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    從制作無蓋的長方體紙盒說起

    2022-05-30 10:48:04趙娟
    初中生世界·七年級 2022年11期
    關(guān)鍵詞:代數(shù)式紙盒邊長

    趙娟

    問題1:如圖1,如何用一張正方形的紙片制作一個無蓋的長方體紙盒?

    對于這個問題,我們不妨反過來考慮,把無蓋長方體紙盒攤開,我們能得到什么樣的平面圖形?這時問題就迎刃而解了。我們只需要把正方形紙片的四個角剪掉,而且減掉的部分必須是4個大小相同的小正方形。那么,為什么是4個大小相同的小正方形呢?同學(xué)們可以動手操作一下,可以發(fā)現(xiàn),剪掉的小正方形的邊長是折疊后長方體的高(如圖2)。

    問題2:若正方形紙片的邊長為20cm,剪去的小正方形的邊長為xcm,折成的無蓋的長方體紙盒的容積如何表示?

    要想表示長方體紙盒的容積,我們可以思考,長方體的容積和哪些量有關(guān)系。不難發(fā)現(xiàn),容積和剪掉的四個角(小正方形)的大小有關(guān)系。如果大正方形的邊長為20cm,剪去的小正方形的邊長為xcm(如圖3),那么折成的無蓋長方體紙盒的長和寬均為(20-2x)cm,高為xcm,折成的無蓋長方體紙盒的容積V=x(20-2x)2。

    問題3:當(dāng)小正方形邊長x變化時,所得到的無蓋長方體盒子的容積如何變化?猜一猜,當(dāng)小正方體的邊長取什么值時,所得無蓋長方體盒子的容積最大?

    當(dāng)小正方形邊長變化時,所得到的無蓋長方體盒子的容積如何變化呢?我們試著通過代入具體數(shù)值計(jì)算盒子的容積。當(dāng)剪去的小正方形的邊長x取1、2、3、4、5、6、7、8、9(單位:cm)時,分別求出制成的無蓋長方體紙盒的容積,然后以表格的形式記錄下來(如表1),可以更為直觀地感受變化的過程。

    通過表1,我們發(fā)現(xiàn):隨著小正方形的邊長x的值變大,紙盒的容積V先變大再變小,當(dāng)x在2~4cm之間時,V的值比較大。我們不妨先在3~4cm之間,按0.1cm的間隔取值,然后代入計(jì)算(如表2),同理,在2~3cm之間,也按相同間隔取值、計(jì)算(表略)。

    通過計(jì)算,我們發(fā)現(xiàn):在2~4cm之間,當(dāng)剪去的小正方形的邊長等于3.3cm時,所得到的無蓋長方體盒子的容積最大,此時盒子的容積是592.548cm3。我們可以繼續(xù)在3.2~3.4cm之間,按0.01cm的間隔取值,然后代入計(jì)算。以此類推,可得到小正方形的邊長為3.333333333…時,無蓋長方體形盒子的容積最大。于是猜測,當(dāng)x=[206]=[103]時,V最大。

    問題4:如圖4,如果正方形的邊長為acm,那么做成的無蓋長方體盒子的容積V如何表示?猜測當(dāng)小正方形的邊長x與a有什么關(guān)系時,所得到的無蓋長方體紙盒容積最大?

    有了問題2的思路,我們不難得出,V=x(a-2x)2,改變a的取值,重復(fù)問題3的探索過程,經(jīng)過比較、歸納,猜測當(dāng)x=[16]a時,盒子的容積最大。如果要確定當(dāng)x=[16]a時,V最大的話,還需要嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明,證明方法我們后續(xù)會學(xué)到的。

    制作無蓋的長方體紙盒系列問題,需要綜合應(yīng)用字母表示數(shù)、列代數(shù)式、求代數(shù)式的值以及利用代數(shù)式的值探索代數(shù)式所反映的規(guī)律等知識。同學(xué)們可以通過研究這一現(xiàn)實(shí)的、有趣的、富有挑戰(zhàn)性的課題,體驗(yàn)數(shù)學(xué)來源于生活,又服務(wù)于生活。

    (作者單位:江蘇省南京市旭東中學(xué))

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