從問題生長，培養(yǎng)數(shù)學(xué)分類思想

李文明

分類思想是根據(jù)數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，將數(shù)學(xué)研究對(duì)象分為不同種類的一種數(shù)學(xué)思想。分類以比較為基礎(chǔ)， 比較是分類的前提， 分類是比較的結(jié)果。因此， 在培養(yǎng)分類思想上，應(yīng)當(dāng)突出“比較”二字。那么，如何“比較”呢？筆者認(rèn)為，在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)突出分類討論中分類標(biāo)準(zhǔn)的“差異性”，比如：為什么選擇這個(gè)時(shí)間段為變化后與變化前的界限？動(dòng)態(tài)變化中，為什么找這個(gè)點(diǎn)為轉(zhuǎn)折點(diǎn)？通過練習(xí)將分類標(biāo)準(zhǔn)的尋找變成學(xué)習(xí)的自動(dòng)化過程，多訓(xùn)練幾次，學(xué)生便可以在做中領(lǐng)悟到分類的道理。此外，培養(yǎng)分類思想的關(guān)鍵還在于教會(huì)學(xué)生如何思考問題。

現(xiàn)在的初中數(shù)學(xué)教學(xué)遵從生長數(shù)學(xué)的理念，就是讓學(xué)生主動(dòng)地在已有的知識(shí)體系上建立新知識(shí)的結(jié)構(gòu)體系。俗話說，萬事開頭難。難就難在七年級(jí)的第一次分類討論如何進(jìn)行。在初中階段，學(xué)生第一次用到分類討論是在“絕對(duì)值與相反數(shù)”這一節(jié)，因此，教師要在這一節(jié)進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)與思考，探討分類討論的具體形式以及思路方法，從而初步培養(yǎng)學(xué)生的分類討論思維體系的建構(gòu)。

下面，筆者以蘇科版七（上）“絕對(duì)值與相反數(shù)”復(fù)習(xí)課為例，探討如何從問題生長，培養(yǎng)學(xué)生的分類思想。

一、教學(xué)設(shè)計(jì)

1.問題呈現(xiàn)

例題：在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，我們常用到“分類討論”的數(shù)學(xué)思想。下面是運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想解決問題的過程，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并解答問題。

【提出問題】已知三個(gè)有理數(shù)a、b、c， 滿足abc

>0，求[aa]+[bb]+[cc]的值。

【解決問題】由題意，得a、b、c都為正數(shù)或其中一個(gè)為正數(shù)，另兩個(gè)為負(fù)數(shù)。

①a、b、c都是正數(shù)，即a>0， b>0，c>0時(shí)，[aa]+[bb]+[cc]=[aa]+[bb]+[cc]=1+1+1=3；②當(dāng)a、b、c中有一個(gè)為正數(shù)，另兩個(gè)為負(fù)數(shù)時(shí)，不妨設(shè)a>0，b<0，c<0，則[aa]+[-bb]+[-cc]=1-1-1=-1。

綜上所述，[aa]+[bb]+[cc]值為3或-1。

【探究拓展】請(qǐng)根據(jù)上面的解題思路解答下面的問題：

（1）已知a、b是不為0的有理數(shù)，當(dāng)[ab]=-ab時(shí)，[aa]+[bb]的值是；

（2）已知a、b、c是有理數(shù)，當(dāng)abc<0時(shí)，[aa]+[bb]+[cc]的值為；

（3）已知a、b、c是有理數(shù)，a+b+c=0，abc<0，求[b+ca]+[c+ab]+[a+bc]的值。

2. 問題引導(dǎo)

如果一開始就讓學(xué)生解決問題，學(xué)生會(huì)感到很困難，同時(shí)也說明這是一節(jié)“失敗”的復(fù)習(xí)課。所以，在展示出例題以后，筆者先讓學(xué)生將問題“放一放”，先考慮下面的問題：

（1）[2=]；（2）[-2=]；（3）[22]=；（4）[-2-2]=。

從建構(gòu)主義的角度來說，學(xué)生學(xué)習(xí)的過程就是在腦海中建立一套體系的過程。從分類思想的培養(yǎng)來說，前兩個(gè)問題是引導(dǎo)學(xué)生了解對(duì)于絕對(duì)值里面的數(shù)，不用考慮符號(hào)；后兩道題則是引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比、比較，讓他們發(fā)現(xiàn)雖然兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值一樣，但做除法之后好像又不一樣。這也是由特殊到一般的數(shù)學(xué)方法的滲透。

這時(shí)學(xué)生就會(huì)聯(lián)想到一開始的問題并進(jìn)行思考，但過一會(huì)兒又會(huì)意識(shí)到“好像懂但又解不出來”。這是因?yàn)樗麄儧]有理解“abc[>]0”這個(gè)條件。而這一個(gè)條件之所以“無用武之地”，是因?yàn)榉诸愑懻撍枷脒€沒有滲透到他們的心中，只是有提示了，他們才會(huì)想起來討論。

所以，筆者給出另一組口答形式的問題來提示他們：

（1）2×3 ０；（2）2×（-3） ０；（3）（-2）×3 ０；（4）（-2）×（-3） ０；

這四個(gè)問題可以提示學(xué)生，“ab”大于零還是小于零，和a、b的正負(fù)情況有關(guān)。這時(shí)再次引導(dǎo)學(xué)生回過頭來看例題的第一問該如何思考 。

到這里，學(xué)生就會(huì)知道，[ab]=-ab的意思就是 ab為非正數(shù)，進(jìn)而得到 a、b的符號(hào)是一正一負(fù)，即a、b異號(hào)。引導(dǎo)至此，學(xué)生自然而然建構(gòu)起初步的分類討論的思想：要考慮正負(fù)情況。

此時(shí)，學(xué)生的知識(shí)樹已經(jīng)“生長”出了幾根“枝葉”，第一問就可以讓學(xué)生自主解決。為了加強(qiáng)學(xué)生對(duì)問題的分析解決能力，教師還應(yīng)該滲透數(shù)學(xué)思想方法：“第二問與第一問的區(qū)別與聯(lián)系是什么呢？”（這也是“比較”的一種具體表現(xiàn)形式。）

學(xué)生回答：“多了一個(gè)c?！边@時(shí)教師要進(jìn)一步引導(dǎo)：“第一問的思路可以推廣到第二問嗎？試試看！”這句話是為了滲透“由特殊到一般”的思想方法，也為了讓學(xué)生體會(huì)解答題的一般解題思路：后面的問題一般都和第一問有關(guān)，甚至可以使用類似的思路來解答。在實(shí)際解題中體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法是最直接、最有效的。

對(duì)于第二問，往往是數(shù)學(xué)能力中等偏上的學(xué)生能依靠第一問的提示完成解答。此時(shí)，其他學(xué)生需要的不是具體的解答過程，而是需要教師引導(dǎo)：“三個(gè)數(shù)相乘，什么情況為正？什么情況為負(fù)？”大多數(shù)學(xué)生便知道數(shù)的乘積的正負(fù)與乘數(shù)的正負(fù)情況有關(guān)。要想進(jìn)一步深化分類討論思想，教師還要在后續(xù)的教學(xué)中繼續(xù)引導(dǎo)。

對(duì)于第三問，學(xué)生很難想到先移項(xiàng)，再依靠等號(hào)將b+c轉(zhuǎn)化成-a，a+c轉(zhuǎn)化成-b，a+b轉(zhuǎn)化成-c。一方面，第三問多了一個(gè)條件，學(xué)生無所適從；另一方面，對(duì)等式進(jìn)行移項(xiàng)轉(zhuǎn)化，或等式兩邊同時(shí)加、減同一個(gè)數(shù)的方法，與前兩問的解決方法完全不一樣，并且在小學(xué)也沒有用過。這里，就需要教師進(jìn)一步引導(dǎo)：

（1）1+2+（-3）=；（2）1+（-4）+3=；（3）（-3）+1+2=。

這三問是引導(dǎo)學(xué)生思考、利用“a+b+c=0”這個(gè)條件的，但依然會(huì)有學(xué)生無法理解如何利用。故還需要教師適時(shí)引導(dǎo)：“同學(xué)們看看和為0的三個(gè)數(shù)有什么特征？”學(xué)生是可以看出來絕對(duì)值的關(guān)系對(duì)和的影響的，如果這時(shí)學(xué)生還沒想到相反數(shù)，那么教師可以提示學(xué)生：“前兩問我們對(duì)什么進(jìn)行了討論？”

至此，便是學(xué)生自主思考的時(shí)間，即“在做中學(xué)”。

在本節(jié)課快結(jié)束時(shí)，教師還要帶領(lǐng)學(xué)生再次回顧本節(jié)課的重點(diǎn)，要讓學(xué)生學(xué)會(huì)如何從題目中找到思考的方向。其中，分類討論思想依然需要教師強(qiáng)調(diào)并設(shè)計(jì)針對(duì)性練習(xí)進(jìn)行鞏固。

二、教學(xué)反思

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，提倡“生長數(shù)學(xué)”的建構(gòu)主義方法研究。以一道題為例，要想串聯(lián)起一整套的分類思想方法，重點(diǎn)在于對(duì)例題的解構(gòu)，將例題分成一個(gè)個(gè)小部分，由易到難，逐步推進(jìn)，讓學(xué)生在一個(gè)個(gè)部分中體會(huì)數(shù)學(xué)思想?！霸谧鲋袑W(xué)”是培養(yǎng)學(xué)生分類思想的有效途徑。教師要設(shè)計(jì)一個(gè)個(gè)“階梯式”的小題，提示學(xué)生思考；建立獎(jiǎng)勵(lì)機(jī)制，鼓勵(lì)學(xué)生往正確的方向思考；注重“以小見大”的題目布置，設(shè)計(jì)問題緊湊嚴(yán)密，逐步推進(jìn)，像講故事一樣，將數(shù)學(xué)思想娓娓道來。

本節(jié)課的設(shè)計(jì)，主要圍繞絕對(duì)值的討論進(jìn)行。為什么絕對(duì)值的內(nèi)容會(huì)出現(xiàn)分類討論的問題？是因?yàn)椤敖^對(duì)值”這一映射是單射，這種非一一映射的對(duì)應(yīng)在初中階段不多出現(xiàn)。弄明白分類討論產(chǎn)生的原因，對(duì)問題的講解會(huì)更加接近本質(zhì)，這里不再詳細(xì)敘述。除了絕對(duì)值，平方根的內(nèi)容也會(huì)出現(xiàn)單射，同樣也需要分類討論。那么，要想讓學(xué)生了解、熟悉、理解這樣一種單射，需要這類分類討論的問題長期重復(fù)出現(xiàn)，還需要教師強(qiáng)調(diào)以及注重講解中的思想滲透。

在初中階段，學(xué)生第二次遇到分類討論是在用一元一次方程解決行程問題時(shí)。行程問題是應(yīng)用題里難啃的“硬骨頭”。兩物體相遇以后改變運(yùn)動(dòng)方向的問題，以及環(huán)形跑道的相遇問題，歸根到底，都是對(duì)不同時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行分類討論的問題。對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)改變的時(shí)間節(jié)點(diǎn)進(jìn)行討論，可以和“絕對(duì)值與相反數(shù)”的內(nèi)容進(jìn)行類比思考。行程問題的分類標(biāo)準(zhǔn)是運(yùn)動(dòng)狀態(tài)改變時(shí)的時(shí)間節(jié)點(diǎn)，而絕對(duì)值的分類討論大部分都是對(duì)“正負(fù)”進(jìn)行討論。前者是實(shí)際生活中可以進(jìn)行類比參照的，也是完全可以想象出來的分類討論，而后者更偏于理論上的討論，但是在分類討論的種類分化上，本質(zhì)是一樣的，就是通過“比較”，找到問題中量的性質(zhì)變化的臨界點(diǎn)，進(jìn)行劃分。而這也和戴德金分割的思想一致，即將數(shù)集中的數(shù)進(jìn)行分割，分割的標(biāo)準(zhǔn)就是數(shù)與數(shù)之間的“臨界點(diǎn)”。

再回到教學(xué)中，教師設(shè)計(jì)好教學(xué)問題之后，課堂上還要給足學(xué)生思考的時(shí)間。教師不僅要引導(dǎo)，還要讓他們主動(dòng)跟著教師的思路走，所以，這就要求：題目的問題設(shè)計(jì)難度梯度合理，前后緊湊連貫；教師的威信度高，學(xué)生信服；教師的設(shè)問引導(dǎo)要有誘發(fā)性，學(xué)生愿意去思考。

（作者單位：江蘇省溧水高級(jí)中學(xué)附屬初級(jí)中學(xué)）