一類(lèi)食餌-捕食模型的穩(wěn)定性和Hopf分支的存在性

姚佳佳, 沈 維

(蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院, 蘭州 730070)

0 引 言

食餌-捕食模型對(duì)保持自然界中生物種群之間的關(guān)系有重要作用. 為更好地反映不同種群的特定特征, 目前對(duì)具有不同功能食餌-捕食模型的研究已得到廣泛關(guān)注[1-6]. Aziz-Alaoui等[7]提出了修正的Leslie-Gower模型：

(1)

其中u和v表示相對(duì)于時(shí)間t的種群密度,r1,b1,a1,k1,r2,a2,k2為模型中正的參數(shù).文獻(xiàn)[1]證明了模型(1)的有界性和正不變吸引集的存在性, 得到了該模型正平衡點(diǎn)全局穩(wěn)定性的條件.Zhu等[8]研究了修正的Leslie-Gower捕食-食餌模型:

(2)

但在自然界獵物捕食食餌轉(zhuǎn)化為自身能量的過(guò)程中, 存在一定的時(shí)間間隔, 從而使結(jié)果產(chǎn)生差異, 因此本文考慮加入時(shí)滯τ代替時(shí)間間隔.基于模型(2), 本文考慮時(shí)滯捕食模型：

(3)

1 常微分方程正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

下面利用文獻(xiàn)[12]的方法討論系統(tǒng)(3)正平衡點(diǎn)U0的穩(wěn)定性和Hopf分支.在正平衡點(diǎn)U0處線(xiàn)性化系統(tǒng)(3), 得

(4)

系統(tǒng)(3)的特征方程為

(5)

當(dāng)τ=0時(shí), 方程(5)變?yōu)?/p>

(6)

定理1當(dāng)τ=0時(shí), 系統(tǒng)(3)的正平衡點(diǎn)U0是局部漸近穩(wěn)定的.

(7)

對(duì)于系統(tǒng)(3)的任意解u(t),v(t), 有

(8)

證明: 由于當(dāng)t>0時(shí),u(t)和v(t)非負(fù), 因此

(9)

(10)

(11)

由引理1進(jìn)一步可得如下結(jié)論:

(12)

對(duì)于系統(tǒng)(3)的任意解u(t),v(t), 有

(13)

(14)

證明: 由式(7)～式(14)可得

(15)

(16)

則當(dāng)n≤k時(shí), 由方程(12)有

同理可得

證畢.

(17)

從而由方程(17)可得如下結(jié)論:

(18)

定理2假設(shè)rβ>2α成立, 則系統(tǒng)(3)的唯一正平衡點(diǎn)U0是全局漸近穩(wěn)定的.

證明: 假設(shè)引理1的條件成立, 則由式(17)可得

(19)

(20)

而當(dāng)rβ>2α成立時(shí), 有

(21)

2 時(shí)滯微分方程正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

下面考慮時(shí)滯τ對(duì)系統(tǒng)(3)正平衡點(diǎn)U0穩(wěn)定性的影響.在方程(5)中令

假設(shè)方程(5)有一對(duì)純虛根λ=±iω(ω>0), 則

-ω2+ia1ω+(b1iω+b0)(cos(ωτ)-isin(ωτ))=0.

分離實(shí)、 虛部可得

(22)

將式(22)等號(hào)兩邊平方相加, 得

(23)

h(z)=z2+pz+q=0.

(24)

(25)

由方程(25)可知, 相應(yīng)于ω的τ滿(mǎn)足

(26)

證明: 將λ(τ)代入式(5)并關(guān)于τ微分, 可得

(27)

注意到

[λ(b1λ+b0)]τ=τj=-b1ω2+ib0ω,

(28)

[(2λ+a1)eλτ]τ=τj=[-2ωsin(ωτj)+a1]+i[-2ω+a1sin(ωτj)].

(29)

由式(27)～(29), 易得

由引理5進(jìn)一步可得如下結(jié)論：

定理3假設(shè)ω由式(25)給出,τj(j=0,1,2,…)由式(26)定義, 則:

1) 當(dāng)τ∈[0,τ0)時(shí), 系統(tǒng)(3)的正平衡點(diǎn)U0是局部漸近穩(wěn)定的;

2) 當(dāng)τ>τ0時(shí), 系統(tǒng)(3)的正平衡點(diǎn)U0是不穩(wěn)定的;

3) 當(dāng)τ=τj(j=0,1,2,…)時(shí), 系統(tǒng)(3)在U0處出現(xiàn)Hopf分支.

3 數(shù)值模擬

下面利用MATLAB軟件包和求解常微分方程初值問(wèn)題的數(shù)值方法對(duì)本文所得理論結(jié)果進(jìn)行數(shù)值驗(yàn)證, 結(jié)果分別如圖1～圖3所示.

圖1 當(dāng)α=1, β=2, r=2, s=2時(shí), 系統(tǒng)(3)正平衡點(diǎn)U0=(0.75,0.875)的焦點(diǎn)(A)及當(dāng)α=1, β=2, r=1, s=4時(shí), 系統(tǒng)(3)正平衡點(diǎn)U0=(0.5,0.75)的節(jié)點(diǎn)(B)Fig.1 Focus of positive equilibrium point U0=(0.75,0.875) for system (3) when α=1, β=2, r=2, s=2 (A), and node of positive equilibrium point U0=(0.5,0.75) for system (3) when α=1, β=2, r=1, s=4 (B)

圖2 當(dāng)τ=0.5時(shí), 系統(tǒng)(3)正平衡點(diǎn)U0=(0.5,0.75)的局部漸近穩(wěn)定相圖Fig.2 Local asymptotic stable phase diagram of positive equilibrium point U0=(0.5,0.75) for system (3) when τ=0.5

由圖1可見(jiàn), 系統(tǒng)(3)的正平衡點(diǎn)U0在τ0處是局部漸近穩(wěn)定的.由圖2可見(jiàn)， 取τ=0.5, 由定理3可知當(dāng)τ∈[0,τ0)時(shí), 系統(tǒng)(3)的正平衡點(diǎn)U0是局部漸近穩(wěn)定的.由圖3可見(jiàn)， 取τ=2, 當(dāng)τ>τ0時(shí), 系統(tǒng)(3)的正平衡點(diǎn)U0是不穩(wěn)定的.

圖3 當(dāng)τ=2時(shí), 系統(tǒng)(3)初值為(u0,v0)=(1,2)時(shí)的函數(shù)圖像(A)和初值為(u0,v0)=(0.8,0.9)時(shí)的函數(shù)圖像(B), 以及對(duì)應(yīng)系統(tǒng)(3)正平衡點(diǎn)U0=(0.5,0.75)不穩(wěn)定且分支周期解是軌道漸近穩(wěn)定的相圖(C)Fig.3 Function image of initial value (u0,v0)=(1,2) (A) and initial value (u0,v0)=(0.8,0.9) (B) for system (3), and corresponding phase diagram (C) of positive equilibrium point U0=(0.5,0.75) for system (3) unstable and orbit asymptotic stability of branch periodic solutions when τ=2