關(guān)注建模過程發(fā)展核心素養(yǎng)

洪飛

［摘 要］為了關(guān)注學(xué)生的建模過程，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)，現(xiàn)以人教版數(shù)學(xué)教材“圖形與幾何”領(lǐng)域?yàn)槔?，梳理模型意識(shí)在“圖形與幾何”領(lǐng)域中的應(yīng)用，并基于向?qū)W生滲透模型意識(shí)設(shè)計(jì)教學(xué)，分析模型意識(shí)在“圖形與幾何”領(lǐng)域中的應(yīng)用價(jià)值。這樣不僅可以加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型的理解，而且能促進(jìn)學(xué)生內(nèi)化和豐富數(shù)學(xué)模型，而不是簡(jiǎn)單地套用數(shù)學(xué)模型解決問題，使學(xué)生形成良好的思維習(xí)慣和數(shù)學(xué)品格。

［關(guān)鍵詞］模型意識(shí)；人教版；核心素養(yǎng)；圖形與幾何

［中圖分類號(hào)］ G623.5［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A［文章編號(hào)］ 1007-9068（2022）33-0004-03

數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)語言概括地描述現(xiàn)實(shí)世界萬事萬物的特征、數(shù)量關(guān)系和空間形式的一種思維形式。在數(shù)學(xué)課堂中，教師要根據(jù)學(xué)生的思維特點(diǎn)，讓他們像數(shù)學(xué)家那樣進(jìn)行探索和創(chuàng)造，關(guān)注學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的建模過程，引導(dǎo)他們經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的具象和抽象過程，從而有效培養(yǎng)學(xué)生的模型意識(shí)，發(fā)展他們的核心素養(yǎng)。

一、模型意識(shí)在“圖形與幾何”領(lǐng)域中的應(yīng)用

在認(rèn)識(shí)圖形的特征時(shí)，學(xué)生經(jīng)歷了以下的建模過程：先從實(shí)物模型中抽象出數(shù)學(xué)模型，再從數(shù)學(xué)模型中抽象出模型的本質(zhì)屬性。在人教版數(shù)學(xué)教材“圖形與幾何”領(lǐng)域滲透模型意識(shí)的教學(xué)，我們對(duì)內(nèi)容進(jìn)行梳理，具體如下（見表1）。

從上表中可以看出，滲透模型意識(shí)是引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的再創(chuàng)造和數(shù)學(xué)化的過程。教師要引導(dǎo)學(xué)生在動(dòng)手操作和舉例比較中概括出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，幫助學(xué)生溝通數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系。

二、模型意識(shí)在“圖形與幾何”領(lǐng)域教學(xué)中的滲透

數(shù)學(xué)課堂中，教師要選擇合適的內(nèi)容滲透模型意識(shí)，既要讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)模型可以用來解決一類數(shù)學(xué)問題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑，又要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到生活中的許多問題都與數(shù)學(xué)有關(guān)，可以把生活問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際生活中的問題。

1.創(chuàng)設(shè)生活情境，滲透模型意識(shí)

數(shù)學(xué)源于生活，用于生活，高于生活。在“圖形與幾何”領(lǐng)域教學(xué)中，教師可根據(jù)學(xué)生的實(shí)際生活，創(chuàng)設(shè)生活情境，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察發(fā)現(xiàn)蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)規(guī)律。這樣不僅能降低學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難度，還能讓學(xué)生經(jīng)歷從生活原型中抽象出數(shù)學(xué)模型的全過程。

例如，教學(xué)人教版數(shù)學(xué)教材四年級(jí)下冊(cè)《三角形的認(rèn)識(shí)》后，教師設(shè)計(jì)了一節(jié)“一共要多少根火柴棒”的數(shù)學(xué)思維課。課堂上，教師先讓學(xué)生觀察，然后數(shù)一數(shù)擺一個(gè)三角形需要多少根火柴，再引導(dǎo)學(xué)生用字母表示三角形個(gè)數(shù)和火柴棒根數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系，最后讓學(xué)生用字母表示長(zhǎng)方形個(gè)數(shù)和可坐人數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系。

活動(dòng)（1）：用字母表示三角形個(gè)數(shù)和火柴棒根數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系

（出示圖1）

[①]數(shù)一數(shù)：擺1個(gè)三角形需要多少根火柴棒？擺2個(gè)三角形需要多少根火柴棒？擺3個(gè)三角形需要多少根火柴棒？[②]想一想：擺n個(gè)三角形需要多少根火柴棒？

師：同學(xué)們，請(qǐng)你們先數(shù)一數(shù)擺1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)三角形需要多少根火柴棒，再想一想擺n個(gè)三角形需要多少根火柴棒。

（學(xué)生先獨(dú)立思考，再在小組里分享自己的思考過程）

師：誰來說一說，擺出題中這三個(gè)圖形分別需要多少根火柴棒？

生1：擺1個(gè)三角形需要3根火柴棒，擺2個(gè)三角形需要5根火柴棒，擺3個(gè)三角形需要7根火柴棒。

師：那么，擺n個(gè)三角形需要多少根火柴棒呢？你能用含有n的字母表達(dá)式寫一寫嗎？

生2：我發(fā)現(xiàn)擺1個(gè)三角形需要3根火柴棒，擺2個(gè)三角形需要5根火柴棒，擺3個(gè)三角形需要7根火柴棒，也就是多擺1個(gè)三角形需要2根火柴棒，所以擺n個(gè)三角形需要3+2×n根火柴棒。

生3：不對(duì)。因?yàn)閚=1時(shí)，擺1個(gè)三角形就需要3+2×1=5（根）火柴棒了。因此，字母表達(dá)式里不能是n，應(yīng)該換成n-1，即擺n個(gè)三角形需要3+2×（n-1）根火柴棒。

師：我們一起來驗(yàn)證一下。如果n=1時(shí)，擺1個(gè)三角形需要3+2×（1-1）=3（根）火柴棒；如果n=2時(shí)，擺2個(gè)三角形需要3+2×（2-1）=5（根）火柴棒……你們還能想出其他的數(shù)量關(guān)系嗎？

生4：我發(fā)現(xiàn)擺1個(gè)三角形需要3根火柴棒，擺2個(gè)三角形需要3×2=6（根）火柴棒，但實(shí)際上合起來擺2個(gè)三角形卻少了1根火柴棒；擺3個(gè)三角形需要3×3=9（根）火柴棒，但實(shí)際上合起來擺3個(gè)三角形卻少了2根火柴棒，所以擺n個(gè)三角形需要3×n-（n-1）根火柴棒。

……

活動(dòng)（2）：用字母表示長(zhǎng)方形個(gè)數(shù)和可坐人數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系

出示題目（見圖2）：（1）每張長(zhǎng)方形桌子坐4人，2張長(zhǎng)方形桌子坐多少人？3張長(zhǎng)方形桌子坐多少人？（2）想一想，n張長(zhǎng)方形桌子坐多少人？

師：同學(xué)們先獨(dú)立思考，再小組交流。

生5：2張長(zhǎng)方形桌子坐6人，3張長(zhǎng)方形桌子坐8人。我發(fā)現(xiàn)每增加1張長(zhǎng)方形桌子，就多坐2人，所以n張長(zhǎng)方形桌子坐4+2×（n-1）人。

生6：我發(fā)現(xiàn)原本2張長(zhǎng)方形桌子可以坐4×2=8（人），但是2張長(zhǎng)方形桌子拼起來后卻少坐2人；3張長(zhǎng)方形桌子可以坐4×3=12（人），但是3張長(zhǎng)方形桌子拼起來后卻少坐4人，所以n張長(zhǎng)方形桌子坐……

上述教學(xué)，教師先引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際生活中抽象出數(shù)學(xué)模型，從簡(jiǎn)單的1個(gè)三角形、2個(gè)三角形、3個(gè)三角形中直觀地發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)量關(guān)系；再根據(jù)數(shù)量關(guān)系中的共性建立數(shù)學(xué)模型。這個(gè)數(shù)學(xué)建模的過程，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)學(xué)規(guī)律和數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)。

2.借助操作活動(dòng)，滲透模型意識(shí)

荷蘭數(shù)學(xué)家弗萊登塔爾提出數(shù)學(xué)教育的三原則，即現(xiàn)實(shí)原則、數(shù)學(xué)化原則和再創(chuàng)造原則；同時(shí)，他認(rèn)為“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)唯一正確的方法就是再創(chuàng)造，由學(xué)生自己把所要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)現(xiàn)或者創(chuàng)造出來”。

例如，教學(xué)人教版數(shù)學(xué)教材六年級(jí)上冊(cè)《圓的周長(zhǎng)》一課時(shí)，為了探究圓的周長(zhǎng)計(jì)算公式的由來，教師引導(dǎo)學(xué)生從最初的用線測(cè)量圓的周長(zhǎng)，到發(fā)現(xiàn)圓的周長(zhǎng)與圓的直徑有關(guān)，最終發(fā)現(xiàn)π的存在。

活動(dòng)（1）：測(cè)量圓的周長(zhǎng)

師：（出示一個(gè)圓）同學(xué)們，你們知道圓的周長(zhǎng)是指哪一部分嗎？請(qǐng)同學(xué)們指一指。（學(xué)生指著圓的最外面一圈）如果想知道這個(gè)圓的周長(zhǎng)，你們有什么辦法？

生1：可以在圓上固定一個(gè)點(diǎn)，從這個(gè)點(diǎn)開始，讓它沿著直尺滾動(dòng)一圈，回到這個(gè)固定點(diǎn)，就是這個(gè)圓的周長(zhǎng)。

生2：可以找來一把卷尺，先從圓上某個(gè)固定點(diǎn)開始，卷尺繞著圓上再回到這個(gè)固定點(diǎn)，就能讀出這個(gè)圓的周長(zhǎng)了。

生3：可以準(zhǔn)備一根線和一把直尺，先用線繞著圓的一周，再把這段線拉直放到直尺上，就能測(cè)量出這段線的長(zhǎng)度了，也就是這個(gè)圓的周長(zhǎng)。

師：剛才同學(xué)們想出了多種不同的測(cè)量圓周長(zhǎng)的方法，但是它們?cè)跍y(cè)量中都會(huì)產(chǎn)生誤差。大家想一想，有什么辦法可以計(jì)算出圓的周長(zhǎng)？

……

活動(dòng)（2）：計(jì)算圓的周長(zhǎng)

師：老師為每個(gè)小組準(zhǔn)備了3個(gè)大小不同的圓，請(qǐng)你們先想辦法測(cè)量出圓的周長(zhǎng)，再計(jì)算出每個(gè)圓的周長(zhǎng)除以直徑的商，并把計(jì)算結(jié)果填寫在表格（見表2）里。

師：通過測(cè)量和計(jì)算，你們發(fā)現(xiàn)圓的周長(zhǎng)和直徑之間有什么關(guān)系？

生4：我發(fā)現(xiàn)圓的周長(zhǎng)是直徑的3倍多一點(diǎn)。

師：中國(guó)數(shù)學(xué)家祖沖之發(fā)現(xiàn)任何一個(gè)圓的周長(zhǎng)除以直徑的商都是一個(gè)固定值，叫作圓周率π。因此，圓的周長(zhǎng)可以用C=πd或者C=2πr來計(jì)算。

……

上述教學(xué)，學(xué)生經(jīng)歷了測(cè)量圓的周長(zhǎng)和計(jì)算圓的周長(zhǎng)這兩個(gè)過程。在動(dòng)手動(dòng)腦中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了圓的周長(zhǎng)與直徑之間的關(guān)系，自然地建立圓的周長(zhǎng)公式模型。這樣的探究活動(dòng)，比教師的告知傳授更能幫助學(xué)生理解圓的周長(zhǎng)計(jì)算公式的由來。

3.借助猜想驗(yàn)證，滲透模型意識(shí)

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)要求學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，形成重論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)態(tài)度與理性精神。猜想和驗(yàn)證是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中應(yīng)當(dāng)具備的理性精神之一，所以教師在教學(xué)中應(yīng)借助猜想和驗(yàn)證，向?qū)W生滲透模型意識(shí)。

例如，教學(xué)人教版數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)“表面涂色的正方體”時(shí)，教師先讓學(xué)生猜測(cè)3面涂色、2面涂色、1面涂色和6面都不涂色的小正方體各有多少個(gè)，再讓學(xué)生用n表示涂色小正方體的個(gè)數(shù)。

師：一個(gè)表面涂色的正方體，每條棱都平均分成2份，如果把它切開，能切成多少個(gè)同樣大的小正方體？每個(gè)小正方體有幾個(gè)面涂色？

生1：能切成2×2×2=8（個(gè)）同樣大的小正方體，每個(gè)小正方體都有3個(gè)面涂色。

師：一個(gè)表面深色的正方體，每條棱都平均分成3份，如果把它切開，能切成3×3×3=27（個(gè)）同樣大的小正方體，那么3面涂色、2面涂色、1面涂色的小正方體各有多少個(gè)？分別在什么位置？有6面都不涂色的小正方體嗎？

（學(xué)生根據(jù)自己的思考猜測(cè)涂色的小正方體個(gè)數(shù)）

師：可以先把猜測(cè)的結(jié)果記錄在學(xué)習(xí)單中，再驗(yàn)證自己的猜想。

生2：3面涂色的小正方體都在大正方體的頂點(diǎn)位置，一共有8個(gè)；2面涂色的小正方體都在大正方體每條棱的中間位置，一共有12個(gè)；1面涂色的小正方體都在大正方體每個(gè)面的中間位置，一共有6個(gè)。6面都不涂色的小正方體有27-8-12-6=1（個(gè)）。

師：一個(gè)表面深色的正方體，每條棱都平均分成4份，如果把它切開，能切成4×4×4=64（個(gè)）同樣大的小正方體，那么3面涂色、2面涂色、1面涂色的小正方體各有多少個(gè)？分別在什么位置？

……

上述教學(xué)，面對(duì)較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，教師帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷了從猜想到驗(yàn)證的建模全過程，不僅教給學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法，還讓他們感受到數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和魅力。

三、模型意識(shí)在“圖形與幾何”領(lǐng)域中的價(jià)值

模型意識(shí)在“圖形與幾何”領(lǐng)域中有著較為廣泛的應(yīng)用，主要體現(xiàn)在以下兩個(gè)方面。一是可讓學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)的方法。如果具備模型意識(shí)，學(xué)生就會(huì)在不重復(fù)的枚舉中先數(shù)出具體的結(jié)果，再去思考為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的結(jié)果，然后用字母表達(dá)式表示出數(shù)量關(guān)系，最后用具體的數(shù)字檢驗(yàn)含有字母的數(shù)量關(guān)系是否正確。這個(gè)過程可以轉(zhuǎn)化為學(xué)生以后自己探究數(shù)學(xué)知識(shí)的方法，讓學(xué)生終身受益。二是能給解題帶來方便。學(xué)生可能不理解建立數(shù)學(xué)模型的意義，但是他們經(jīng)歷了從生活原型中抽象成數(shù)學(xué)模型、利用數(shù)學(xué)模型探究數(shù)學(xué)問題的全過程，在運(yùn)用過程中能夠體會(huì)到數(shù)學(xué)模型給解決問題帶來的便利，感受到數(shù)學(xué)再創(chuàng)造的成就感，促進(jìn)了他們數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展。

總之，教學(xué)“圖形與幾何”領(lǐng)域的內(nèi)容時(shí)，教師要適時(shí)滲透模型意識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的完整過程。在這個(gè)過程中，不僅要加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型的理解，更要讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用價(jià)值，促進(jìn)學(xué)生內(nèi)化和豐富數(shù)學(xué)模型，而不是簡(jiǎn)單地套用數(shù)學(xué)模型解決問題，使學(xué)生形成良好的思維習(xí)慣和數(shù)學(xué)品格。

（責(zé)編 杜 華）