傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化在中考試題中的滲透
——各地中考數(shù)學(xué)滲透?jìng)鹘y(tǒng)數(shù)學(xué)文化的試題評(píng)析

李會(huì)芳

（石家莊市新華區(qū)教育局教研室，河北 石家莊 050000）

數(shù)學(xué)文化包含數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)教育，以及數(shù)學(xué)發(fā)展中的人文成分、數(shù)學(xué)與社會(huì)的聯(lián)系、數(shù)學(xué)與各種文化的關(guān)系等，涉及社會(huì)生活的方方面面。所以說(shuō)，數(shù)學(xué)是人類(lèi)文化的重要組成部分，它的產(chǎn)生和發(fā)展在人類(lèi)文明進(jìn)程中起著重要的推動(dòng)作用，是人類(lèi)文明的重要基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中對(duì)數(shù)學(xué)文化作了明確要求，數(shù)學(xué)文化理所當(dāng)然成為教材內(nèi)容的重要組成部分，因此，中考數(shù)學(xué)命題專(zhuān)家都對(duì)命題文化給予了一定程度的重視。近年來(lái)，在全國(guó)各地中考數(shù)學(xué)試卷中，滲透?jìng)鹘y(tǒng)數(shù)學(xué)文化的試題呈逐年上升之勢(shì)，這更加激發(fā)了廣大初中數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)文化的動(dòng)力。石家莊市教育科學(xué)研究“十三五”規(guī)劃教師個(gè)人課題“初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)文化的策略與方法”（課題編號(hào)：G2020077）對(duì)近年來(lái)在全國(guó)各地中考數(shù)學(xué)中滲透?jìng)鹘y(tǒng)數(shù)學(xué)文化的部分試題進(jìn)行了評(píng)析，希望能幫助教師自然、合理地將傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化融入到課堂教學(xué)之中。

一、弘揚(yáng)中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化

中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化是我國(guó)傳統(tǒng)文化的重要組成部分，它們相互依存、互助發(fā)展。中國(guó)古代數(shù)學(xué)成就輝煌，而《周易》不僅是華夏五千年智慧與文化的結(jié)晶，同時(shí)還是中國(guó)古代數(shù)學(xué)發(fā)展的總源頭。中國(guó)數(shù)學(xué)自漢代的《周髀算經(jīng)》《九章算術(shù)》起開(kāi)始形成體系，魏晉期間偉大的數(shù)學(xué)家、中國(guó)古典數(shù)學(xué)理論奠基人之一劉徽的杰作《九章算術(shù)注》和《海島算經(jīng)》都是中國(guó)最寶貴的數(shù)學(xué)遺產(chǎn)；南北朝時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家祖沖之，對(duì)數(shù)學(xué)的研究有著重大貢獻(xiàn)，首次將圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后的第七位；宋元期間，中國(guó)古代數(shù)學(xué)達(dá)到了高峰，秦九韶、李冶、楊輝、朱世杰四大數(shù)學(xué)家，是宋元數(shù)學(xué)的杰出代表，他們的數(shù)學(xué)著作《數(shù)書(shū)九章》《測(cè)圓海鏡》《詳解九章算法》《算學(xué)啟蒙》和《四元玉鑒》流傳至今，他們?cè)诙潭處资昀锼鶆?chuàng)造出的驕人成就，在千百年間曾一度居于世界數(shù)學(xué)發(fā)展的前列，為中華文明及世界文明的發(fā)展作出了巨大貢獻(xiàn)。

例1.（2021·湖南張家界）如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來(lái)自中國(guó)古代的太極圖，正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱(chēng)，設(shè)正方形ABCD 的面積為S，黑色部分面積為S1，則S1∶S 的比值為（）

點(diǎn)評(píng)：本題背景太極圖出自我國(guó)古代五經(jīng)之首、大道之源的典籍《易經(jīng)》。太極圖是中國(guó)古代先民概括陰陽(yáng)易理，探討宇宙、人生變化發(fā)展規(guī)律的圖式，它對(duì)中華民族的思維方式、思想文化觀(guān)念和人文性格均有較大的影響。本題將太極圖置于正方形內(nèi)，依據(jù)太極圖是中心對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)，將無(wú)法直接求出黑色部分圖形的面積轉(zhuǎn)化為求圓的面積，再根據(jù)正方形內(nèi)切圓的性質(zhì)及其相關(guān)知識(shí)，獲得正方形邊長(zhǎng)與太極圖直徑相等，并通過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算求得結(jié)果。本題中的太極圖所蘊(yùn)含的對(duì)立統(tǒng)一、互相轉(zhuǎn)化的哲學(xué)原理，同樣是解決本題的關(guān)鍵。

答案：A。

例2.（2021·福建）“田忌賽馬”的故事閃爍著我國(guó)古代先賢的智慧光芒。該故事的大意是：齊王有上、中、下三匹馬A1、B1、C1，田忌也有上、中、下三匹馬A2、B2、C2，且這六匹馬在比賽中的勝負(fù)可用不等式表示如下A1＞A2＞B1＞B2＞C1＞C2：（注：A ＞B 表示A 馬與B 馬比賽，A 馬獲勝）。一天，齊王找田忌賽馬，約定：每匹馬都出場(chǎng)比賽一局，共賽三局，勝兩局者獲得整場(chǎng)比賽的勝利。面對(duì)劣勢(shì)，田忌事先了解到齊王三局比賽的“出馬”順序?yàn)樯像R、中馬、下馬，并采用孫臏的策略：分別用下馬、上馬、中馬與齊王的上馬、中馬、下馬比賽，即借助對(duì)陣（C2A1、A2B1、B2C1）獲得了整場(chǎng)比賽的勝利，創(chuàng)造了以弱勝?gòu)?qiáng)的經(jīng)典案例。

假設(shè)齊王事先不打探田忌的“出馬”情況，試回答以下問(wèn)題：

（1）如果田忌事先只打探到齊王首局將出“上馬”，他首局應(yīng)出哪種馬才可能獲得整場(chǎng)比賽的勝利？并求其獲勝的概率；

（2）如果田忌事先無(wú)法打探到齊王各局的“出馬”情況，他是否必?cái)o(wú)疑？若是，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不是，請(qǐng)列出田忌獲得整場(chǎng)比賽勝利的所有對(duì)陣情況，并求其獲勝的概率。

點(diǎn)評(píng)：本題背景“田忌賽馬”，出自我國(guó)西漢史學(xué)家司馬遷所撰寫(xiě)的《史記》，這篇文章不僅閃爍著我國(guó)古代先賢智慧的光芒，還起到激發(fā)學(xué)生興趣，提高探究欲望，增強(qiáng)學(xué)習(xí)自信心的作用。本題通過(guò)重構(gòu)題干，將馬匹及強(qiáng)弱關(guān)系符號(hào)化，并在“三個(gè)假設(shè)”的前提下，創(chuàng)造性提出兩個(gè)新問(wèn)題。需要學(xué)生在類(lèi)比、猜想、枚舉、操作、探究、計(jì)算、論證等過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)、提出問(wèn)題，分析、解決問(wèn)題。因此，本題在深入考查概率概念的同時(shí)，較好體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)模型、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

答案：（1）田忌首局應(yīng)出“下馬”才可能在整場(chǎng)比賽中獲勝，；（2）不是，（田忌獲勝的所有對(duì)陣情況略）勝率為。

說(shuō)明：本題所提出的問(wèn)題，跳出了大多數(shù)中考數(shù)學(xué)試題對(duì)中國(guó)傳統(tǒng)文化考查的命題模式，（呈現(xiàn)經(jīng)典名題，給出白話(huà)翻譯，再讓學(xué)生解答的形式）較好體現(xiàn)了學(xué)科育人目標(biāo)，有利于引領(lǐng)教師深入挖掘經(jīng)典名題的數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵，真正讓數(shù)學(xué)文化走進(jìn)課堂。

二、了解世界優(yōu)秀數(shù)學(xué)文化

中國(guó)、埃及、古巴比倫和印度，并稱(chēng)為四大文明古國(guó)，都是世界現(xiàn)代文明的起源地。各國(guó)的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化同樣推動(dòng)著社會(huì)的發(fā)展和進(jìn)步。埃及文化可追溯到公元前4000 年。公元前2900 年，開(kāi)始建筑金字塔時(shí)，就已經(jīng)具備一些初等幾何知識(shí)。古巴比倫文化可以上溯到公元前2000 年左右的蘇美爾文化，這一時(shí)期，人們基于對(duì)量的認(rèn)識(shí)，建立了數(shù)的概念。從大約公元前1800 年開(kāi)始，古巴比倫已經(jīng)使用較為系統(tǒng)的60 進(jìn)位制數(shù)系。自公元前8 世紀(jì)起，印度在關(guān)于祭壇與寺廟的建造中，就用到了勾股定理、矩形對(duì)角線(xiàn)的性質(zhì)、相似直線(xiàn)形的一些性質(zhì)，以及一些作圖法等，用符號(hào)“0”表示零，也是印度的一大發(fā)明。另外，古希臘的數(shù)學(xué)文化曾取得輝煌成就，如公元前3 世紀(jì)左右，歐幾里得的不朽著作《幾何原本》，把前人的數(shù)學(xué)成果用公理化方法加以系統(tǒng)整理和總結(jié)，為古希臘科學(xué)和后世西方學(xué)術(shù)的發(fā)展起到了重要的示范作用；公元前5 世紀(jì)左右，畢達(dá)哥拉斯最著名的成就是對(duì)勾股定理（西方稱(chēng)畢達(dá)哥拉斯定理）的證明和無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，他把證明引入了數(shù)學(xué)，還提出了“抽象”，從而引發(fā)了幾何的思辨，從實(shí)物的數(shù)與形，抽象到數(shù)學(xué)上的數(shù)與形，把數(shù)學(xué)推向了科學(xué)。古希臘所創(chuàng)立的文明與文化，對(duì)西方文明乃至世界文明的發(fā)展都起到了重要作用。

例3.（2020·江西）公元前2000 年左右，古巴比倫人使用的楔形文字中有兩個(gè)符號(hào)（如圖所示），一個(gè)釘頭形代表1，一個(gè)尖頭形代表10，在古巴比倫的記數(shù)系統(tǒng)中，人們使用的標(biāo)記方法和我們當(dāng)今使用的方法相同，最右邊的數(shù)字代表個(gè)位，然后是十位、百位，根據(jù)符號(hào)記數(shù)的方法，右下面符號(hào)表示一個(gè)兩位數(shù)，則這個(gè)兩位數(shù)是___________.

點(diǎn)評(píng)：古巴比倫時(shí)代的科學(xué)以數(shù)學(xué)和天文最為發(fā)達(dá)，計(jì)數(shù)法采用六十進(jìn)位和十進(jìn)位法。六十進(jìn)位法應(yīng)用于計(jì)算周天的度數(shù)和計(jì)時(shí)，至今為全世界所沿襲。正如題干所言，古巴比倫人用他們所發(fā)明的楔形文字，不僅表達(dá)語(yǔ)言，還表示數(shù)字，本題就是用楔形文字表示十進(jìn)位制數(shù)25 的一個(gè)例子，較好反映了對(duì)計(jì)數(shù)法本質(zhì)的理解，以及符號(hào)意識(shí)的滲透，同時(shí)，還體現(xiàn)了古巴比倫的先進(jìn)文明，有利于開(kāi)闊學(xué)生的眼界和思路。

例4.（2021·甘肅武威）在《阿基米德全集》中的《引理集》中記錄了古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德提出的有關(guān)圓的一個(gè)引理.如圖，已知，C 是AB弦上一點(diǎn)，請(qǐng)你根據(jù)以下步驟完成這個(gè)引理的作圖過(guò)程.

（1）尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）：

（2）直接寫(xiě)出引理的結(jié)論：線(xiàn)段BC、BF 的數(shù)量關(guān)系.

點(diǎn)評(píng)：古希臘著名數(shù)學(xué)家阿基米德，在諸多科學(xué)領(lǐng)域都作出了突出貢獻(xiàn)，他給出了“阿基米德公理”，使與極限相關(guān)命題證明的“窮竭法”更加嚴(yán)密，求得了拋物線(xiàn)弓形、螺線(xiàn)、圓形的面積和體積以及橢球體、拋物面體等復(fù)雜幾何體的體積，同時(shí)在三次方程和算術(shù)方面都有貢獻(xiàn)。阿基米德的著作是數(shù)學(xué)闡述的典范，寫(xiě)得完整、簡(jiǎn)練，顯示出巨大的創(chuàng)造性。本題以《阿基米德全集》中的《引理集》命題3 為背景，將命題中的部分條件以尺規(guī)作圖的要求呈現(xiàn)，同時(shí)將命題的結(jié)論轉(zhuǎn)化為猜想結(jié)果，較好考查了學(xué)生獨(dú)立思考、操作探究、猜想驗(yàn)證的能力，并綜合考查了圖形與幾何眾多知識(shí)點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)了深入挖掘經(jīng)典名題文化內(nèi)涵的目的，體現(xiàn)了用數(shù)學(xué)的思維思考并解決問(wèn)題的能力，凸顯了理性精神。

三、中外優(yōu)秀傳統(tǒng)文化交融共存

歷史的進(jìn)步、人類(lèi)的文明都是相互促進(jìn)多元發(fā)展的，數(shù)學(xué)文化也是人類(lèi)文明的重要組成部分。中外歷代數(shù)學(xué)家，對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算的研究，大都以算法為基礎(chǔ)，而中國(guó)的《九章算術(shù)》就是算法的代表之作；對(duì)邏輯推理的研究，大都以公理化體系為基礎(chǔ)，而希臘歐幾里得的《幾何原本》就是用邏輯的鏈子，由此及彼地展開(kāi)全部幾何學(xué)。每個(gè)國(guó)家、每個(gè)民族也都有自己的數(shù)學(xué)文化，它們共同促進(jìn)世界數(shù)學(xué)文化的發(fā)展和繁榮。了解中外數(shù)學(xué)文化，可以開(kāi)闊視野，增強(qiáng)信心，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情。

例5.（2021·陜西）幻方，最早源于我國(guó)，古人稱(chēng)之為縱橫圖.如圖所示的幻方中，各行、各列及各條對(duì)角線(xiàn)上的三個(gè)數(shù)字之和均相等，則圖中a的值為_(kāi)_________.

點(diǎn)評(píng)：幻方在我國(guó)古代稱(chēng)為九宮圖、縱橫圖。最早在周代《尚書(shū)》文獻(xiàn)中有洛書(shū)的記載，將洛書(shū)中龜背上的點(diǎn)用數(shù)字表示出來(lái)，得到九宮圖，即現(xiàn)在的三階幻方。十三世紀(jì)，中國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝，在他的著作《續(xù)古摘奇算法》卷一中有了“縱橫圖”之名，其中給出了三至十階幻方及其變體共十三種，這是世界上對(duì)幻方系統(tǒng)研究的最早記載。歐洲十四世紀(jì)也開(kāi)始了這方面的工作，著名數(shù)學(xué)家費(fèi)爾瑪、歐拉都進(jìn)行過(guò)幻方研究，如今，幻方仍然是組合數(shù)學(xué)的研究課題之一?；梅脚c它的變體所蘊(yùn)含的各種神奇的科學(xué)性質(zhì)正逐步得到揭示。本題以奇妙的幻方問(wèn)題激發(fā)學(xué)生興趣，較好考查了學(xué)生依據(jù)幻方的意義，正確提取表中數(shù)據(jù)，布列方程并求解的能力。本題對(duì)數(shù)據(jù)觀(guān)念和模型思想有明顯體現(xiàn)，并具有較好的可拓展性。

答案：-2。

例6.（2021·廣東）我國(guó)南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，此公式與古希臘幾何學(xué)家海倫提出的公式如出一轍，即三角形的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，記，則其面積.這個(gè)公式也被稱(chēng)為海倫—秦九韶公式.若p=5，c=4，則此三角形面積的最大值為（）

點(diǎn)評(píng)：海倫—秦九韶公式是由古希臘的幾何學(xué)家海倫和中國(guó)宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶，在不同年代獨(dú)立發(fā)現(xiàn)，分別出現(xiàn)在海倫的著作《度量》和秦九韶所著的《數(shù)書(shū)九章》中。雖然兩人給出的公式在形式上有所不同，但實(shí)質(zhì)是一樣的。題目直接體現(xiàn)了中外傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化的精髓。本題沒(méi)有采用直接代入數(shù)值求面積的設(shè)問(wèn)方式，而是以此公式為載體，靈活考查學(xué)生運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)確定其最大值的能力，在滲透?jìng)鹘y(tǒng)數(shù)學(xué)文化的同時(shí)，加大對(duì)理性思維的考查力度。

答案：C。

在中考試題中滲透?jìng)鹘y(tǒng)數(shù)學(xué)文化，“可以適當(dāng)引導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，使得更多的教師關(guān)注數(shù)學(xué)文化，研究數(shù)學(xué)文化，將數(shù)學(xué)的本質(zhì)教授給學(xué)生。學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)文化的熏陶，可以促進(jìn)健全人格的養(yǎng)成?！痹谥锌荚囶}中滲透?jìng)鹘y(tǒng)數(shù)學(xué)文化，特別是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化，可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，樹(shù)立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，感受中外數(shù)學(xué)家治學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)，欣賞數(shù)學(xué)的優(yōu)美，潛移默化地提升學(xué)生的愛(ài)國(guó)情懷和民族自豪感，有效促進(jìn)立德樹(shù)人目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)。