選用合適的方法，讓解函數(shù)值域題更高效

劉玉祥

求函數(shù)的值域問題通常具有較強的綜合性，常見的命題形式是求某個函數(shù)在某個定義域內(nèi)的值域．這類問題中的函數(shù)式的形式和結構多種多樣，因此求其值域的方法也各不相同，常用的方法有配方法、換元法、基本不等式法、數(shù)形結合法、判別式法等．本文重點談一談下列三種求函數(shù)值域問題的方法．

一、換元法

所謂換元，是指將函數(shù)式中的某一部分用一個新元替換，從而改變函數(shù)式的結構、形式，以便從新的角度尋找解題的思路．面對結構比較復雜的函數(shù)式，如含有根式、絕對值、對數(shù)式、指數(shù)式等式子時，可將函數(shù)式中的一部分，如根號下的式子、絕對值內(nèi)部的式子、指數(shù)式、對數(shù)式的真數(shù)等用一個新元替換，從而簡化函數(shù)式，再根據(jù)新函數(shù)式的性質(zhì)、圖象，求得值域．

該函數(shù)中含有根式，于是將這個根式當作一個整體用新元t替換，通過換元，將復雜的函數(shù)式轉(zhuǎn)化為關于t的二次函數(shù)式，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性，就能求出函數(shù)的值域．

首先引入?yún)?shù)t，將其替換根號下的式子，通過換元，將問題轉(zhuǎn)化為關于t的二次函數(shù)最值問題．運用換元法求函數(shù)的最值，關鍵是找到合適的式子進行換元，這就需要根據(jù)解題需求進行分析．

我們將函數(shù)式看作P（x，0）到點Ai（-3，4）、Bi（5，2）的距離之和，然后畫出幾何圖形，將數(shù)形結合起來，通過作關于x軸的對稱點，找到臨界的情形，從而求得函數(shù)的最小值．將函數(shù)和幾何圖形巧妙結合在一起，利用圖形的直觀性可以準確快速地求出函數(shù)的值域，

三、利用一元二次方程的判別式

當遇到一元二次函數(shù)最值問題時，可將y看作參數(shù)，構造關于x的一元二次方程；再根據(jù)函數(shù)值存在，即方程有解，來建立關于判別式的關系式△≥0，得到關于y的不等式，解該不等式即可求得y的取值范圍，即為原函數(shù)的值域．

首先將函數(shù)式變形為一元二次方程，便可根據(jù)方程有解，利用判別式建立關系式△≥0，即可求得y的取值范圍，再根據(jù)函數(shù)的定義域進一步縮小函數(shù)的值域，

對于較為復雜的函數(shù)值域問題，同學們要學會將函數(shù)式進行合理的變形、轉(zhuǎn)化，將問題轉(zhuǎn)化為新元的函數(shù)問題、圖形問題、方程問題來求解，這樣有利于快速找到解題的突破口，不僅能拓寬解題的思路，還能提升解題的效率．

（作者單位：江蘇省連云港市灌云縣第一中學）