MFC致動器的動態(tài)遲滯模型辨識及補償控制

盧榮華， 陳特歡,2， 婁軍強,2， 崔玉國

(1. 寧波大學(xué) 機械工程與力學(xué)學(xué)院，浙江 寧波 315211；2. 浙江大學(xué) 工業(yè)控制技術(shù)國家重點實驗室，杭州 310027)

壓電柔性結(jié)構(gòu)具有質(zhì)量輕，能耗低，可操縱性強等優(yōu)點，已被廣泛應(yīng)用于航天探索，精密工程，柔性機器人等領(lǐng)域。但是，由于其固有的低阻尼比和較大的柔韌性[1]，它們不可避免出現(xiàn)明顯的持續(xù)振動，這會降低系統(tǒng)的定位精度和運行效率。因此，使用致動器柔性結(jié)構(gòu)進行主動振動控制越來越受到人們的關(guān)注[2-3]。尤其在壓電致動器的輸入與輸出之間存在遲滯效應(yīng)，且不同壓電致動器對不同頻率的輸入信號，其遲滯也不盡相同，對壓電柔性結(jié)構(gòu)精確控制，遲滯效應(yīng)是必須考慮的主要因素。為了克服壓電陶瓷的脆性，美國宇航局(NASA)發(fā)明了新型的基于纖維的壓電復(fù)合材料(marco fiber composite,MFC)。MFC顯示出優(yōu)異的性能，如薄層壓板，大驅(qū)動力和高可靠性[4-5]。Wu等[6]將MFC致動器應(yīng)用到復(fù)合梁上，研究并獲得其在空氣中的靜態(tài)與動態(tài)特性。

如今使用MFC致動器進行主動振動和變形控制受到廣泛的關(guān)注。由于逆壓電效應(yīng)，壓電陶瓷在電壓輸入下會產(chǎn)生變形。但是，其固有的遲滯和蠕變行為會降低驅(qū)動和定位精度[7]。此外，顯著的遲滯效應(yīng)甚至導(dǎo)致壓電致動系統(tǒng)出現(xiàn)不穩(wěn)定性問題。遲滯效應(yīng)在驅(qū)動電壓和響應(yīng)位移之間呈現(xiàn)出環(huán)狀非線性關(guān)系，壓電致動器的遲滯問題亟需解決。目前描述遲滯的模型有很多，如基于物理現(xiàn)象，有Preisach(P)模型[8]，PI(Prandtl-Ishlinskii)模型[9-10],Bouc-Wen模型[11],Duhem模型[12],Maxwell遲滯模型[13]。另外通過對模型優(yōu)化，提出了一些改進模型，如基于PI模型進行改進的MPI(modified Prandtl-Ishlinskii)模型[14]，基于傳統(tǒng)Bouc-Wen模型引入形狀控制函數(shù)進行優(yōu)化，建立改進的Bouc-Wen模型[15]。在這些遲滯模型中，PI遲滯模型是目前應(yīng)用最廣泛的唯象模型，因為其實現(xiàn)過程相對簡單，并且可以輕松獲得其逆模型。指交叉電極技術(shù)允許MFC致動器在d33模式下工作。由于壓電常數(shù)d33模式大約是d31模式的2～3倍，因此在d33模式下MFC致動器具更高的致動能力；另一方面，較大的致動力相應(yīng)地需要較高的驅(qū)動電壓。MFC致動器通常以很高的驅(qū)動電壓驅(qū)動，甚至最高可達+1 500 V，從而產(chǎn)生強大的非線性動態(tài)響應(yīng)。MFC致動器的復(fù)雜結(jié)構(gòu)加劇了遲滯非線性，同時其遲滯具有明顯的不對稱性,故必須考慮MFC驅(qū)動的柔性臂的偏置雙極性遲滯非線性，從而改善壓電柔性臂的定位和操作精度。

大部分的遲滯模型均是靜態(tài)的且輸入頻率低，無法滿足高頻率輸入，也無法描述壓電柔性結(jié)構(gòu)的動態(tài)特性。如，Adly等[16]建立的廣義PI模型，精確描述遲滯非線性，同時利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進行識別，模型局限于非線性需要一致性。Kuhnen[17]將遲滯算子與非對稱遲滯環(huán)串行組合到經(jīng)典PI遲滯模型中，建立一種改進型PI遲滯模型來描述非對稱遲滯特性，但沒有考慮輸入頻率對遲滯特性的影響。Wang等[18]提出一種MPI遲滯模型，采用耦合算子描述不對稱遲滯特性，其仍是個準(zhǔn)靜態(tài)遲滯模型。相比動態(tài)遲滯模型，對不同頻率遲滯適用性有限，且適用頻率離壓電致動器的固有頻率較遠。在動態(tài)特性方面，王鈺鋒等[19]基于Hammerstein模型，以MPI遲滯模型描述壓電柔性臂的靜態(tài)遲滯部分，以外因輸入自回歸模型描述壓電致動器的遲滯線性動態(tài)部分，準(zhǔn)確描述壓電致動器的遲滯率相關(guān)。同時復(fù)雜控制器的引入，彌補逆補償誤差的問題，但易出現(xiàn)系統(tǒng)魯棒性下降的可能性。Liu等[20]利用離散傳遞函數(shù)模型良好描述電力系統(tǒng)的動態(tài)特性，且系統(tǒng)是多輸入多輸出的。王一凡等[21]利用單輸入單輸出傳遞函數(shù)模型研究研究風(fēng)電功率波動變化與換流站的動態(tài)關(guān)系。Liu等和王一凡等以傳遞函數(shù)模型進行系統(tǒng)的動態(tài)特性研究，為本文研究壓電柔性臂遲滯的動態(tài)特性提供了一些思路。為了提高MFC致動器對不同頻率輸入的適用性，準(zhǔn)確描述系統(tǒng)遲滯的動態(tài)特性?；贖ammerstein模型，建立具有雙極性非對稱的改進PI遲滯模型，同時建立系統(tǒng)的離散傳遞函數(shù)模型，串聯(lián)組成一個組合模型。并設(shè)計相應(yīng)的補償控制方法，即前饋補償控制。

本文搭建MFC致動的柔性臂構(gòu)件試驗系統(tǒng)，測試得到了柔性臂構(gòu)件的末端變形位移與MFC致動器驅(qū)動電壓之間的雙極性非對稱遲滯特性?；诮?jīng)典PI模型，通過疊加一系列不同權(quán)重、不同閾值的雙邊死區(qū)算子，建立描述MFC致動器的雙極性非對稱性遲滯特性的改進PI遲滯模型，提高其遲滯模型非對稱的逼近能力。在描述系統(tǒng)動態(tài)特性方面，采用離散傳遞函數(shù)模型描述系統(tǒng)線性動態(tài)特性，并與準(zhǔn)靜態(tài)改進PI遲滯模型串聯(lián)組成組合模型，即壓電柔性臂系統(tǒng)。最后，通過最小二乘法辨識得到改進PI遲滯正、逆模型，離散傳遞函數(shù)模型的特征參數(shù)，并對所提出的組合模型進行試驗，結(jié)果表明其有效性。

1 MFC致動的柔性臂構(gòu)件系統(tǒng)搭建

MFC結(jié)構(gòu)組成示意如圖1所示。MFC結(jié)構(gòu)中環(huán)氧樹脂的加入提升了整個復(fù)合結(jié)構(gòu)的柔韌性、可靠性和變形能力，而指交叉電極的排布方式大幅提高了壓電材料的應(yīng)變致動效率。對比傳統(tǒng)的壓電陶瓷片而言，MFC的變形和驅(qū)動能力顯著增強。因此，MFC致動器是柔性結(jié)構(gòu)主動變形、驅(qū)動控制及振動抑制的理想元件。

圖1 MFC結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Structure diagram of the MFC laminate

為了測試MFC致動器的致動性能，搭建MFC壓電柔性臂構(gòu)件試驗系統(tǒng)，其實物圖如圖2所示。采用環(huán)氧樹脂膠水3M-DP60將兩片MFC致動器(型號M2814-P1，工作模式d33)對稱地粘貼在鋁基柔性臂構(gòu)件根部的左右表面。柔性臂構(gòu)件及MFC基本參數(shù)如表1所示。測試過程中，PC機通過USB總線將MFC致動器的驅(qū)動電壓信號傳輸?shù)蕉嗖矍度險SB CompactDAQ機箱(NI,cDAQ-9178)，然后經(jīng)D/A模塊(NI-AO9263)轉(zhuǎn)換為模擬電壓信號，該電壓信號經(jīng)高壓放大器(Trek PZD700A，放大倍數(shù)200倍)放大后施加到MFC壓電柔性臂上，MFC致動器在壓電材料逆壓電效應(yīng)下實現(xiàn)柔性臂變形位移的精密驅(qū)動。水平安裝在柔性臂構(gòu)件末端的激光位移傳感器(Keyence,LK-G80,分辨率0.15 μm)實時檢測構(gòu)件的變形位移，傳感器檢測位移經(jīng)控制器調(diào)理為模擬電壓信號，然后傳輸?shù)角度朐跈C箱中的D/A模塊(NI-AI9205)，最后經(jīng)機箱和USB總線傳輸?shù)絇C機中。整個測試系統(tǒng)基于LabVIEW平臺完成。

圖2 試驗裝置實物圖Fig.2 Photograph the experimental setup

表1 柔性臂構(gòu)件及MFC致動器參數(shù)表Tab.1 Parameters of the beam and MFC actuator

MFC致動器的工作電壓范圍為-500～+1 500 V，故測試過程中選取電壓峰峰值(voltage peak-to-peak，Vpp)分別為400 V、600 V及800 V，頻率為0.1 Hz的正弦波驅(qū)動電壓信號施加到MFC致動器上，得到柔性臂構(gòu)件的末端變形位移與驅(qū)動電壓之間的關(guān)系如圖3(a)所示;不同頻率在相同的輸入電壓下，壓電柔性臂遲滯呈現(xiàn)遲滯的率相關(guān)，如圖3(b)所示。試驗結(jié)果表明：MFC致動器的驅(qū)動電壓和柔性臂構(gòu)件變形位移之間存在著嚴(yán)重的遲滯現(xiàn)象，不同激勵電壓下得到遲滯環(huán)的初載曲線基本重合。隨著激勵電壓幅值的增大，遲滯現(xiàn)象愈加明顯。在峰峰值電壓800 V的正弦激勵下，柔性構(gòu)件位移的最大遲滯誤差達50.6%。值得注意的是，在MFC致動器的雙極性驅(qū)動電壓作用下，柔性臂構(gòu)件的正、負向變形位移存在著明顯的偏置現(xiàn)象，且偏置隨著驅(qū)動電壓幅值增大而變大。在±400 V無偏置電壓驅(qū)動下，柔性梁構(gòu)件正、負向位移之間的偏置誤差達24.4%。

圖3 MFC致動器的遲滯特性曲線Fig.3 Hysteresis loops of the MFC actuators

壓電柔性臂的遲滯隨著驅(qū)動電壓頻率增加也愈發(fā)明顯，即呈現(xiàn)遲滯率相關(guān)性。此時準(zhǔn)靜態(tài)遲滯模型已無法良好描述不同頻率的驅(qū)動電壓在壓電柔性臂的遲滯非線性特性,其顯著影響了柔性構(gòu)件的定位、操控。因此，迫切需要對MFC致動器的柔性臂的非對稱遲滯特性及動態(tài)特性進行深入研究，對壓電柔性臂模型進行辨識，并提出可靠的補償控制方法來改善其驅(qū)動精度。

2 壓電柔性臂的系統(tǒng)模型

對于壓電柔性臂構(gòu)件，其輸入電壓頻率較低時(小于1 Hz)，可以由準(zhǔn)靜態(tài)遲滯模型進行表示。故當(dāng)輸入驅(qū)動電壓頻率較大時，此時用單純的準(zhǔn)靜態(tài)遲滯模型已無法準(zhǔn)確描述系統(tǒng)的遲滯非線性特性，需要建立一個動態(tài)的遲滯模型來描述?；贖ammerstein模型的思想，提出一個組合模型描述系統(tǒng)的動態(tài)遲滯特性。該壓電柔性臂的系統(tǒng)動態(tài)遲滯模型有兩個部分，改進PI遲滯模型表示靜態(tài)遲滯非線性部分；離散傳遞函數(shù)模型表示線性動態(tài)部分，如圖4所示。

圖4 試驗對象系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖Fig.4 Block diagram of the experimental object system

圖4中：yc(t)為中間變量；u(t)和y0(t)分別為壓電柔性臂的輸入與輸出。

2.1 改進PI遲滯模型

PI模型是目前應(yīng)用最廣泛的唯象遲滯模型之一，其表達式簡單，求逆簡便，易于實現(xiàn)。Play算子的數(shù)學(xué)解析式為

(1)

式中:l(t)為致動器的輸入電壓；yr(t)為其響應(yīng)移；c代表常數(shù)；r及wr分別為Play算子的閾值和權(quán)重。

PI遲滯模型僅能描述壓電柔性臂的對稱遲滯特性。為描述壓電柔性臂的雙極性非對稱遲滯特性，基于經(jīng)典PI遲滯模型，串聯(lián)一系列無記憶、非對稱特性的死區(qū)算子。雙邊死區(qū)算子輸入和輸出之間的關(guān)系，如圖5所示。

圖5 死區(qū)算子的輸入輸出關(guān)系Fig.5 Input-output relationship of the dead-zone operator

雙邊死區(qū)算子的表達式為

(2)

式中，x(t)和Gs[x(t),s]分別為死區(qū)算子的輸入和死區(qū)算子的輸出,s為死區(qū)算子閾值,Gs=[G-m,G-m+1,…,G0,G1,…Gm]T為死區(qū)算子向量。將不同權(quán)重、不同閾值的死區(qū)算子進行疊加可得到G[x](t)

(3)

-∞

綜合上述，改進PI遲滯模型與經(jīng)典PI遲滯模型的區(qū)別有：引入了死區(qū)算子及死區(qū)算子相關(guān)的權(quán)重、閾值；模型求逆時，出現(xiàn)死區(qū)逆算子的逆權(quán)重、逆閾值；動態(tài)遲滯模型是個組合模型，改進PI遲滯模型是準(zhǔn)靜態(tài)遲滯部分，另外引入離散傳遞函數(shù)模型描述動態(tài)遲滯特性部分。將Play算子與另一系列不同權(quán)重、不同閾值的雙邊死區(qū)算子進行串聯(lián)，即可得到描述MFC壓電柔性臂的遲滯現(xiàn)象的雙極性非對稱改進PI遲滯模型

(4)

壓電致動器的固有特性，輸入-輸出關(guān)系必須保持強單調(diào)性，故對死區(qū)算子權(quán)重施加線性不等式約束來保證這一特性，如式(5)所示

Us·ws-us≤0

(5)

式中，us及Us矩陣如下

us=[-ε… -ε… -ε]T

式中，ε為無窮小量。

2.2 離散傳遞函數(shù)模型

柔性臂和MFC致動器的參數(shù)如表1所示。描述壓電柔性臂動態(tài)特性，需建立系統(tǒng)的動力學(xué)動態(tài)數(shù)學(xué)模型；同時建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型也是辨識的前提。純改進PI遲滯模型，在描述遲滯的非對稱性有明顯改善，如圖6所示。通過引入離散傳遞函數(shù)模型與改進PI遲滯模型串聯(lián)成組合模型，能更好的描述遲滯動態(tài)特性。為研究方便，將柔性臂模型視作歐拉-伯努利梁模型，則離散傳遞函數(shù)模型使用多項式的比率描述系統(tǒng)的輸入和輸出之間的動態(tài)關(guān)系，其表達式為

(6)

式中，na和nb均為正整數(shù)。

采用最小二乘法對離散傳遞函數(shù)模型進行辨識?；谙到y(tǒng)的輸入和輸出數(shù)據(jù)(見圖4)，得到如下最小二乘形式，即

yo(k)=φT(k)θ

(7)

式中:φ(k)為數(shù)據(jù)向量，包括系統(tǒng)的輸出和中間變量;θ為待估參數(shù)向量，具體表示為

(8)

基于系統(tǒng)采到的M組數(shù)據(jù)，利用最小二乘法得到其參數(shù)向量的估計θ*為

θ*=(φTφ)-1φTY

(9)

式中:Y=[yo(1),yo(1),…,yo(M)]T;φ=[φT(1),φT(2), …,φT(M)]T。

由系統(tǒng)參數(shù)向量的估計為θ*，那么對應(yīng)k時刻的估計輸出為

(10)

將系統(tǒng)實際輸出和估計輸出之間的殘差表示為

(11)

對系統(tǒng)采到的M組數(shù)據(jù)，其殘差的平方和也就是性能指標(biāo)，可以表示為

(12)

式中，e=[ε(1),ε(2),…,ε(M)]T。系統(tǒng)參數(shù)的最小二乘估計值就是對性能指標(biāo)J求θ*向量的導(dǎo)數(shù)，并令其為0，從而計算得到參數(shù)使得J達到極小值。

3 模型的試驗辨識

3.1 改進PI遲滯模型的辨識

為了辨識改進PI遲滯模型的參數(shù)，并求得死區(qū)算子的逆G-1[y(t)](t)

(13)

(14)

由式(2)中雙邊死區(qū)算子Gs[x(t),s]的輸出與閾值正、負有關(guān)，故G[x](t)與G-1[y(t)](t)權(quán)重的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

根據(jù)試驗所測得的MFC驅(qū)動電壓與柔性臂構(gòu)件位移之間的雙極性非對稱遲滯曲線，采用等分閾值的方式確定Play算子閾值ri和死區(qū)算子逆G-1[y(t)](t)閾值s′j為

(16)

式中,V為系統(tǒng)輸入向量，即輸入電壓向量。

(17)

E[x,y](t)=

表2 Play算子與其逆算子參數(shù)表Tab.2 Parameters of the Play operators and their inverse operators

表3 Play雙邊死區(qū)算子與其逆算子參數(shù)表Tab.3 Parameters of the double-sides dead zone operators and their inverse operators

從PI遲滯模型、改進PI遲滯模型與實測遲滯曲線擬合情況進行對比，如圖6所示。Play算子對稱平行四邊形結(jié)構(gòu)決定經(jīng)典PI遲滯模型的輸出正、負向位移也是對稱的，故導(dǎo)致其無法很好地逼近遲滯曲線的正、負偏置位移，存在較大的偏差，最大偏差達214.5 μm，其擬合誤差達到16.06%；而本文提出的改進PI遲滯模型是基于經(jīng)典PI遲滯模型，引入不同權(quán)重、不同閾值的雙邊死區(qū)算子進行疊加，模型對比經(jīng)典PI遲滯模型在非對稱遲滯的逼近性能得到提升，其擬合的最大誤差為74.5 μm，擬合度誤差下降到5.58%。兩種建模對比，改進PI遲滯模型更好的描述壓電柔性臂的非對稱遲滯非線性特性。

圖6 PI遲滯模型與改進PI遲滯模型建模對比Fig.6 Modeling comparison between PI hysteresis model and improved PI hysteresis model

3.2 離散傳遞函數(shù)模型的辨識

在辨識過程中，由于壓電柔性臂的一階振動模態(tài)在其振動中起主導(dǎo)作用，故對其振動進行一個截斷處理，僅對振動的一階振動模態(tài)進行辨識。

試驗辨識采用幅值為±2 V，頻率范圍為10～30 Hz的正弦掃頻電壓信號，通過Labview測控平臺驅(qū)動MFC壓電柔性臂激起柔性臂的一階振動，并使用激光位移傳感器測量柔性臂末端的響應(yīng)位移，整個掃頻過程持續(xù)時間為20 s，采樣頻率為1 000 Hz。以改進PI模型的擬合位移(中間變量yc(t))作為輸入，實測掃頻響應(yīng)位移作為輸出，此時具有有限個數(shù)據(jù)點，對這些數(shù)據(jù)進行最小二乘法的擬合。由擬合結(jié)果，即可得到離散傳遞函數(shù)模型G(z)，其掃頻試驗辨識結(jié)果如圖7所示。試驗結(jié)果表明，除了在壓電柔性臂的固有頻率附近擬合稍顯不足，其余位置擬合度均較好。

從掃頻辨識試驗結(jié)果可得，離散傳遞函數(shù)模型與系統(tǒng)試驗數(shù)據(jù)高度吻合，其擬合度可達95.39%，充分體現(xiàn)了離散傳遞函數(shù)模型對于壓電柔性臂的適用性。一般情況下，在一定范圍內(nèi)隨著模型階次的增加，模型與曲線的擬合程度也會得到提高。另外，隨著模型階次的增加，模型參數(shù)辨識的計算量、系統(tǒng)復(fù)雜度也會增加，并有可能降低離散傳遞函數(shù)模型的魯棒性。辨識過程中，對幾組不同模型階次的輸入與輸出擬合度進行對比分析，最終采用二階離散傳遞函數(shù)模型已經(jīng)可以滿足使用要求，同時采用離散傳遞函數(shù)模型能克服數(shù)據(jù)隱藏缺陷，使模型更加穩(wěn)定。基于最小二乘法所辨識得到的離散傳遞函數(shù)模型G(z)為：G(z)=(629z-1-628z-2)/(1-0.241 9z-1-0.735 5z-2)。

圖7 掃頻試驗辨識結(jié)果Fig.7 Sweep frequency experiment identification result

4 前饋補償控制試驗

利用建立的改進PI遲滯模型與離散傳遞函數(shù)模型計算得到MFC壓電致動器的補償控制輸入，本質(zhì)上就是對改進PI遲滯模型與離散傳遞函數(shù)模型求逆。由改進PI遲滯模型及離散傳遞函數(shù)模型與其逆互為反函數(shù)，式(4)的兩層算子依次求逆得到

對離散傳遞函數(shù)模型進行求逆，可得到：G-1(z)=(1-0.241 9z-1-0.735 5z-2)/(629z-1-628z-2)。

為驗證壓電柔性臂辨識出來的遲滯模型與離散傳遞函數(shù)模型的有效性，建立試驗裝置平臺(見圖2)，開展柔性臂構(gòu)件在MFC致動下正弦波軌跡跟蹤試驗。分別采用幅值為±1,±1,±1.5,±2，對應(yīng)頻率分別為1 Hz,5 Hz,10 Hz,15 Hz正弦波理想位移信號。根據(jù)求得的改進PI遲滯逆模型式(19)，結(jié)合逆離散傳遞函數(shù)模型G-1(z)，計算得到每個時刻的補償控制電壓，同時測得壓電柔性臂補償后的位移并與正弦波理想位移進行對比。同時為了對比組合模型的補償效果，開展基于經(jīng)典PI遲滯模型的補償試驗，試驗結(jié)果如圖8所示。實測1代表組合模型補償后的實測位移，補償1誤差就是其補償后的誤差。實測2代表經(jīng)PI模型補償后的實測位移，補償2誤差是其補償后的誤差。

經(jīng)典PI模型補償后，由于其本身算子是關(guān)于中心點對稱，即求得的逆補償電壓也是對稱的，補償不掉壓電柔性臂的遲滯非對稱性，同時不同頻率還出現(xiàn)不同程度的相位差，補償后的誤差也偏大。而組合模型的補償解決了壓電柔性臂補償遲滯非對稱的問題，實測跟蹤位移與理想位移曲線基本重合，跟蹤誤差控制在6.38%以內(nèi)。表明，MFC壓電柔性臂的遲滯現(xiàn)象基本消除，基于改進PI遲滯模型與離散傳遞函數(shù)模型的組合模型的補償方法對MFC壓電柔性臂的遲滯特性有明顯的改善，具體效果數(shù)據(jù)，如表4和表5所示。

圖8 補償后試驗結(jié)果Fig.8 Experimental results after compensation

表4 基于組合模型的補償控制效果Tab.4 Compensation control effect based on combined model

表5 基于經(jīng)典PI模型的補償控制效果Tab.5 Compensation control effect based on classic PI model

表4和表5中四個不同頻率信號均為正弦波位移信號。本文所提出的改進PI遲滯模型與離散傳遞函數(shù)模型的組合模型，雖然在很大程度補償?shù)鬗FC壓電柔性臂的遲滯誤差，提高了其驅(qū)動精度，但是并未完全消除其遲滯引起的誤差。下一步的工作，有必要引進反饋控制算法，搭建前饋+反饋的復(fù)合控制平臺，以進一步提高其驅(qū)動精度、定位精度。

5 結(jié) 論

本文基于經(jīng)典PI遲滯模型，疊加一系列不同權(quán)重、不同閾值的死區(qū)算子，建立一種具有非對稱遲滯特性的改進PI遲滯模型。基于Hammerstein模型的思路，建立系統(tǒng)的離散傳遞函數(shù)模型，并將改進PI遲滯模型與離散傳遞函數(shù)模型串聯(lián)構(gòu)成一個組合模型，解決了純遲滯模型對不同輸入頻率的適用性差及無法良好描述系統(tǒng)遲滯動態(tài)特性的問題。在前饋控制策略下，MFC壓電柔性臂的跟蹤精度得到一定的提高。目前仍存在一些不足:比如前饋補償無法完全消除遲滯引起的誤差，抗干擾能力弱，被動控制等。后續(xù)研究有必要引進前饋+反饋的復(fù)合控制策略，進一步提高驅(qū)動、跟蹤精度。