中國古籍中的勾股定理

潘華偉

“折竹抵地”

《九章算術(shù)》是中國古代的一部數(shù)學(xué)專著，是《算經(jīng)十書》中最重要的一部，成書于公元一世紀(jì)左右。全書總結(jié)了戰(zhàn)國、秦、漢時期的數(shù)學(xué)成就，是一本綜合性的歷史著作，也是當(dāng)時世界上最簡練、有效的應(yīng)用數(shù)學(xué)著作。它的出現(xiàn)標(biāo)志著中國古代數(shù)學(xué)形成了完整的體系。

《九章算術(shù)》中有一道“折竹”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺。問：折者高幾何？”題意是：一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺。試問折斷處離地面多高（如圖1）？

我們可以設(shè)竹子折斷處離地面x尺，如圖2，構(gòu)造直角三角形，則斜邊為（10-x）尺，根據(jù)勾股定理，得x2+32=（10-x）2，解得x=[9120]。故折斷處離地面[9120]尺。

“秋千蕩高”

《直指算法統(tǒng)宗》也是中國古代數(shù)學(xué)名著。該書共17卷，卷1和卷2介紹數(shù)學(xué)名詞、大數(shù)、小數(shù)和度量衡單位以及珠算盤式圖、珠算各種算法口訣等，并舉例說明具體用法；卷3至卷12按“九章”次序列舉各種應(yīng)用題及解法；卷13到卷16為“難題”解法匯編；卷17是“雜法”。書后附錄《算經(jīng)源流》一篇，著錄了北宋元豐七年（1084年）以來的數(shù)學(xué)書目51種。從中國古代數(shù)學(xué)的整個發(fā)展過程來看，從流傳的長久、廣泛和深入程度來講，這是任何一部數(shù)學(xué)著作都不能相比的。

《直指算法統(tǒng)宗》中曾以《西江月》為詞牌，敘述了一道“蕩秋千”的問題：“平地秋千未起，踏板一尺離地。送行二步與人齊，五尺人高曾記。仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉。良工高士素好奇，算出索長有幾？”

譯文：有一架秋千，當(dāng)它靜止時，踏板離地1尺，將它往前推送10尺（水平距離）時，踏板就和人一樣高。這個人的身高為5尺，秋千的繩索始終拉得很直，試問繩索有多長？

我們可以將原問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，得到圖3。其中 AC=1尺，EB=10尺，BD=5尺。我們可以設(shè)OA=OB=x尺，因?yàn)镋C=BD=5尺，AC=1尺，所以EA=4尺，OE=OA-AE=（x-4）尺。在Rt△OEB中，根據(jù)勾股定理，得x2=（x-4）2+102，解得x=14.5。故秋千繩索的長度是14.5尺。

同學(xué)們，你能用剛才的知識和方法解答下面這道中考題嗎？

勘測隊(duì)按實(shí)際需要構(gòu)建了平面直角坐標(biāo)系，并標(biāo)示了A、B、C三地的坐標(biāo)，數(shù)據(jù)如圖4所示（單位：km）。筆直鐵路經(jīng)過A、B兩地。

（1）A、B間的距離為?km；

（2）計(jì)劃修建一條從C到鐵路AB的最短公路l，并在l上建一個維修站D，使D到A、C的距離相等，則C、D間的距離為?km。

因?yàn)锳、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，我們得到AB∥x軸，所以AB=12-（-8）=20，所以A、B間的距離為20km。根據(jù)“兩點(diǎn)之間垂線段最短”，我們可以求出最短公路l，即過C點(diǎn)作l⊥AB于點(diǎn)E。連接AC，作AC的垂直平分線交直線l于點(diǎn)D，則點(diǎn)D是所求的位置（如圖5）。由（1）可知：CE=1-（-17）=18，AE=12，設(shè)CD=x，所以AD=CD=x，由勾股定理得x2=（18-x）2+122，解得x=13，所以CD=13。故C、D間的距離為13km。

（作者單位：江蘇省南京市鼓樓實(shí)驗(yàn)中學(xué)）