xí)推理相關(guān)知識(shí)的起步階段，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生的年齡特點(diǎn)和知識(shí)特質(zhì)，有意識(shí)地進(jìn)行教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生推理意識(shí)的逐漸形成。運(yùn)算律的教學(xué)屬于規(guī)律性知識(shí)教學(xué)的范疇。教學(xué)中，可以使學(xué)生經(jīng)歷從特殊問題中發(fā)現(xiàn)猜想，催生推理的意識(shí)；通過舉例驗(yàn)證、歸納概括得出結(jié)論的過程，進(jìn)一步引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷推理實(shí)踐；并在規(guī)律的選擇和運(yùn)用中，進(jìn)一步發(fā)展推理思維；在對(duì)推理過程的回顧與運(yùn)用中獲得推理的基本方法結(jié)構(gòu)和初步經(jīng)驗(yàn)，從而使學(xué)生逐漸形成推理的意識(shí)。

“運(yùn)算律”是蘇教版四年級(jí)下冊(cè)第六單元的內(nèi)容。該單元探究了加法交換律、結(jié)合律，乘法交換律、結(jié)合律、分配律，以及連減的性質(zhì)、連除的性質(zhì)。這些內(nèi)容對(duì)學(xué)生來說并不陌生，在之前的學(xué)習(xí)中已經(jīng)漸次接觸了一些例子。該單元要探究的運(yùn)算律內(nèi)容雖然不同，規(guī)律探究的過程卻是相同的，即偶然現(xiàn)象（或特殊問題）→引發(fā)猜想→舉例驗(yàn)證→概括結(jié)論→運(yùn)用結(jié)論。本單元教學(xué)的價(jià)值在于推理的過程，即通過運(yùn)算律的探究使學(xué)生有機(jī)會(huì)經(jīng)歷從已有事實(shí)出發(fā)，通過歸納和類比推斷出結(jié)果，通過舉例驗(yàn)證獲得結(jié)論，并把得到的結(jié)論運(yùn)用于具體的計(jì)算和解決問題中，幫助學(xué)生形成研究的意識(shí)，積累推理活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，促使推理意識(shí)萌芽。

一、觀察中猜想，催生推理意識(shí)

觀察是以視覺為主，融其他感覺為一體的綜合感知，包含著積極的思維活動(dòng)，是獲得感性認(rèn)識(shí)的重要途徑，也是開啟推理活動(dòng)的窗口。猜想是基于學(xué)生已有的認(rèn)知、經(jīng)驗(yàn)，憑借某些線索進(jìn)行推斷猜度得到的結(jié)果?！跋炔潞笞C”是合情推理的一般過程，學(xué)生從感性材料中得到啟發(fā)，通過聯(lián)想，發(fā)揮想象力，能促進(jìn)推理活動(dòng)自然發(fā)生。從這個(gè)意義上講，細(xì)心觀察、大膽猜想能催生學(xué)生的推理意識(shí)。

在探究加法交換律時(shí)，教材中提供了一個(gè)生活情境。這個(gè)情境跟學(xué)生的生活很貼近，學(xué)生能很輕松地用不同的方法解答，從而很自然地得到一個(gè)等式“17+28=28+17”。通過教師引導(dǎo)：“等式兩邊的算式有什么地方相同和不同？”學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)交換了兩個(gè)加數(shù)的位置，但得數(shù)沒有發(fā)生變化。但一個(gè)算式還不足以引發(fā)學(xué)生的猜想，教師需進(jìn)一步引導(dǎo)：“這樣的情況以前是否遇到過？”在問題引導(dǎo)中幫助學(xué)生調(diào)用已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行合理猜想。另外，在本單元的知識(shí)中，加法交換律和乘法交換律具有相似性，加法結(jié)合律和乘法結(jié)合律具有相似性，連減的性質(zhì)和連除的性質(zhì)也具有相似性，這就使學(xué)生開展類比猜想成為了可能?？傊?，猜想是一種模仿，是一種直覺，更是一種預(yù)測性判斷，猜想的結(jié)果能直接反映學(xué)生的觀察水平。事實(shí)上，直覺所見的猜想結(jié)果如果能加以驗(yàn)證，就可以抽象出各種規(guī)律定理，推理意識(shí)的產(chǎn)生便水到渠成了。

二、驗(yàn)證中表達(dá)，經(jīng)歷推理過程

驗(yàn)證是拿出依據(jù)作出判斷的過程；表達(dá)是有理有據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證的方式，包括舉正例和反例。在教學(xué)中如果能引導(dǎo)學(xué)生在驗(yàn)證中學(xué)會(huì)表達(dá)，由此及彼、有理有據(jù)地說清來龍去脈，讓學(xué)生真實(shí)經(jīng)歷推理的過程，無疑對(duì)學(xué)生推理意識(shí)的形成是有益的。下面仍以加法交換律為例加以說明，過程如下圖所示。

從圖中不難看出，學(xué)生舉例的過程本身也是一次簡單推理的經(jīng)歷，因此舉例過程的表達(dá)要引導(dǎo)學(xué)生注意有理有據(jù)、符合邏輯。另外，教師在指導(dǎo)學(xué)生舉例驗(yàn)證的過程中所舉的例子要盡可能做到范圍覆蓋面廣、類型不重復(fù)。這樣，舉例驗(yàn)證的過程才能激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維活力，學(xué)生為了尋找反例會(huì)絞盡腦汁；不同類型、不同范圍的舉例還可以開拓學(xué)生的視野。學(xué)生在驗(yàn)證中有條理地表達(dá)，使他們真正經(jīng)歷推理的過程。

三、運(yùn)用中選擇，發(fā)展推理思維

發(fā)現(xiàn)并驗(yàn)證運(yùn)算律的過程是從特殊到一般，屬于歸納推理，它能讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的“再創(chuàng)造”。利用運(yùn)算律進(jìn)行簡便運(yùn)算的過程是從一般到特殊，屬于演繹推理，需要學(xué)生保持思維的嚴(yán)密性和一貫性。兩種推理對(duì)學(xué)生的思維成長發(fā)揮著同等重要的作用。學(xué)生面對(duì)具體的運(yùn)算問題，在選擇使用何種運(yùn)算律時(shí)需要進(jìn)行判斷與決策，激活推理意識(shí)。因此，在運(yùn)算律的運(yùn)用中，教師可以設(shè)計(jì)易混易錯(cuò)和一題多解等形式的題組，引導(dǎo)學(xué)生有理有據(jù)地分析和思考，幫助學(xué)生對(duì)問題本質(zhì)有清晰的理解，有效增強(qiáng)學(xué)生的觀察力與思維邏輯性，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，發(fā)展學(xué)生的推理思維。

運(yùn)算律或運(yùn)算性質(zhì)的相似性和差異性，以及使用范圍的不同是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，如果不加強(qiáng)比較分析，容易造成在實(shí)際運(yùn)用中屢屢出錯(cuò)。比如，200÷25×4，學(xué)生很容易只關(guān)注到數(shù)據(jù)特點(diǎn)而錯(cuò)用乘法結(jié)合律，算成200÷（25×4）。另外，在用運(yùn)算律使計(jì)算簡便的應(yīng)用中，往往會(huì)出現(xiàn)一題多解。比如用運(yùn)算律計(jì)算25×16時(shí)，學(xué)生拆數(shù)的角度不同，應(yīng)用運(yùn)算律進(jìn)行簡便運(yùn)算的方式也不同。教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生加以比較，既要關(guān)注使用相同運(yùn)算律導(dǎo)致簡便程度不同的比較，也要關(guān)注使用不同運(yùn)算律導(dǎo)致簡便程度不同的比較，引導(dǎo)學(xué)生思考到底選用的是什么運(yùn)算律，是怎么想到的，怎樣根據(jù)符號(hào)和數(shù)據(jù)的特點(diǎn)確定運(yùn)算律使計(jì)算簡便等，既凸顯最優(yōu)化算法，又能讓學(xué)生養(yǎng)成講道理、有條理的思維習(xí)慣，發(fā)展推理思維。

四、回顧中實(shí)踐，獲得推理經(jīng)驗(yàn)

通過對(duì)推理方法的回顧有利于學(xué)生對(duì)方法形成結(jié)構(gòu)化認(rèn)識(shí)。這種結(jié)構(gòu)狀的方法較點(diǎn)狀的數(shù)學(xué)知識(shí)而言更具有遷移性，也容易成為推理經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展學(xué)生推理意識(shí)。

以運(yùn)算律的探究過程為例，學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜想、驗(yàn)證和歸納的過程，并通過回顧了解探究規(guī)律的一般方法，有助于學(xué)生形成科學(xué)的研究態(tài)度，獲得合情推理的經(jīng)驗(yàn)。因此，在第一課“加法交換律和結(jié)合律”的學(xué)習(xí)過程中，可以分兩步走：第一步在學(xué)習(xí)加法交換律的過程中引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷并回顧探究的過程，總結(jié)提煉探究的方法；第二步在學(xué)習(xí)加法結(jié)合律時(shí)進(jìn)行嘗試運(yùn)用，并指出還可以運(yùn)用這個(gè)方法探究數(shù)學(xué)中的其他規(guī)律。在后續(xù)學(xué)生學(xué)習(xí)乘法運(yùn)算律時(shí)，教師也要有意識(shí)地幫助學(xué)生回顧并運(yùn)用探究規(guī)律的方法，逐漸形成主動(dòng)探究的心態(tài)，建立起結(jié)構(gòu)化的思維方式，形成初步的研究意識(shí)和能力。事實(shí)上，學(xué)生利用積累的推理經(jīng)驗(yàn)，也會(huì)在日常的計(jì)算中逐漸形成推理意識(shí)。比如，學(xué)生在豎式計(jì)算中遇到36×101和101×18，發(fā)現(xiàn)得數(shù)分別是3636和1818。根據(jù)課堂學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生自然產(chǎn)生猜想：是不是101乘任何兩位數(shù)的積都是這個(gè)兩位數(shù)寫兩遍。接著，學(xué)生主動(dòng)嘗試運(yùn)用歸納法驗(yàn)證，分別用最小和最大的兩位數(shù)去乘，即10×101=1010，99×101=9999。還把兩位數(shù)設(shè)為AB，用乘法分配律進(jìn)行演繹推理，發(fā)現(xiàn)計(jì)算規(guī)律成立。學(xué)生通過一次成功的探究，感受到“觀察猜想、舉例驗(yàn)證和得出結(jié)論”是探究數(shù)學(xué)規(guī)律的方法，利用這樣的研究方法還會(huì)發(fā)現(xiàn)更多有趣的數(shù)學(xué)規(guī)律。

（作者單位：江蘇省常州市局前街小學(xué)）