預應力雙柱式搖擺墩結構體系搖擺譜分析

王寶夫， 石 鈺， 石祥鋒， 張紅芬

(1.華北科技學院 建筑工程學院，北京 101601；2.北京工業(yè)大學 城市與工程安全減災教育部重點實驗室，北京 100124；3.中國建筑材料科學研究總院有限公司，北京 100024)

近年來，隨著“震后功能可恢復橋梁”理念的興起，搖擺橋墩受到學者們越來越多的關注[1-3]。搖擺橋墩將墩柱與蓋梁及承臺間的約束放松，地震作用下橋墩產生搖擺反應，依靠結構自重及無黏結預應力筋提供自復位能力，可有效減輕混凝土橋墩的損傷，顯著降低橋墩的殘余位移，具有損傷可控、震后可快速恢復的特點，成為一種新興的橋梁結構抗震體系[4]。

利用搖擺減輕結構地震反應并不是一個新的概念，公元前510年建成的希臘神廟是現(xiàn)存最早的搖擺結構[5]，該建筑在2 500年間經歷多次大地震而未倒塌，表明搖擺結構具有良好的抗震性能。然而搖擺結構在當時并未受到人們的重視，直到1963年Housner[6]首先對剛體搖擺的動力反應進行研究，并提出了剛體搖擺的倒擺分析模型，揭示了剛體搖擺行為的尺寸-頻率效應。此后學者們對剛體搖擺的動力行為進行了深入的研究，并擴展到搖擺框架[7-8]、搖擺橋墩[9-10]和三維搖擺結構[11-12]等結構體系。目前搖擺結構在橋梁工程中的應用還很少，現(xiàn)有文獻報道中僅有新西蘭的South Rangitikei橋[13]、Wigram-Magdala Link橋[14]以及我國的黃徐路橋。

Mander等[15]基于搖擺結構提出了混凝土橋墩免損傷設計理念，將橋墩與上部蓋梁和下部承臺分離形成搖擺界面，利用無黏結預應力筋提高橋墩的側向剛度和自復位能力，搖擺橋墩的力-位移滯回關系呈S形，無黏結預應力筋的配置使得墩柱的搖擺剛度由負值變?yōu)檎?。隨后Cheng[16]對搖擺橋墩的地震反應進行了振動臺試驗研究，分析了不同參數(shù)對搖擺橋墩地震反應的影響，試驗結果表明搖擺橋墩的漂移率可達6%，震后搖擺墩無損傷和殘余位移；但未對預應力筋引起墩柱搖擺剛度的變化及對搖擺橋墩地震反應的影響進行分析。Zhou等[17]對雙柱式搖擺橋墩的地震反應和減震效果進行了試驗研究，試驗橋墩呈現(xiàn)負搖擺剛度，振動臺試驗結果表明，合理配置預應力筋能夠提高搖擺橋墩的抗倒塌能力，同時不顯著降低搖擺墩的減震效果。

為提高搖擺墩的抗震性能，學者們提出了無黏結預應力技術與耗能部件聯(lián)合應用的搖擺橋墩，并進行了一系列的試驗和理論研究。Palermo等[18]在搖擺接縫處設置耗能鋼筋以提高搖擺墩的耗能能力，并分析了初始預加力及預應力筋配筋率對搖擺墩抗震性能的影響。Marriott等[19]提出用外置耗能裝置代替內置耗能鋼筋以提高耗能裝置震后的可更換性。Kam等[20]對不同類型耗能裝置(滯回耗能、黏滯耗能)聯(lián)合使用的影響進行了研究。這些研究結果表明，搖擺橋墩不僅具有良好的自復位能力，且具有較高的耗能能力，并可有效的減輕墩柱混凝土的損傷。需要說明的是上述研究中搖擺橋墩的搖擺剛度均為正值，其抗震性能介于純搖擺橋墩和延性橋墩之間。

關于搖擺墩抗震性能的研究已取得一些成果，但主要集中在搖擺剛度為正值的情況，對搖擺剛度由負值過渡到正值的研究則較少。本文以雙柱式搖擺橋墩結構體系為研究對象，如圖1所示?？紤]無黏結預應力筋對搖擺剛度的影響，基于拉格朗日方程和動量矩守恒定理給出預應力雙柱式搖擺墩的剛體動力分析模型，并進行脈沖型地震動作用下的搖擺譜分析，討論了預應力筋的影響，比較了不同的搖擺墩設計策略，為預應力雙柱式搖擺墩的抗震設計提供依據。

圖1 預應力雙柱式搖擺墩結構體系Fig.1 Posttensioned rocking double-column bridge system

1 分析模型

1.1 運動學方程

本節(jié)針對預應力雙柱式搖擺墩的平面剛體搖擺反應進行研究，振動臺試驗表明通過合理的構造措施能夠避免搖擺界面滑移和空間搖擺的出現(xiàn)，橋墩的搖擺反應可以限定在設計平面內。預應力雙柱式搖擺橋墩橫橋向剛體運動模式，如圖2所示。從圖2可知，地震作用下預應力雙柱式搖擺橋墩產生順時針(橋墩轉角θ?0)和逆時針(橋墩轉角θ0)搖擺，橋墩與主梁和承臺之間發(fā)生碰撞，碰撞后橋墩轉角反向且橋墩繞新的腳點搖擺。

圖2 預應力雙柱式搖擺墩結構體系剛體運動Fig.2 Rigid motion of posttensioned rocking double-column bridge system

在橋墩搖擺時，上部結構為平面剛體運動，其水平位移u和豎向位移v可根據圖2的幾何關系由橋墩的轉角θ表示

u=?2R[sinα-sin(α±θ)]

(1)

v=2R[cos(α±θ)-cosα]

(2)

式中:頂部符號對應橋墩轉角θ0；底部符號對應橋墩轉角θ?0；R為橋墩尺寸參數(shù)，其值為橋墩對角線長度的一半；α為橋墩的長細比，其值為墩高和對角線的夾角。

預應力雙柱式搖擺橋墩可簡化為以橋墩轉角θ為廣義坐標的單自由度體系，橋墩搖擺過程中需滿足Lagrange方程,即

(3)

式中：T為體系的動能；V為體系的勢能；Q為對應于廣義坐標θ的廣義力。

忽略預應力筋質量的影響，預應力雙柱式搖擺橋墩體系的動能T可表示為

(4)

式中:nc為橋墩的數(shù)量；Io為橋墩相對于腳點O(O′)的質量慣性矩，橋墩為矩形截面時Io=4mcR2/3，mc為單個橋墩的質量；mb為主梁的質量。

預應力雙柱式搖擺橋墩的勢能可表示為

V=Vfr+Vt

(5)

式中:Vfr為體系重力提供的勢能；Vt為無黏結預應力筋提供的勢能。Vfr可采用式(6)表達

(6)

橋墩開始搖擺前，在初始預加力P0的作用下預應力束產生初始伸長量(Δp0)

(7)

式中，kt=EA/l為預應力筋的彈性抗拉剛度，E為鋼束的彈性模量，A為鋼束的截面面積，l為預應力束的無黏結長度。橋墩搖擺時預應力束產生變形(如圖3所示)，預應力束的伸長量為其底部和頂部伸長量之和

Δp=4bsin(θ/2)

(8)

則由預應力束提供的勢能Vt可表示為

(9)

圖3 預應力雙柱式搖擺墩結構體系橋墩-基礎連接Fig.3 Pier-foundation connection of posttensioned rocking double-column bridge system

預應力雙柱式搖擺橋墩地震作用下的虛功δW可表示為

(10)

預應力雙柱式搖擺橋墩對應于廣義坐標θ的廣義力Q為

(11)

式(12)可以簡化為

(13)

(14)

(15)

1.2 初始搖擺加速度

對于預應力雙柱式搖擺橋墩結構體系在任意虛位移δθ下運用虛功原理可得

(16)

式中：P=4ktbsin(θ/2)為預應力束伸長引起的預加力;δΔp為預應力束的虛伸長量可表示為

(17)

不失一般性，假定橋墩轉角為正，將式(17)代入式(16)可得

(18)

當橋墩初始搖擺時，θ≈0，Δp≈0，式兩邊同除以ncmc可簡化為

(19)

(20)

式(20)為隨著初始預應力的增加橋墩的最小水平搖擺加速度也增大。

1.3 橋墩轉角恢復系數(shù)

預應力雙柱式搖擺橋墩的彎矩-轉角曲線如圖4所示，無量綱參數(shù)ρt和ρt0決定曲線的形狀，曲線未包裹任何面積，體系無滯回耗能。當橋墩搖擺方向變號時，橋墩與上部結構和承臺發(fā)生碰撞，體系的動能減小。假定碰撞的瞬時橋墩能夠平穩(wěn)轉動，碰撞力集中在新的腳點處。在碰撞時(θ=0)預應力束的伸長量為零，碰撞前后預應力束不引起角動量的變化。因此，預應力雙柱式搖擺橋墩結構體系的橋墩轉角恢復系數(shù)同無預應力束雙柱式搖擺橋墩的計算方法相同。周雨龍等基于碰撞前后的角動量守恒定律給出了無預應力雙柱式搖擺橋墩的轉角恢復系數(shù)

(21)

本文采用式(21)計算預應力雙柱式搖擺橋墩結構體系的橋墩轉角恢復系數(shù)。利用MATLAB程序進行運動方程[式(13)、式(20)和式(21)]的求解，得到預應力雙柱式搖擺橋墩地震作用下的時程反應。

2 橋墩彎矩-轉角關系

(22)

(23)

預應力雙柱式搖擺橋墩體系的彎矩-轉角關系曲線由無量綱參數(shù)ρt和ρt0控制，體系的恢復力矩MR為

4ρtsinθ+2sinαρt 0cos(θ/2)

(24)

當橋墩搖擺轉角較小(cosθ≈1,sinθ≈θ)、橋墩長細比較大(cosα≈1,sinα≈α)時，體系的恢復力矩MR可簡化為與橋墩轉角θ線性相關的函數(shù)

(25)

預應力雙柱式搖擺橋墩結構體系的彎矩-轉角曲線，如圖4所示。由圖4可知，預應力雙柱式搖擺橋墩結構體系的承載力隨著預應力束無量綱初始預應力參數(shù)ρt0的增加而增大，其搖擺剛度隨著預應束無量綱剛度參數(shù)ρt的增加而增大，并由負值逐漸轉變?yōu)檎?。由?25)可知，在橋墩轉角較小的前提下，預應力雙柱式搖擺橋墩結構體系的搖擺剛度為正值的條件為

ρt?0.25

(26)

圖4 預應力雙柱式搖擺墩結構體系彎矩-轉角曲線Fig.4 Moment-rotation curve of posttensioned rocking double-column bridge system

3 預應力雙柱式搖擺墩搖擺譜

3.1 脈沖型地震動

搖擺結構體系在脈沖型地震動作用下容易發(fā)生倒塌[21]，因此本節(jié)針對脈沖型地震動作用下預應力雙柱式搖擺橋墩結構體系的搖擺譜進行研究。近斷層脈沖型地震動具有較強的破壞性，但其運動形式相對簡單，學者們對其進行了深入的研究并提出了多種數(shù)學模型來近似表征其運動學特征[22]，這些數(shù)學模型能定性和定量的描述近斷層地震動的脈沖特征。本文采用能夠較好模擬近斷層脈沖型地震動并被廣泛應用于搖擺結構分析的Ricker小波[23]來進行搖擺譜分析，如圖5所示。

圖5 對稱Ricker小波和非對稱Ricker小波Fig.5 Analytical pulses: symmetric Ricker wavelet andantisymmetric Ricker wavelet

圖5(a)為高斯分布e-t2二次導數(shù)的比例公式，即地震學中的對稱Ricker小波，其表達式為

(27)

圖5(b)為高斯分布e-t2三次導數(shù)的比例公式，即非對稱Ricker小波，其表達式為

(28)

式中：Tp=2π/wp為Ricker波傅里葉譜的最大幅值對應的周期;β取1.380 1以使表達式的最大值等于ap。

3.2 共振頻率

由式(25)可得預應力雙柱式搖擺墩結構體系線性化的轉動剛度

Kr=(2mb+ncmc)gR(4ρt-1)

(29)

當預應束無量綱剛度參數(shù)ρt>0.25時體系的轉動剛度為正值，預應力雙柱式搖擺墩結構體系的搖擺頻率可表示為

(30)

式中，I0=4mR2/3為單個墩的質量慣性矩，上式可進一步簡化為

(31)

當脈沖地震動的頻率ωp=ωr時，預應力雙柱式搖擺墩結構體發(fā)生共振

(32)

3.3 搖擺譜分析

對稱Ricker小波作用下預應力雙柱式搖擺墩結構體系的搖擺譜，如圖6所示。結構體系的參數(shù)為α=0.2和γ=12。圖中縱坐標和橫坐標為相對于搖擺墩特征參數(shù)α和p的無量綱化坐標，加速度峰值從左向右分別為ap=0.405 4g(ap/gtanα=2)、ap=0.608 1g(ap/gtanα=3)和ap=0.810 8g(ap/gtanα=4)。從圖6可知，當ωp/p較小時，即墩柱較小或長周期脈沖作用時，自由搖擺雙柱式橋墩結構體系發(fā)生倒塌，搖擺剛度為正值的結構體系的搖擺譜存在峰值，峰值點頻率可由式(32)計算得到，當ωp/p較大時，即墩柱較大或短周期脈沖作用時，預應力筋對雙柱式搖擺墩結構體系的搖擺譜基本無影響。結構體系在非對稱Ricker小波作用下的搖擺譜，如圖7所示。從圖7可知，其譜形與對稱Ricker波作用下的搖擺譜具有相似的趨勢。

以常規(guī)的公路雙柱式橋墩為例來說明實際工程參數(shù)下結構體系的反應情況。第一種情況，雙柱式低墩橋，橋墩墩高為7.5 m、截面尺寸為1.5 m×1.5 m，結構體系對應的參數(shù)為α=0.2,R=3.8 m和p=1.4。體系受到周期Tp=1.5 s的Ricker小波的作用，體系的無量綱頻率參數(shù)ωp/p=2π/pTp=2.99。根據圖6，當峰值加速度為0.405 4g時，無預應力自由搖擺墩的轉角反應與預應力搖擺墩的轉角反應相同，預應力剛度參數(shù)ρt對體系的反應基本無影響。當峰值加速度增加到0.608 1g，自由搖擺墩接近倒塌，預應力搖擺墩未發(fā)生倒塌，預應力剛度參數(shù)ρt較小(ρt=0.2)搖擺剛度為負值也能有效避免橋墩的倒塌。第二種情況，雙柱式高敦橋，橋墩墩高為20 m、截面尺寸為4 m×4 m，結構體系對應的參數(shù)為α=0.2,R=10 m和p=0.84。體系受到周期Tp=1.5 s的Ricker小波的作用，體系的無量綱頻率參數(shù)ωp/p=2π/pTp=4.98。由圖6可知，在該Ricker小波的作用下自由搖擺和預應力搖擺體系均未發(fā)生倒塌，兩者轉角反應基本相同?；谝陨戏治隹傻?，隨著搖擺墩尺寸的增加，預應力對體系地震反應的影響減小。

圖6 預應力雙柱式搖擺墩結構體系對稱Ricker波搖擺譜Fig.6 Rocking spectrum of posttensioned rocking double-column bridge system under symmetric Ricker wavelet

圖7 預應力雙柱式搖擺墩結構體系非對稱Ricker波搖擺譜Fig.7 Rocking spectrum of posttensioned rocking double-column bridge system under antisymmetric Ricker wavelet

預應力雙柱式搖擺墩結構體系在近斷層地震動作用下的搖擺譜，如圖8所示，選用的近斷層地震動信息如表1所示。由圖8可知，隨著橋墩尺寸參數(shù)R的增大，結構體系的地震反應呈明顯下降趨勢，當R>5時，預應力筋剛度參數(shù)對結構體系的地震反應基本無影響。中等尺寸搖擺墩(4

表1 地震動信息Tab.1 The selected ground motions

圖8 預應力雙柱式搖擺墩結構體系搖擺譜Fig.8 Rocking spectrum of posttensioned rocking double-column bridge system

圖9 預應力雙柱式搖擺墩結構體系轉角時程反應Fig.9 Rotation time history of posttensioned rocking double-column bridge system

4 結 論

本文以預應力雙柱式搖擺墩結構體系為研究對象，基于平面剛體搖擺建立了該類預應力雙柱式搖擺墩的剛體動力分析模型，進行了近斷層脈沖型地震動作用下的搖擺譜分析，得出以下結論：

(1)隨著預應筋無量綱剛度參數(shù)ρt的增加，預應力雙柱式搖擺墩結構體系的搖擺剛度逐漸增大，并由負值轉變?yōu)檎怠?/p>

(2)長周期脈沖地震動作用下或者橋墩為低墩時，增大預應力筋剛度可以減小橋墩的地震反應。隨著橋墩高度或者脈沖地震動頻率的增加，預應力筋剛度對橋墩地震反應的影響降低，此時預應力雙柱式搖擺墩主要依靠橋墩自身的轉動慣量抵抗地震作用。

(3)具有負搖擺剛度的預應力雙柱式搖擺墩可以有效避免體系的倒塌，且墩柱腳點處也不會產生過大的局部壓應力，可以減輕腳點處的局部損傷。