基于高斯展開法的周期聲學(xué)黑洞寬頻能量回收特性研究

宋婷婷， 鄭 玲， 鄧 杰

(1.重慶大學(xué) 汽車工程學(xué)院，重慶 400044；2.重慶大學(xué) 機械傳動國家重點實驗室，重慶 400044)

聲學(xué)黑洞作為一種新型的波動控制方法，在振動噪聲控制、聲波調(diào)控以及能量回收領(lǐng)域，受到國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注[1-2]。聲學(xué)黑洞效應(yīng)是通過改變結(jié)構(gòu)阻抗，使彎曲波的相速度與群速度逐漸衰減。在薄板以及梁結(jié)構(gòu)中，通常是對結(jié)構(gòu)厚度進行冪律剪裁，使彎曲波的相速度在結(jié)構(gòu)尖端急劇減小而無法發(fā)生反射，從而實現(xiàn)振動能量在尖端位置的聚集。

由于其結(jié)構(gòu)特殊性，聲學(xué)黑洞的振動響應(yīng)很難獲得解析解，這給聲學(xué)黑洞的理論研究帶來了較大的困難。針對這一問題，Tang等[3]提出一個半解析模型來分析嵌入聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)的歐拉伯努利梁的振動響應(yīng)。研究表明，半解析模型與有限元以及試驗結(jié)果高度一致。鄧杰等[4]采用Morlet小波作為半解析模型里的擬合函數(shù)，建立了一維聲學(xué)黑洞梁的解析模型，通過分析梁上的能量密度分布，驗證了尖端部分對于聲學(xué)黑洞能量聚集效應(yīng)的關(guān)鍵作用。曾鵬云等[5]采用相同的半解析模型，研究了一維圓錐形聲學(xué)黑洞的能量聚集效應(yīng)，并通過對比驗證了圓錐形聲學(xué)黑洞與楔形聲學(xué)黑洞具有相似的振動抑制效果。為了更好地展現(xiàn)能量在聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)中的傳遞過程，Wang等[6]建立了基于能量方程與Rayleigh-Ritz方程的半解析模型，對一維聲學(xué)黑洞梁進行了功率流分析，驗證了設(shè)置在黑洞尖端的阻尼層對聲學(xué)黑洞效應(yīng)的加強效果。黃薇等[7]也利用功率流分析方法對二維聲學(xué)黑洞開展研究，并通過試驗驗證了聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)對彎曲波的聚集效應(yīng)。此外，學(xué)者們以工程實踐為背景，將聲學(xué)黑洞應(yīng)用到了減振降噪領(lǐng)域。例如：劉波濤等[8]將聲學(xué)黑洞與聲學(xué)超結(jié)構(gòu)相結(jié)合，實現(xiàn)了低頻寬帶的高效隔聲；王小東等[9]為了彌補聲學(xué)黑洞會削弱結(jié)構(gòu)強度的局限性，將其以附加粘貼的方式引入直升機的后隔板，實現(xiàn)了駕駛艙內(nèi)良好的降噪效果；趙業(yè)楠等[10]通過引入聲學(xué)黑洞俘能器，使目標船艙室的噪聲降低10 dBA。

由于聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)具有振動能量的聚集效應(yīng)，因此也被引入到了能量回收系統(tǒng)當(dāng)中。此前，應(yīng)用于板梁結(jié)構(gòu)能量回收系統(tǒng)的壓電建模架構(gòu)，已被國內(nèi)外學(xué)者廣泛研究[11-12]。例如：汪恒等[13]將嵌入聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)的薄板引入到壓電俘能器中，通過在時域上與均勻板的比較，驗證了聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)對提高系統(tǒng)能量轉(zhuǎn)換效率的有效性；Zhao等[14]通過在單根梁上嵌入多個聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)，彌補了寬帶激勵下需要確認回收位置的限制，從結(jié)構(gòu)優(yōu)化上實現(xiàn)了能量的寬頻回收；梁玉坤[15]構(gòu)造了上下對稱的復(fù)合聲學(xué)黑洞梁結(jié)構(gòu)，獲得了比傳統(tǒng)聲學(xué)黑洞更好的結(jié)構(gòu)剛度與強度，并探究了壓電材料參數(shù)對于能量回收的影響；Ji等[16]考慮到了聲學(xué)黑洞的波長壓縮特性，為了避免在壓電材料中形成正負電荷相互抵消的情況，采用寬度遠小于最小半波長的微壓電矩陣，評估了聲學(xué)黑洞量在瞬態(tài)以及穩(wěn)態(tài)響應(yīng)下的能量回收性能；Deng等[17]基于能量法建立了雙壓電晶片聲學(xué)黑洞懸臂梁的半解析模型，并研究了截斷厚度、壓電位置及厚度等系統(tǒng)參數(shù)對于能量回收性能的影響；Zhao等[18]以嵌入了3個二維聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)的薄板為研究對象，進行了能量回收試驗，通過與均勻薄板的對比試驗，驗證了聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)對能量回收的優(yōu)化效果。

由上述研究可以看出，單個聲學(xué)黑洞通常只能在某些頻率點上展現(xiàn)出能量回收的提升效果，而周期聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)卻能夠通過壓縮共振峰使其在寬頻范圍內(nèi)實現(xiàn)能量回收。但目前卻缺乏相關(guān)研究揭示周期化、幾何構(gòu)型等系統(tǒng)參數(shù)對于能量回收共振峰的調(diào)控機理。針對這些問題，本文以周期聲學(xué)黑洞梁為研究對象，對耦合壓電晶片的聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)建立了半解析計算模型，依據(jù)計算結(jié)果分析了系統(tǒng)輸出功率及能量采集效率，揭示了周期數(shù)、黑洞半徑、中心截斷以及冪指數(shù)對于能量回收效應(yīng)的影響機理，為周期聲學(xué)黑洞的寬頻能量回收奠定理論基礎(chǔ)。

1 耦合壓電層的能量回收數(shù)學(xué)建模

1.1 聲學(xué)黑洞理論基礎(chǔ)

傳統(tǒng)的一維聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)，其黑洞區(qū)域內(nèi)的截面厚度與長度關(guān)系按冪函數(shù)變化，即h(x)=εxm(m≥2)。利用幾何聲學(xué)求解彎曲波在黑洞區(qū)域的彎曲振動方程時，近似假設(shè)方程的解可以表達為如下的復(fù)數(shù)形式

w(x)=A(x)eiΦ(x)

(1)

式中，A(x)與Φ(x)=kpφ(x,y)分別為結(jié)構(gòu)撓度變化的幅值與相位，kp為均勻部分的波數(shù)，φ(x,y)為程函。將假設(shè)的解帶回波動方程并令實部與虛部均等于零，即可得到

k(x)=121/4kp1/2(εxm)-1/2

(2)

式中，k(x)為變截面處的彎曲波波數(shù)。相位則可以寫成梁上任意一點到黑洞尖端對k(x)的積分，即

(3)

由式(3)可知，當(dāng)x=0且m≥2時，相位將趨于無窮大，也就是說，彎曲波從入射端傳遞到黑洞尖端所需的時間是無窮大，即彎曲波無法傳播到尖端邊界，也就無法在邊界發(fā)生反射。因此，結(jié)構(gòu)的振動能量被集中在了黑洞結(jié)構(gòu)尖端，在此處布置能量回收器件，則可以高效的將振動能量轉(zhuǎn)換為電能。

1.2 基于高斯展開的耦合壓電層能量回收模型

為了研究各結(jié)構(gòu)參數(shù)對于能量回收效率的影響機理，基于高斯展開法，建立耦合壓電材料的聲學(xué)黑洞能量回收半解析模型。其中，單胞聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)的幾何模型，如圖1所示。

圖1 單胞聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic diagram of the structure of a single cell acoustic black hole

基于歐拉-伯努利梁假設(shè)，梁結(jié)構(gòu)的位移場可以表示為

(4)

式中：[u,w]為梁上任意位置在x方向和z方向的位移；w(x,t)為梁上中面在不同時刻的撓度。其中，撓度w(x,t)可以表示為與位置有關(guān)的形函數(shù)φ(x)和與時間有關(guān)的權(quán)重系數(shù)a(t)的疊加形式

(5)

為了準確表示系統(tǒng)的質(zhì)量及剛度矩陣，需要尋找一個合適的基函數(shù)去擬合梁的撓度曲線。而高斯函數(shù)由于其無限可導(dǎo)，且便于積分的特點，能夠適應(yīng)由于黑洞邊緣而急劇變化的彎曲波波數(shù)。因此，為了提高擬合精度與計算速度，通過在高斯函數(shù)g(x)=exp[-x2/2]中引入平移因子與伸縮因子來擬合形函數(shù)φ(x)，表示為[19]

φi=2pi/2exp[-(2pix-qi)2/2],?i=1,…,N

(6)

式中：pi為高斯函數(shù)的伸縮因子；qi為平移因子。其中，伸縮因子決定著模型的求解精度與求解速度，取值越大，計算精度則越高，但計算時間也越長。伸縮因子的取值范圍所需要滿足的基本條件是，它的最小值需要與梁在x方向上的尺寸相匹配[20], 因此，伸縮因子的取值范圍則為

pi=ceil(log28/Lunit)

(7)

而平移因子qi決定著質(zhì)量矩陣與剛度矩陣的維度，其取值范圍由伸縮因子與結(jié)構(gòu)尺寸共同決定，一般為

qi=[-3+floor(-2pixleft),3+ceil(2pixright)]

(8)

式中：Lunit為需要計算的梁的全長，這里針對單胞結(jié)構(gòu)即為單胞的長度；xleft與xright分別為梁的積分上下限，即梁的左右端點坐標；floor(x)與ceil(x)分別為向上取整與向下取整運算。

單胞結(jié)構(gòu)間的連續(xù)性條件應(yīng)該滿足兩單胞在連接處的位移、轉(zhuǎn)角、彎矩相同，剪切力相反，即表示為

wn(xb,t)=wn+1(0,t)

(9)

(10)

(11)

w?n(xb,t)=-w?n+1(0,t)

(12)

式中，wn(xb,t)，wn+1(0,t)分別為前、后兩個單胞連接處在t時刻的位移，各階導(dǎo)數(shù)則依次表示轉(zhuǎn)角、彎矩與剪切力。

基于能量法，可以建立系統(tǒng)的動能K、勢能U、電能We和外力功Wf方程。系統(tǒng)的動能表示為梁與壓電片動能的集合

(13)

式中：ρb，ρp分別為梁與壓電片的密度；M為梁與壓電片總的質(zhì)量矩陣。勢能則分為梁、邊界彈簧與壓電片3個部分，其中梁的勢能為

(14)

對于壓電片的勢能計算，需要引入壓電材料的本構(gòu)方程。針對薄梁的線性壓電本構(gòu)簡化方程[21]為

(15)

(16)

式中：Kρ為壓電片的剛度矩陣；Θ為機電耦合向量。

在梁的左端加載兩個剛度可調(diào)的邊界彈簧，分別為平移彈簧與扭轉(zhuǎn)彈簧，通過給邊界彈簧賦予不同的剛度條件，來起到模擬多種邊界條件的作用。邊界彈簧的彈性勢能表示為

(17)

因此系統(tǒng)的總勢能表示為

(18)

式中，K=Kb+Kp+Kedge為梁、壓電片以及邊界彈簧的總剛度矩陣。壓電片中產(chǎn)生的電能表示為

(19)

式中，Cp為壓電片的電容。系統(tǒng)的外力功可以表示為作用在xf位置上的機械外力f(t)與電壓Vp和電荷q的關(guān)系

Wf=f(t)w(xf)+Vpq=aTf+Vpq

(20)

最后，拉格朗日算子可表示為L=K-U+We+Wf，分別將式(13)、式(18)、式(19)、式(20)代入拉格朗日算子可得

(21)

拉格朗日機電耦合方程為

(22)

將式(21)代入式(22)求導(dǎo)計算得到

(23)

(24)

式中，R為能量采集電路中的等效電阻。

(25)

2 結(jié)構(gòu)參數(shù)對能量回收特性的影響

為了便于能量回收功率的計算，將周期聲學(xué)黑洞梁的左右邊界均作自由邊界處理，取幅值為1 N的激勵力施加在梁結(jié)構(gòu)的左端徑向方向，并將每一個單胞聲學(xué)黑洞的能量回收電路簡化為一個阻值為100 Ω的負載電阻，其結(jié)構(gòu)示意圖如圖2所示。

圖2 周期聲學(xué)黑洞能量回收示意圖Fig.2 Schematic diagram of energy harvesting of periodic acoustic black hole

結(jié)構(gòu)中梁與壓電層的幾何參數(shù)與材料屬性，分別如表1和表2所示。為探究各結(jié)構(gòu)參數(shù)對于能量回收的影響，分析不同周期數(shù)N、黑洞半徑rabh、冪指數(shù)m以及中心截斷ht等情況下結(jié)構(gòu)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。其中，將黑洞區(qū)域與均勻區(qū)域交界點代入黑洞厚度分布函數(shù)，即

hb=ht+ε(x-rabh)m

(28)

由式(26)可得

(27)

因此，冪變系數(shù)ε作為結(jié)構(gòu)函數(shù)中的因變量，隨著黑洞半徑rabh、冪指數(shù)m以及中心截斷ht的變化而變化。

表1 單胞聲學(xué)黑洞梁模型參數(shù)Tab.1 Parameters of the black hole beam

表2 單胞壓電層模型參數(shù)Tab.2 Parameters of piezoelectric layer

2.1 周期數(shù)對于能量回收特性的影響

在單胞幾何參數(shù)恒定的情況下，通過更改周期數(shù)N以研究周期化程度對于壓電能量回收效應(yīng)的影響。周期數(shù)分別為1，5，10，20時聲學(xué)黑洞梁的能量回收功率圖，如圖3所示。圖3中，取對數(shù)時的參考值為Pref=1×10-2W(其余功率圖也采取相同的對數(shù)參考值)。

圖3 不同周期數(shù)下周期聲學(xué)黑洞能量回收功率Fig.3 Energy harvesting power of periodic acoustic black holes with different periods

由圖3可以看出，在1～5 000 Hz的分析頻段內(nèi)，回收功率峰值密集分布區(qū)域集中在如圖所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ這5個頻段內(nèi)。周期20的聲學(xué)黑洞梁回收功率與單胞能帶結(jié)構(gòu)圖的對比，如圖4所示。圖4中，深色頻段即為無限周期預(yù)測的結(jié)構(gòu)通帶范圍。由圖4可以看出，回收峰值密集分布的5個頻段對應(yīng)于結(jié)構(gòu)中的5個結(jié)構(gòu)通帶。之所以在通帶范圍能夠?qū)崿F(xiàn)更高的回收功率，是因為在通帶范圍之外的禁帶區(qū)域內(nèi)，彎曲波傳遞受阻，結(jié)構(gòu)振動被極大的抑制，因此回收功率從峰值開始劇烈下降；而在通帶頻率范圍以內(nèi)，波動能量被大量聚集在了這一頻段內(nèi)，壓電材料隨梁結(jié)構(gòu)劇烈形變，回收功率明顯提升。由圖4可知，在頻段Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ內(nèi)，周期聲學(xué)黑洞的回收功率遠高于單一的聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)。而在頻段Ⅳ內(nèi)，雖然單一聲學(xué)黑洞在3 234 Hz左右的回收功率更高，但周期聲學(xué)黑洞利用結(jié)構(gòu)通帶，在更寬的頻率范圍內(nèi)實現(xiàn)了較高的回收功率。由此可見，利用周期性產(chǎn)生的結(jié)構(gòu)通帶，可以將原本聚集在共振頻率周圍的能量分散至通帶頻率范圍內(nèi)，從而實現(xiàn)振動能量的寬頻回收。

圖4 能帶結(jié)構(gòu)與回收功率對比圖Fig.4 Comparison chart of energy band structure and harvesting power

為了進一步說明周期數(shù)對于能量回收效果的影響，定義各個頻段內(nèi)的峰值間隔Δfi的計算式為

Δfi=(fimax-fimin)/n

(28)

式中：fimin，fimax為i頻段內(nèi)第一個與最后一個回收峰值所對應(yīng)的頻率；n為該頻段內(nèi)的峰值個數(shù)。

由于分析頻段的上限設(shè)置為5 000 Hz，導(dǎo)致頻段Ⅴ未展示出完整的峰值頻段，因此平均峰值間隔的均值計算只納入前四段峰值頻段，各頻段內(nèi)平均峰值間隔如表3所示。

表3 各頻段平均峰值間隔Tab.3 Average peak interval of each frequency band

結(jié)合圖3與表3可以看出，當(dāng)周期數(shù)為1時，聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)僅在外界激勵頻率為155 Hz，3 234 Hz時能夠形成回收峰值；隨著結(jié)構(gòu)周期數(shù)的增多，在通帶頻率范圍內(nèi)形成的峰值個數(shù)也在增多，且全頻段內(nèi)的平均峰值間隔也在降低，但當(dāng)周期數(shù)增加為20時，全頻段內(nèi)的平均峰值間隔僅為36 Hz，低于N=5時的95.75 Hz與N=10時的56.75 Hz。此外，在各通帶范圍內(nèi)形成的回收功率波峰與波谷的差值，也隨著周期數(shù)的增多而降低，也就是說，此時回收功率受外界激勵頻率的影響波動更小，即在實現(xiàn)寬頻能量回收的同時，輸出功率的穩(wěn)定性也更好。

2.2 冪指數(shù)對于能量回收特性的影響

在黑洞半徑以及中心截斷厚度一定的情況下，冪指數(shù)決定了聲學(xué)黑洞厚度變化的快慢。如圖5所示，冪指數(shù)越大，黑洞區(qū)域的厚度變化越劇烈，也就是說，在相同坐標系下的同一截面位置，冪指數(shù)越大，聲學(xué)黑洞梁的厚度越小，即h2>h3>h4。

圖5 變冪指數(shù)聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)示意圖Fig.5 Schematic diagram of the structure of acoustic black hole with variable power

圖6為10周期聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)在冪指數(shù)分別為2、3、4情況下，各結(jié)構(gòu)的能量回收功率曲線。

圖6 不同冪指數(shù)下周期聲學(xué)黑洞能量回收功率Fig.6 Energy harvesting power of periodic acoustic black hole with different power exponent

由圖6各條曲線的頻率分布可以看出，各個峰值密集分布頻段內(nèi)的峰值個數(shù)不會隨著結(jié)構(gòu)的冪指數(shù)變化而變化；結(jié)合局部頻段的放大圖可以明顯看出，隨著冪指數(shù)的增大，各頻段內(nèi)的峰值間隔明顯縮短，結(jié)合峰值個數(shù)保持一致的現(xiàn)象，可知各峰值區(qū)間的長度隨著冪指數(shù)的增大而縮短；此外，各峰值頻段也呈現(xiàn)出明顯的向低頻移動的趨勢。由圖7的能帶結(jié)構(gòu)對比圖，同樣可以看出相同的趨勢，即隨著冪指數(shù)的增大，各條結(jié)構(gòu)通帶均發(fā)生不同程度的壓縮，并向低頻方向移動。

圖7 不同冪指數(shù)的周期聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)能帶圖Fig.7 Energy band of periodic acoustic black hole structure under different power exponents

圖8 不同冪指數(shù)下周期聲學(xué)黑洞能量回收效率Fig.8 Energy harvesting efficiency of periodic acoustic black holes with different power exponent

由能量采集效率圖可知，在第Ⅲ頻段內(nèi)，能量采集效率呈現(xiàn)出冪指數(shù)越大，回收效率越大的規(guī)律；在一維梁結(jié)構(gòu)中，彎曲波的波長計算式為

(29)

式中：h為梁的局部厚度；f為外界激勵頻率；E，ρ，μ分別為材料的楊氏模量、密度以及泊松比。

由式(29)可知，在相同激勵頻率下，局部位置厚度越小，彎曲波波長就越小。即冪指數(shù)越大的情況下，相同位置截面的厚度就越小，導(dǎo)致彎曲波波長在黑洞區(qū)域被更快的壓縮，此時的彎曲波的半波長小于壓電片長度，因而不會在壓電片中產(chǎn)生正負電荷相互抵消的情況，從而獲得更高的能量采集效率。在低頻段內(nèi)，彎曲波波長較短，無法在壓電片中產(chǎn)生足夠的形變，因此能量采集效率較低；而在高頻段，彎曲波被壓縮至較小的波長，使壓電片中產(chǎn)生正負電荷相互抵消，從而降低了能量采集效率。因此，總的來說，能量采集效率隨著冪指數(shù)的增大而減小，但由于半波長截止效應(yīng)的存在，使在某一頻段內(nèi)的能量采集效率會隨著冪指數(shù)的增大而增大，這一頻段范圍由材料屬性與結(jié)構(gòu)厚度共同決定。

2.3 中心截斷對于能量回收特性的影響

與冪指數(shù)對于結(jié)構(gòu)的影響相似，在黑洞半徑恒定的情況下，改變中心截斷厚度，也會改變黑洞區(qū)域的厚度變化幅度，中心截斷越小，厚度變化得越快，如圖9所示，在相同坐標軸下同一截面處，中心截斷越大，聲學(xué)黑洞梁的厚度越大，即h05>h02>h01。

圖9 變中心截斷聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)示意圖Fig.9 Structure of acoustic black hole with variable truncated center

中心截斷厚度分別為0.1hb，0.2hb以及情況下的10周期聲學(xué)黑洞能量回收功率曲線，如圖10所示。不同中心截斷的周期聲學(xué)黑洞能帶結(jié)構(gòu)對比圖，如圖11所示。

由圖10和圖11可以看出，當(dāng)中心截斷為均勻部分厚度一半時，已無明顯的峰值聚集現(xiàn)象，即使此時的通帶范圍極寬，幾乎覆蓋了全頻段，但由于中心截斷過大，導(dǎo)致黑洞中心部分的反射系數(shù)較大，此時的聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)已不具備對能量的聚集效應(yīng)。而當(dāng)中心截斷由0.1hb加厚到0.2hb時，兩功率曲線變化趨勢相似，幅值差異較小，僅在頻域范圍內(nèi)，出現(xiàn)了曲線的平移與壓縮。在能帶結(jié)構(gòu)中的表現(xiàn)，就是各通帶范圍加寬，且各頻帶均向高頻移動。由此可得，隨著中心截斷的加厚，回收峰值頻段會向高頻移動，且頻段長度有小幅的拓寬，回收波峰波谷的功率差加大，周期結(jié)構(gòu)的回收功率對于外界激勵頻率的敏感性加大。

圖10 不同中心截斷下周期聲學(xué)黑洞能量回收功率Fig.10 Energy harvesting power of periodic acoustic black holes with different truncation centers

圖11 不同中心截斷的周期聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)能帶圖Fig.11 Energy band of periodic acoustic black hole structure under different truncation centers

2.4 黑洞半徑對于能量回收特性的影響

在中心截斷厚度ht=0.1hb、冪指數(shù)m=2以及單胞長度恒定的情況下，取黑洞半徑分別為單胞長度的1/4，1/2，3/4作為分析工況，其厚度變化示意圖如圖12所示。從圖12可以看出，黑洞半徑的變化不僅會直接影響黑洞區(qū)域與均勻部分的占比，也間接使黑洞區(qū)域的厚度發(fā)生變化，黑洞半徑越大，厚度變化越緩慢。

圖12 變黑洞半徑聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)示意圖Fig.12 Schematic diagram of acoustic black hole structure with variable radius

各分析工況下的聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)回收功率圖與能帶結(jié)構(gòu)對比圖，分別如圖13、圖14所示。從計算結(jié)果來看，隨著黑洞半徑的增大，在低頻部分的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ峰值頻段以及其對應(yīng)的能帶范圍，均向低頻移動，頻段長度也發(fā)生一定的壓縮。此外，當(dāng)黑洞占比達單胞長度的3/4時，回收功率曲線在2 000 Hz以后的高頻段內(nèi)出現(xiàn)了連續(xù)分布的回收峰值，且波峰與波谷對應(yīng)的幅值相對穩(wěn)定，在較寬的頻率范圍內(nèi)均高于其余兩種工況。從能帶結(jié)構(gòu)圖中也可以看出在2 000 Hz之后的高頻范圍內(nèi)出現(xiàn)了兩段覆蓋范圍很寬的結(jié)構(gòu)通帶，也就是說，此時結(jié)構(gòu)在高頻區(qū)域能夠展現(xiàn)出更穩(wěn)定的高效能量回收效果。

圖13 不同黑洞半徑下周期聲學(xué)黑洞能量回收功率Fig.13 Energy harvesting power of periodic acoustic black hole with different radius

表4為計算得到的不同黑洞半徑情況下的能量轉(zhuǎn)換效率。由表4可知，即使較大的黑洞半徑能夠在高頻段實現(xiàn)輸出功率更高更穩(wěn)定的能量回收效果，但從全頻段內(nèi)的能量轉(zhuǎn)換效率來看，雖然總輸出電能增多，但能量轉(zhuǎn)換效率仍然有所降低。

圖14 不同黑洞半徑的周期聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)能帶圖Fig.14 Energy band of periodic acoustic black hole structure under different radius

表4 全頻段內(nèi)能量轉(zhuǎn)換效率Tab.4 Energy conversion efficiency in full frequency band

3 試驗驗證

基于周期聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)的壓電能量回收試驗系統(tǒng)的實物圖，如圖15所示。試驗系統(tǒng)由三部分組成，分別為激勵單元、信號采集單元與數(shù)據(jù)處理單元。由信號發(fā)生器產(chǎn)生固定頻率的正弦信號，經(jīng)過功率放大器調(diào)節(jié)增益之后，傳遞到激振器中，驅(qū)動激振器產(chǎn)生諧振力并作用在試驗梁上。試驗梁與激振器的連接方式如圖16所示，而梁的另一端則采用懸掛系統(tǒng)模擬自由邊界條件。當(dāng)激振器發(fā)出的正弦激勵作用在試驗梁上時，會在結(jié)構(gòu)中產(chǎn)生彈性波，進而在粘貼在梁上壓電片中產(chǎn)生電勢。通過LMS采集卡測量連接在壓電片上的負載電阻的電壓，就可以得到系統(tǒng)在單一頻率作用下的穩(wěn)態(tài)回收功率。為了滿足振動試驗所需的結(jié)構(gòu)強度，聲學(xué)黑洞梁與均勻梁的材料均選為鋁合金，其結(jié)構(gòu)如圖17所示，梁全長為1 m，寬度為20 mm，高度為10 mm。對于聲學(xué)黑洞梁的結(jié)構(gòu)單胞，其單胞長度為200 mm，黑洞半徑為100 mm，非均勻部分的厚度與位置的關(guān)系式滿足h(x)=1.406 3×10-5x2+1,(0≤x≤80)，式中x代表到單胞結(jié)構(gòu)中心的距離。壓電陶瓷片的材料為PZT-5，結(jié)構(gòu)尺寸為60 mm×20 mm×0.2 mm，在聲學(xué)黑洞梁上的各個單胞結(jié)構(gòu)中心均粘貼有一塊壓電陶瓷片，并在均勻梁的相同位置上布置了同等數(shù)量的壓電材料。

在保證功率放大器增益恒定，且負載電阻均為100 Ω的情況下，在1～1 000 Hz的頻段范圍內(nèi)，以25 Hz為步長調(diào)整激勵頻率，分別測量每一塊壓電片在同一激勵頻率下的穩(wěn)態(tài)輸出電壓，并計算其輸出功率，最后將各壓電片的穩(wěn)態(tài)輸出功率線性相加，即得到總的輸出功率。兩根試驗梁在1 000 Hz以內(nèi)的回收功率對比圖，如圖18所示。

圖15 壓電能量回收試驗系統(tǒng)圖Fig.15 Piezoelectric energy harvesting experimental system diagram

圖16 試驗梁與激振器連接圖Fig.16 Connection diagram of test beam and vibration exciter

圖17 聲學(xué)黑洞梁與均勻梁結(jié)構(gòu)對比圖Fig.17 Comparison of acoustic black hole beam and uniform beam structure

圖18 聲學(xué)黑洞梁與均勻梁回收功率對比圖Fig.18 Comparison of harvesting power between acoustic black hole beam and uniform beam

由圖18可以看出，在1 000 Hz以內(nèi)，通過無限周期理論推導(dǎo)出的試驗梁結(jié)構(gòu)通帶在0～66 Hz，174～516 Hz這兩個頻率范圍。而在第一個通帶內(nèi)，由于采樣頻率間隔較大，所以周期聲學(xué)黑洞梁未顯示出足夠的回收峰值，但與均勻梁相比，其回收功率也優(yōu)于均勻梁。這是因為在低頻部分，聲學(xué)黑洞的振動幅度較大，使壓電片產(chǎn)生了較大的形變，因此其輸出功率大于均勻梁；在第二個通帶范圍內(nèi)，就可以明顯看出，周期聲學(xué)黑洞在結(jié)構(gòu)通帶頻率范圍內(nèi)，回收功率峰值相較于均勻梁更多，且平均回收功率也高于均勻梁，在更寬的頻率范圍內(nèi)實現(xiàn)了能量的高功率回收。將試驗結(jié)果與計算結(jié)果(見圖3)進行對比，周期聲學(xué)黑洞利用結(jié)構(gòu)通帶實現(xiàn)寬頻能量回收的效果基本保持一致。

4 結(jié) 論

本文基于高斯展開法建立了耦合壓電材料的周期聲學(xué)黑洞梁能量回收半解析模型，分析了周期數(shù)、冪變指數(shù)、中心截斷厚度以及黑洞半徑對于能量回收特性的影響，主要結(jié)論如下：

(1) 周期聲學(xué)黑洞能夠通過形成結(jié)構(gòu)通帶，來有效實現(xiàn)能量的寬頻回收。隨著聲學(xué)黑洞的周期數(shù)增多，輸出功率的峰值個數(shù)增多，波峰與波谷的功率差降低，此時結(jié)構(gòu)的輸出功率受外界激勵頻率的影響波動更小。

(2) 冪指數(shù)不會改變峰值分布頻段內(nèi)的峰值個數(shù)，但隨著冪指數(shù)的增大，各段結(jié)構(gòu)通帶均發(fā)生不同程度的壓縮，并向低頻方向移動。能量采集效率由于半波長截止效應(yīng)在部分頻段內(nèi)隨著指數(shù)的增大而增大，在其他頻段內(nèi)均呈現(xiàn)隨著冪指數(shù)的增大而減小趨勢。

(3) 在聲學(xué)黑洞半徑一定的條件下，隨著中心截斷的加厚，回收峰值頻段會向高頻移動，且頻段長度有小幅的拓寬，回收波峰波谷的功率差加大，周期結(jié)構(gòu)的回收功率對于外界激勵頻率的敏感性加大。

(4) 低頻部分的能帶結(jié)構(gòu)會隨著黑洞半徑的增大而向低頻移動，頻段長度也發(fā)生一定的壓縮；更大的黑洞半徑能夠在高頻段實現(xiàn)更穩(wěn)定、輸出功率更高的能量回收效果，但全頻段內(nèi)的能量轉(zhuǎn)換效率會隨著黑洞半徑的增大而減小。

本文基于所建立的耦合壓電材料聲學(xué)黑洞梁能量回收模型，可以研究聲學(xué)黑洞各結(jié)構(gòu)參數(shù)對于能量回收特性的影響機制，能夠為多周期聲學(xué)黑洞的振動能量回收優(yōu)化設(shè)計提供參考依據(jù)。