一個新的涉及高階導函數(shù)的半離散Hilbert型不等式

王愛珍, 楊必成

(廣東第二師范學院 數(shù)學系, 廣州 510303)

0 引 言

(1)

文獻[2]通過引入?yún)?shù)λi∈(0,2](i=1,2),λ1+λ2=λ∈(0,4], 并應用Euler-Maclaurin求和公式, 建立了式(1)的如下推廣式:

(2)

這里常數(shù)因子B(λ1,λ2)是最佳值, 且

為Beta函數(shù).當p=q=2,λ1=λ2=λ/2時, 由式(2)可推導出文獻[3]的一個結(jié)果.利用式(2)及Abel部分求和公式, Adiyasuren等[4]給出了核為(m+n)-λ涉及兩個部分和的Hilbert型不等式.不等式(1)及其積分形式在分析學中應用廣泛[5-15].

(3)

文獻[16-20]給出了式(3)的應用.利用實分析技巧, 洪勇等[21]給出了式(1)推廣式中最佳常數(shù)因子聯(lián)系多參數(shù)的一個等價陳述; 其他類似研究結(jié)果可參見文獻[22-28].文獻[29]給出了逆向半離散Hilbert型不等式的一些新成果.

本文基于文獻[4,21], 用權(quán)函數(shù)方法及實分析技巧, 求出一個新的核(x+nα)-(λ+m)的涉及高階導函數(shù)的半離散Hilbert型不等式.作為應用, 討論了不等式中最佳常數(shù)因子聯(lián)系多參數(shù)的等價條件及一些特殊不等式.

1 引 理

為方便, 本文設p>1, 1/p+1/q=1,m∈∶={0,1,…},α,λ>0,λ1∈(0,λ),λ2∈(0,1/α]∩(0,λ),

kλ(λi)∶=B(λi,λ-λi) (i=1,2),

(4)

引理1定義權(quán)函數(shù):

(5)

則有如下不等式成立:

(6)

(7)

故式(6)成立.證畢.

引理2如下推廣的半離散Hardy-Hilbert不等式成立:

證明: 做變換u=x/nα, 可得如下另一個權(quán)函數(shù)表達式:

(9)

由H?lder不等式[30], 有

若式(10)中間取等號, 則存在不全為0的常數(shù)A,B, 使得

不妨設A≠0, 則存在n∈, 使得

(11)

引理3對于t>0, 如下不等式成立:

(12)

證明: 因為f(k-1)(0+)=0(k=1,2，…,m), 故由部分積分法有

迭代后可求出式(12).證畢.

注1若m=0, 則由于f(0)(x)=f(x), 式(12)取等號.

2 主要結(jié)果

定理1如下涉及一個高階導函數(shù)的半離散Hilbert型不等式成立:

證明: 因為有

故由L逐項積分定理[31]及式(11), 有如下不等式:

再由式(8)有式(13).證畢.

帶殼、不帶殼烘焙種籽衣提取液全波長掃描結(jié)果如圖 5-a和圖 5-b。所有樣品吸收峰波長都位于274～279 nm之間。其中，未處理種籽衣提取液吸收峰波長為275.5 nm，吸光值為1.00；帶殼烘焙40 min種籽衣提取液吸收峰波長為275.0 nm,吸光值最高1.13；不帶殼烘焙20 min種籽衣提取液吸收峰波長為278.5 nm，吸光值為1.12。說明烘焙過程中活性成分種類以及含量是發(fā)生變化的。Alasalvar等[26]研究的榛子種籽衣提取物吸收峰波長為282 nm，說明兩者活性成分較為接近。

證明: 充分性.若λ1+λ2=λ(∈(0,∞)), 對任給0<ε

則除x=1外, 可求得

(15)

由式(15)及級數(shù)的遞減性質(zhì), 可得

基于上述結(jié)果, 有

令ε→0+, 由Beta函數(shù)的連續(xù)性, 有

(17)

(18)

特別地, 當r=q,s=p時, 有

(19)

當m=0時, 有如下半離散Hardy-Hilbert不等式:

(20)

故式(13)(式(14))是式(20)的一種新推廣.

當r=p,s=q時, 有式(19)的如下對偶形式:

(21)

當p=q=2時, 式(19)和式(21)均變?yōu)槿缦潞啙嵉腍ilbert型不等式:

(22)