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    概率易錯題面面觀

    2022-05-30 10:48:04劉宇峰
    初中生世界·九年級 2022年11期
    關(guān)鍵詞:算珠數(shù)是講題

    劉宇峰

    忽視等可能性

    例1 把3顆算珠放在計數(shù)器的3根插棒上構(gòu)成一個數(shù)字,例如,圖1擺放的算珠表示數(shù)300。現(xiàn)將3顆算珠任意擺放在這3根插棒上。求構(gòu)成的數(shù)是三位數(shù)的概率。

    【錯解】3顆算珠,3根插棒,我們將數(shù)字一一有序列舉出:

    情況1:將3顆算珠放百位上,只有一種結(jié)果,表示數(shù)300;

    情況2:將2顆算珠放百位上,剩下1顆有兩種放法,放在十位上,表示數(shù)210,或放在個位上,表示數(shù)201;

    情況3:將1顆算珠放百位上,剩下2顆有三種放法,都放在十位上,表示數(shù)120,或都放在個位上,表示數(shù)102,或十位、個位上各放一個,表示數(shù)111;

    情況4:百位上不放,有四種放法,3顆算珠都放在十位上,表示數(shù)30,或十位上放2顆,個位上放1顆,表示數(shù)21,或十位上放1顆,個位上放2顆,表示數(shù)12,或都放個位上,表示數(shù)3。

    共有10種結(jié)果,其中構(gòu)成三位數(shù)的結(jié)果有6種,所以構(gòu)成的數(shù)是三位數(shù)的概率是6/10=3/5。

    【分析】錯解一一有序地列舉出構(gòu)成的數(shù)字,初看似乎有道理,但細細研究,我們不難發(fā)現(xiàn),這10種結(jié)果不具有等可能性。

    【正解】將3顆算珠任意擺放在計數(shù)器的3根插棒上,等價于:有3顆算珠,首先放第一顆算珠,它可以放在百位上,可以放在十位上,也放在個位上,有3種等可能放法;接著放第二顆算珠,同樣,它可以放在百位上,可以放在十位上,也放在個位上,也是有3種等可能放法;最后放第三顆算珠,它同樣有3種等可能放法(百位、十位、個位),畫樹狀圖如下:

    將3顆算珠任意擺放在這3根插棒上,共有27種等可能的結(jié)果,其中構(gòu)成的數(shù)是三位數(shù)的結(jié)果有19種,所以構(gòu)成的數(shù)是三位數(shù)的概率為19/27。

    【點評】求概率的前提條件是“等可能性”。一般地,設(shè)一個試驗的所有可能發(fā)生的結(jié)果有n個,它們都是隨機事件,每次試驗有且只有其中的一個結(jié)果出現(xiàn)。如果每個結(jié)果出現(xiàn)的機會均等,那么我們說這n個事件的發(fā)生是等可能的,也稱這個試驗的結(jié)果具有等可能性。

    未能區(qū)分“有放回”與“不放回”

    例2 為了調(diào)動同學們學習數(shù)學的積極性,某班組織開展了“數(shù)學小先生”講題比賽,老師將四道備講題的題號1、2、3、4分別寫在完全相同的4張卡片的正面,將卡片背面朝上洗勻。小明隨機抽取兩張卡片,用畫樹狀圖或列表的方法求兩張卡片上的數(shù)字是“2”和“3”的概率。

    【錯解】列表如圖。

    共有16種等可能的結(jié)果,其中兩張卡片上的數(shù)字是“2”和“3”的結(jié)果有2種,

    所以小明隨機抽取兩張卡片,兩張卡片上的數(shù)字是“2”和“3”的概率為[216]=[18]。

    【分析】隨機抽取兩張卡片,相當于先后抽兩次,第一次抽到的卡片不放回,再抽第二次。

    【正解】列表如圖。

    共有12種等可能的結(jié)果,其中兩張卡片上的數(shù)字是“2”和“3”的結(jié)果有2種。

    所以小明隨機抽取兩張卡片,兩張卡片上的數(shù)字是“2”和“3”的概率為2/12=1/6。

    【點評】對于“抽卡片”“摸球”等類型的問題,我們要看清題目條件的敘述是“有放回”還是“不放回”。對于“有無放回”,一是題目條件中明確交代是“有放回”,二是同時“抽”“摸”兩次,即暗示“無放回”?!皵S骰子”“拋硬幣”“搖轉(zhuǎn)盤”等類型的問題,第一次出現(xiàn)的,第二次還有可能出現(xiàn),相當于“抽”“摸”中的“有放回”。

    (作者單位:江蘇省東臺市五烈鎮(zhèn)廉貽中學)

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