多尺度串聯(lián)非線性能量阱的減振效能及阻尼連接方式研究

陳建恩， 張維興， 劉 軍， 葛為民

(1. 天津理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院 天津市先進(jìn)機(jī)電系統(tǒng)設(shè)計(jì)與智能控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300384；2. 天津理工大學(xué) 機(jī)電工程國(guó)家級(jí)實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心，天津 300384)

傳統(tǒng)的被動(dòng)式線性吸振器只能在特定的頻率附近才能發(fā)揮較好的減振效果，難以在復(fù)雜的工程環(huán)境中有效抑制有害振動(dòng)[1-3]。非線性能量阱(nonlinear energy sink, NES)利用純非線性彈性元件構(gòu)造能量轉(zhuǎn)移路徑，具有振動(dòng)抑制頻帶寬，附加質(zhì)量小等優(yōu)點(diǎn)[4-6]。NES與主結(jié)構(gòu)之間能夠進(jìn)行靶向能量傳遞[7-8]，使NES可以高效和不可逆的耗散主結(jié)構(gòu)的振動(dòng)能量[9]。NES在減振領(lǐng)域的諸多優(yōu)勢(shì)，吸引了大量的研究者的關(guān)注。Zhang等[10]發(fā)現(xiàn)NES可以顯著減小氣動(dòng)載荷作用下的復(fù)合材料層合板的振動(dòng)。陳勇等[11]利用NES的寬頻吸振的特性對(duì)高聳結(jié)構(gòu)進(jìn)行振動(dòng)抑制。Yang等[12]使用NES來(lái)吸收輸送流體的管道的振動(dòng)能量。此外，對(duì)于梁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)[13-14]，飛行器振動(dòng)[15]，刀具運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的振動(dòng)[16]等，NES也能取得較好的減振效果。

最初的NES由單個(gè)非線性剛度元件、單個(gè)線性阻尼元件和單個(gè)質(zhì)量元件組成。對(duì)傳統(tǒng)NES進(jìn)行合理的改進(jìn)可以提高其減振效能和魯棒性，串聯(lián)NES是其中的一種較易實(shí)現(xiàn)的改進(jìn)方案。Gendelman等[17]研究了主結(jié)構(gòu)連接串聯(lián)NES后的系統(tǒng)響應(yīng)，發(fā)現(xiàn)相比單自由度NES，串聯(lián)NES具有更強(qiáng)的靶向能量傳遞能力。Grinberg等[18]研究了主結(jié)構(gòu)連接串聯(lián)NES后的周期、準(zhǔn)周期、混沌響應(yīng)，并發(fā)現(xiàn)串聯(lián)NES比單自由度NES的減振效能更強(qiáng)。Tsakirtzis等[19]研究了多自由度主結(jié)構(gòu)連接多自由度NES后的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)響應(yīng)?？讘椚实萚20]研究了簡(jiǎn)諧激勵(lì)下兩自由度NES對(duì)主結(jié)構(gòu)的振動(dòng)抑制效果，發(fā)現(xiàn)兩自由度NES可以更高效的降低主結(jié)構(gòu)的響應(yīng)幅值。Taghipour等[21]分別研究了非線性主結(jié)構(gòu)連接單自由度NES和串聯(lián)NES后的系統(tǒng)響應(yīng)，發(fā)現(xiàn)串聯(lián)NES具有更強(qiáng)的魯棒性。

現(xiàn)有研究主要針對(duì)由相同參數(shù)的純立方振子構(gòu)成的串聯(lián)NES而進(jìn)行，且NES與主結(jié)構(gòu)的連接方式通常為不接地型。串聯(lián)NES的構(gòu)造形式對(duì)其吸振效能的影響值得探索。此外，不接地型串聯(lián)NES在一定程度上克服了單自由度NES的減振效能在大幅激勵(lì)下嚴(yán)重降低的問(wèn)題，但在一些工程環(huán)境中，接地型串聯(lián)NES更易實(shí)現(xiàn)且成本更低，因此，該類型NES是否仍具有較好的減振效能，需要進(jìn)一步的研究。本文主要研究了由不同尺度純立方振子構(gòu)成的三自由度阻尼接地型NES和不接地型NES的減振效能的差異以及變化規(guī)律，并與兩種單自由度NES的減振效能進(jìn)行了比較。此外，對(duì)兩種不同類型的串聯(lián)NES中的各級(jí)純立方振子的能量耗散能力進(jìn)行了分析。

1 系統(tǒng)模型

單自由度線性主結(jié)構(gòu)連接三自由度阻尼接地型NES和不接地型NES的力學(xué)模型分別如圖1和圖2所示。兩種耦合系統(tǒng)在外激勵(lì)作用下的動(dòng)力學(xué)方程分別如式(1)和式(2)所示。

(1)

(2)

式中：x1，x2，x3，x4分別為主結(jié)構(gòu)和三級(jí)純非線性振子的位移；μ為主結(jié)構(gòu)的阻尼系數(shù)；λ1，λ2，λ3分別為三級(jí)純非線性振子的阻尼系數(shù)；K為主結(jié)構(gòu)的線性剛度系數(shù)；k1，k2，k3分別為三級(jí)純非線性振子的非線性剛度系數(shù)。

圖1 主結(jié)構(gòu)連接三自由度阻尼接地型NES的力學(xué)模型Fig.1 Mechanical model of the primary structure connected to the three-degree-of-freedom NES with grounded damping

圖2 主結(jié)構(gòu)連接三自由度不接地型NES的力學(xué)模型Fig.2 Mechanical model of the primary structure connected to the three-degree-of-freedom NES with ungrounded damping

對(duì)式(1)、式(2)引入如下變量

(3)

因此，式(1)、式(2)可以變換為

(4)

(5)

2 沖擊激勵(lì)下的系統(tǒng)響應(yīng)

利用MATLAB軟件中的龍格庫(kù)塔法分別對(duì)主結(jié)構(gòu)連接三自由度阻尼接地型NES和不接地型NES的動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行求解。本文選取的系統(tǒng)參數(shù)為

ε1=0.04，ε2=ε1/3，ε3=ε2/3,
kn1=0.3，kn2=kn1/10，kn3=kn2/10,

γ0=0.01，γ1=0.005，γ2=γ1/2，γ3=γ2/2

(6)

作用在主結(jié)構(gòu)上的沖擊載荷Γ(τ)為如下半正弦脈沖的形式

(7)

式中，T=0.4/π。

首先求得未連接NES與連接NES后的主結(jié)構(gòu)的能量變化，通過(guò)主結(jié)構(gòu)的能量變化來(lái)衡量不同的NES的減振效能的差異以及變化規(guī)律。此外，為更清晰地理解多尺度串聯(lián)NES的減振效能，將其與單自由度阻尼接地型NES和不接地型NES的減振效能進(jìn)行對(duì)比。為保證可比性，令單自由度NES的質(zhì)量等于串聯(lián)NES中的各級(jí)振子的質(zhì)量之和，阻尼等于各級(jí)振子的阻尼之和，剛度與第一級(jí)NES的剛度保持相同。

主結(jié)構(gòu)所具有的能量記為En，其值可以用以下表達(dá)式進(jìn)行計(jì)算

(8)

定義NES對(duì)主結(jié)構(gòu)的能量耗散比為

(9)

式中：η為NES對(duì)主結(jié)構(gòu)的能量耗散比；E1為未連接NES時(shí)主結(jié)構(gòu)所具有的能量；E2為連接NES時(shí)主結(jié)構(gòu)所具有的能量。

進(jìn)行計(jì)算時(shí)，要求振子的振動(dòng)能夠在仿真時(shí)間內(nèi)完全衰減，故取仿真時(shí)間τ為0～2 000。F取值間隔為0.5，求得不同激勵(lì)幅值下NES對(duì)主結(jié)構(gòu)的能量耗散比，如圖3所示。從圖3可知，在激勵(lì)幅值較低的情況下，如F=1～4時(shí)，不接地型NES的能量耗散比要遠(yuǎn)高于阻尼接地型NES，兩種接地型NES對(duì)主結(jié)構(gòu)幾乎沒(méi)有減振效果，而兩種不接地型NES對(duì)主結(jié)構(gòu)的能量耗散比可以達(dá)到0.33～0.50。此外，在激勵(lì)幅值較低時(shí)，單自由度不接地型NES對(duì)主結(jié)構(gòu)的能量耗散比要高于三自由度不接地型NES。

隨著激振力幅值的進(jìn)一步增加，四種NES的能量耗散比間的差距逐漸減小，之后在一定的激勵(lì)幅值范圍內(nèi)保持相近。當(dāng)NES的能量耗散比到達(dá)峰值后，再增加激振力的幅值，四種NES的能量耗散比均呈現(xiàn)下降趨勢(shì)。值得注意的是，三自由度阻尼接地型NES的能量耗散比的下降速率要遠(yuǎn)小于另外三種NES，且其值始終保持在一個(gè)較高的數(shù)值范圍。單自由度不接地型NES的能量耗散比的下降速率最大，其值會(huì)很快低于另外三種NES。此外，盡管單自由度阻尼接地型NES的能量耗散比的下降速率小于三自由度不接地型NES，但在一個(gè)相當(dāng)大的激勵(lì)區(qū)間內(nèi)，即F=13.5～34.5，三自由度不接地型NES的能量耗散比都要高于單自由度阻尼接地型NES。

圖3 NES的能量耗散比隨激勵(lì)幅值的變化規(guī)律Fig.3 Variations of energy dissipation ratios of the NESs with excitation amplitudes

沖擊載荷下未連接NES與連接兩種多尺度串聯(lián)NES后主結(jié)構(gòu)的波形圖，如圖4所示。由圖4可知，沖擊激勵(lì)幅值F=5，F(xiàn)=15，F(xiàn)=30時(shí)，未連接NES時(shí)主結(jié)構(gòu)的振動(dòng)達(dá)到較低振幅(即達(dá)到初始振幅的5%以下)所需時(shí)長(zhǎng)分別為τ=595，τ=600，τ=605，連接三自由度阻尼接地型NES時(shí)主結(jié)構(gòu)到達(dá)同樣的降低率時(shí)所需時(shí)間分別為τ=478，τ=278，τ=65，而連接三自由度不接地型NES時(shí)主結(jié)構(gòu)到達(dá)同樣的降低率所需時(shí)間分別為τ=300，τ=82，τ=75。

激勵(lì)幅值為F=5，F(xiàn)=15時(shí)，相比于連接三自由度阻尼接地型NES的主結(jié)構(gòu)，連接三自由度不接地型NES的主結(jié)構(gòu)可以在更短的時(shí)間內(nèi)達(dá)到較低振幅，即此時(shí)三自由度不接地型NES的減振效果好于三自由阻尼接地型NES。而當(dāng)激勵(lì)幅值為F=30時(shí)，三自由度阻尼接地型NES對(duì)主結(jié)構(gòu)的減振效果好于三自由度不接地型NES。

圖4 不同沖擊激勵(lì)幅值下主結(jié)構(gòu)的響應(yīng)Fig.4 Responses of the primary structure under different impact amplitudes

為進(jìn)一步對(duì)比分析三自由度阻尼接地型NES與不接地型NES的減振效能，令ηc，η′c分別為兩種NES中各級(jí)振子的耗能比，其值可分別用式(10)、式(11)進(jìn)行計(jì)算。

(10)

(11)

式中：ηc1，ηc2，ηc3分別為三自由度阻尼接地型NES中各級(jí)振子的耗能比；η′c1，η′c2，η′c3分別為三自由度不接地型NES中各級(jí)振子的耗能比。

兩種串聯(lián)NES中各級(jí)振子在不同激勵(lì)幅值下的耗能比，如圖5(a)和圖5(b)所示。激勵(lì)幅值較低時(shí)，即F=1～4，與圖5(a)中第一級(jí)純立方振子的耗能比接近于零不同，圖5(b)中第一級(jí)振子的耗能比可以達(dá)到0.33～0.37。而隨著激勵(lì)幅值的持續(xù)增加，在較大的激勵(lì)幅值變化范圍，如圖5(a)中F=11～50和圖5(b)中F=8.5～50.0，第一級(jí)振子的耗能比都是最低的。

圖5 不同沖擊激勵(lì)幅值下三級(jí)立方振子的耗能比Fig.5 The energy dissipation ratios of the three cubic oscillators under different impact amplitudes

在激勵(lì)幅值較低時(shí)，第三級(jí)振子的耗能比要小于另外兩級(jí)振子，而隨著激勵(lì)幅值的增大，第三級(jí)振子在對(duì)主結(jié)構(gòu)能量耗散中發(fā)揮的作用越來(lái)越大，當(dāng)沖擊激勵(lì)的幅值大于一定值后第三級(jí)振子的耗能比要遠(yuǎn)大于另外兩級(jí)振子(見(jiàn)圖5(a))。相似地，隨著激勵(lì)幅值的增大，第三級(jí)振子在對(duì)主結(jié)構(gòu)能量耗散中發(fā)揮的作用也是從最小逐漸轉(zhuǎn)換為最大(見(jiàn)圖5(b))。因此，在較大的沖擊載荷下，盡管質(zhì)量最小，但第三級(jí)振子能夠更高效地吸收并耗散主結(jié)構(gòu)的振動(dòng)能量，這也是多尺度串聯(lián)振子的特點(diǎn)與優(yōu)勢(shì)。

3 掃頻激勵(lì)下的系統(tǒng)響應(yīng)

本節(jié)對(duì)掃頻激勵(lì)下不同類型的NES的減振效能進(jìn)行對(duì)比研究。掃頻激勵(lì)的幅值F=0.01時(shí)，未連接NES和連接幾種不同的NES后的主結(jié)構(gòu)的響應(yīng)，如圖6所示。圖中Ω為激勵(lì)頻率。由圖6中的五幅子圖可知，未連接NES的主結(jié)構(gòu)的響應(yīng)幅值為0.97，連接單自由度阻尼接地型NES、單自由度不接地型NES、三自由度阻尼接地型NES、三自由度不接地型NES后主結(jié)構(gòu)的響應(yīng)幅值分別為0.23，0.21，0.23，0.20。掃頻激勵(lì)的幅值F=0.05時(shí)未連接NES和連接幾種不同的NES的主結(jié)構(gòu)的響應(yīng)圖像，如圖7所示。其相應(yīng)的響應(yīng)幅值分別為4.87，1.83，4.36，0.61，2.90。也可發(fā)現(xiàn)，激勵(lì)幅值較高時(shí)，連接NES的主結(jié)構(gòu)在高頻區(qū)間，當(dāng)Ω=1.1～1.3時(shí)，會(huì)出現(xiàn)另一個(gè)響應(yīng)波峰，但是其峰值較低(見(jiàn)圖7(b))。

圖6 掃頻激勵(lì)幅值F=0.01時(shí)未連接NES與連接NES后的主結(jié)構(gòu)響應(yīng)Fig.6 Responses of the primary structure without NES attached and connected to the NESs when the sweep excitation amplitude F=0.01

圖7 掃頻激勵(lì)幅值F=0.05時(shí)未連接NES與連接NES后的主結(jié)構(gòu)響應(yīng)Fig.7 Responses of the primary structure without NES attached and connected to the NESs when the sweep excitation amplitude F=0.05

為進(jìn)一步對(duì)比分析不同激勵(lì)幅值下不同類型的NES對(duì)主結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響，定義NES在掃頻激勵(lì)下的減振效能的計(jì)算公式，如式(12)所示(一個(gè)掃頻周期包含一次上掃頻和一次下掃頻)

(12)

式中：ηa為NES的減振效能；A1為無(wú)NES時(shí)主結(jié)構(gòu)在一個(gè)掃頻周期內(nèi)的響應(yīng)幅值；A2為連接NES時(shí)主結(jié)構(gòu)在一個(gè)掃頻周期內(nèi)的響應(yīng)幅值。

上述幾種NES的減振效能的變化曲線，如圖8所示。從圖8可知，掃頻激勵(lì)幅值較低時(shí)，即F=0.001～0.003，阻尼接地型NES的減振效能要低于不接地型NES，而三自由度不接地型NES的減振效能要低于單自由度不接地型NES。隨著掃頻幅值的增大，這四種NES的減振效能間的差距逐漸減小，減振效能逐漸相近。之后隨著掃頻幅值的繼續(xù)增加，各NES的減振效能陸續(xù)開(kāi)始降低。值得注意的是，在掃頻幅值較低時(shí)減振效能最好的單自由度不接地型NES的減振效能率先開(kāi)始下降，且會(huì)在較小的激勵(lì)幅值區(qū)間發(fā)生急劇降低，即F=0.019～0.025，單自由度不接地型NES的減振效能從0.86下降到了0.16。而在低掃頻激勵(lì)幅值時(shí)減振效能較差的三自由度阻尼接地型NES的下降趨勢(shì)較小，并且可以在激勵(lì)幅值較大時(shí)仍能保持較好的減振效能。

圖8 各NES的減振效能隨掃頻激勵(lì)幅值的變化情況Fig.8 Variations of the vibration reduction efficiency of different NESs with sweep excitation amplitudes

盡管在一些區(qū)間三自由度不接地型NES的減振效能要好于單自由度阻尼接地型NES，如F=0.027～0.045，但其減振效能的下降速率總體上要大于單自由度阻尼接地型NES，在一個(gè)較大的激勵(lì)幅值變化范圍，即F=0.047～0.100，三自由度不接地型NES的減振效能反而要遠(yuǎn)低于單自由度阻尼接地型NES(見(jiàn)圖8)。對(duì)比圖3和圖8可知，在沖擊和掃頻激勵(lì)下，四種NES的減振效能變化規(guī)律定性上一致。

令Eci和E′ci分別為三自由度阻尼接地型NES與不接地型NES中各級(jí)純立方振子的耗能，其值可分別用式(13)、式(14)進(jìn)行計(jì)算。令E表示NES總的耗能。

(13)

(14)

掃頻激勵(lì)下三自由度阻尼接地型NES與不接地型NES中各級(jí)振子的耗能，如圖9和圖10所示。對(duì)比分析圖9和圖10可得相同的結(jié)論，即激勵(lì)幅值較低時(shí)，從圖9(a)可知，當(dāng)F=0.001～0.025，三個(gè)振子在主結(jié)構(gòu)能量耗散中發(fā)揮的作用基本相同；而隨著掃頻激勵(lì)幅值的持續(xù)增加，在掃頻激勵(lì)幅值變化的較大范圍內(nèi)；當(dāng)F=0.041～0.100，第三級(jí)振子在主結(jié)構(gòu)能量耗散中發(fā)揮的作用最大，耗能最高，而第一級(jí)振子在對(duì)主結(jié)構(gòu)能量耗散中發(fā)揮的作用最小，耗能最低。不同的是，隨著激勵(lì)幅值的增加。圖10中三個(gè)振子間的耗能的差距會(huì)基本呈現(xiàn)越來(lái)越大的趨勢(shì)，而圖9中三個(gè)振子間的耗能的差距會(huì)逐漸保持相同。

圖9 三自由度阻尼接地型NES的各級(jí)純立方振子的耗能Fig.9 Energy consumption of purely cubic oscillators of the three-degree-of-freedom NES with grounded damping

圖10 三自由度不接地型NES的各級(jí)純立方振子的耗能Fig.10 Energy consumption of purely cubic oscillators of the three-degree-of-freedom NES with ungrounded damping

上掃頻和下掃頻過(guò)程中的上述幾種NES的總耗能變化曲線，如圖11所示。由圖11中的兩幅子圖可知，無(wú)論上掃頻還是下掃頻，在激勵(lì)幅值較低時(shí)，當(dāng)F=0.001～0.025，這幾種NES的耗能相差較小。隨著激勵(lì)幅值的進(jìn)一步增大；當(dāng)F=0.025～0.073，單自由度阻尼接地型NES的耗能最大，而單自由度不接地型NES的耗能最??；持續(xù)增加激振力的幅值，當(dāng)F=0.073～0.100，三自由度阻尼接地型NES的耗能最大，而單自由度不接地型NES的耗能依然最小(見(jiàn)圖11(b))。

圖11 不同掃頻激勵(lì)幅值下各NES的耗能Fig.11 Energy consumption of the NESs with different sweep excitation amplitudes

4 結(jié) 論

對(duì)比研究了沖擊和掃頻激勵(lì)下不同類型NES的減振效能的差異和隨激勵(lì)增大的變化規(guī)律，并分析了串聯(lián)NES中各級(jí)純立方振子的能量耗散能力的不同。主要結(jié)論如下：

沖擊和掃頻激勵(lì)幅值較低時(shí)，不接地型NES的減振效能要高于阻尼接地型NES，單自由度不接地型NES對(duì)主結(jié)構(gòu)的減振效能高于三自由度不接地型NES，隨著激振力幅值的進(jìn)一步增加，四種NES的能量耗散比間的差距逐漸減小，之后在一定的激勵(lì)幅值范圍內(nèi)保持相近。隨著激勵(lì)幅值的繼續(xù)增加，在較寬的激勵(lì)幅值變化范圍內(nèi)，三自由度阻尼接地型NES能夠在較大激勵(lì)幅值范圍內(nèi)始終能夠保持較好的減振效能。

兩種串聯(lián)NES的各級(jí)純立方振子在能量耗散中發(fā)揮的作用均隨激勵(lì)幅值的增加而變化，當(dāng)激勵(lì)幅值較大時(shí)，質(zhì)量最小的第三級(jí)振子反而能夠最大程度的消耗能量。此外，在不同的激勵(lì)類型下，四種NES的減振效能的變化規(guī)律在定性上一致。所不同的是，在掃頻激勵(lì)下，兩種不接地型NES的效能會(huì)發(fā)生跳躍式下降，接地型NES則沒(méi)有發(fā)生這種現(xiàn)象。