數(shù)學(xué)教學(xué)中問題鏈創(chuàng)設(shè)的實(shí)踐與思考

【摘 要】數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的過程是提出問題、解決問題、提出新問題、解決新問題的過程?？梢妴栴}的提出與解決對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)至關(guān)重要。數(shù)學(xué)問題鏈?zhǔn)侵附處熢谡n外預(yù)設(shè)，并在課堂上以多種方式呈現(xiàn)給學(xué)生的、有序的主干問題序列，它既為學(xué)生提供了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的骨架，又為學(xué)生發(fā)展高水平的思維提供了可能性。數(shù)學(xué)問題鏈有助于數(shù)學(xué)知識(shí)的生成，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的深刻理解。一個(gè)有效的問題鏈的創(chuàng)設(shè)需體現(xiàn)整體性、思維性、主體性和發(fā)展性。

【關(guān)鍵詞】問題鏈;整體性;思維性;主體性;發(fā)展性

【作者簡(jiǎn)介】何睦，浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院博士研究生，一級(jí)教師，張家港市學(xué)術(shù)帶頭人，新青年數(shù)學(xué)教師工作室成員，張家港市羅建宇名師工作室成員，主要研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)課程與教學(xué)研究。

數(shù)學(xué)家哈爾莫斯曾指出，問題是數(shù)學(xué)的心臟。數(shù)學(xué)的發(fā)展過程可以看成是以下模式：?jiǎn)栴}的提出→問題的解決→新的問題的提出→新的問題的解決……可見問題的提出與解決對(duì)于數(shù)學(xué)研究至關(guān)重要。數(shù)學(xué)課堂教學(xué)是關(guān)于數(shù)學(xué)的教學(xué)，因此，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的過程也可以認(rèn)為是提出問題、解決問題、提出新問題、解決新問題的過程。數(shù)學(xué)新課程改革倡導(dǎo)“問題—建立模型—解釋、應(yīng)用與拓展”的課程模式?？梢姡n程改革將問題作為數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的源頭，是課堂教學(xué)的起點(diǎn)。以問題鏈的形式開展數(shù)學(xué)教學(xué)無疑有助于數(shù)學(xué)知識(shí)的生成，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的深刻理解。下面筆者結(jié)合數(shù)學(xué)問題鏈的教學(xué)實(shí)踐，談?wù)勛约旱囊恍┭芯亢退伎肌?/p>

一、問題鏈的概念與內(nèi)涵

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是當(dāng)前數(shù)學(xué)教育課程改革的核心要素與主題，而問題鏈教學(xué)正是開展深度學(xué)習(xí)的重要途徑，同時(shí)也為核心素養(yǎng)的落地提供了現(xiàn)實(shí)載體[1]。鑒于此，越來越多的研究者關(guān)注問題鏈教學(xué)，他們有的從理論層面探討問題鏈教學(xué)與思維的關(guān)聯(lián)[2]與教學(xué)價(jià)值[3]，也有從實(shí)踐層面探討問題鏈教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施過程[4]。近年來，以浙江師范大學(xué)唐恒鈞、張維忠教授領(lǐng)銜的研究團(tuán)隊(duì)在系統(tǒng)研究“問題”與“問題解決”的基礎(chǔ)上，提出了“問題鏈”的基本概念。他們認(rèn)為，數(shù)學(xué)問題鏈?zhǔn)侵附處熢谡n外預(yù)設(shè)，并在課堂上以多種方式呈現(xiàn)給學(xué)生的、有序的主干問題序列，它既為學(xué)生提供了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的骨架，又為學(xué)生發(fā)展高水平的思維提供了可能性[5]。其內(nèi)涵主要包括以下五個(gè)方面：第一，問題鏈?zhǔn)怯芍鞲蓡栴}組成的;第二，問題鏈中的問題是有序的;第三，問題鏈?zhǔn)窃谡n外預(yù)設(shè)的，但并非線性的、僵化的;第四，問題鏈教學(xué)倡導(dǎo)用主干問題驅(qū)動(dòng)學(xué)生思考，為學(xué)生提供冷靜思考的時(shí)間和充分表達(dá)的機(jī)會(huì);第五，盡管問題鏈中的問題以教師課外預(yù)設(shè)為主，課堂上卻是在師生交互作用下得以呈現(xiàn)的。

二、數(shù)學(xué)教學(xué)中問題鏈創(chuàng)設(shè)的教學(xué)實(shí)踐

不管是數(shù)學(xué)概念的形成還是數(shù)學(xué)規(guī)律的建構(gòu)，都離不開問題的引導(dǎo)?？梢哉f，問題是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重要組織形式。現(xiàn)以筆者執(zhí)教的一節(jié)市級(jí)公開課“函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解”為例，談?wù)劰P者的做法和思考。

“函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解”是人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第四章第五節(jié)的內(nèi)容。本節(jié)內(nèi)容要求學(xué)生了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程解的關(guān)系;結(jié)合具體連續(xù)函數(shù)及其圖象的特點(diǎn)，了解函數(shù)零點(diǎn)存在定理。本節(jié)課的難點(diǎn)在于函數(shù)零點(diǎn)存在定理的導(dǎo)出，教學(xué)過程以“概念—定理—應(yīng)用”的線索展開。因此，筆者將教學(xué)設(shè)計(jì)分解為函數(shù)零點(diǎn)的概念、函數(shù)零點(diǎn)存在定理的導(dǎo)出、函數(shù)零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用。

環(huán)節(jié)一：通過問題鏈引出函數(shù)零點(diǎn)的概念

問題1：下列方程有實(shí)數(shù)根嗎？

（1）x2-2x-3=0;（2）x3+x-2=0;（3）lnx+2x-6=0。

人類用智慧架設(shè)的無數(shù)座從已知通向未知的金橋中，方程的求解是其中最璀璨的一座。 數(shù)學(xué)情境的引入有兩種方式：一是從現(xiàn)實(shí)情境出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生從現(xiàn)實(shí)情境逐步抽象數(shù)學(xué)問題;二是從數(shù)學(xué)情境出發(fā)。本節(jié)課主要探討函數(shù)零點(diǎn)與方程的解的關(guān)系，因此從數(shù)學(xué)情境（解方程）入手，能引發(fā)學(xué)生更深層次的思考。

問題2：二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）與一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有何聯(lián)系？

（1）方程x2-2x-3=0的解為_________，函數(shù)y=x2-2x-3的圖象與x軸有_________個(gè)交點(diǎn)，坐標(biāo)為_________。

（2）方程x2-2x+1=0的解為_________，函數(shù)y=x2-2x+1的圖象與x軸有_________個(gè)交點(diǎn)，坐標(biāo)為_________。

（3）方程x2-2x+3=0的解為_________，函數(shù)y=x2-2x+3的圖象與x軸有_________個(gè)交點(diǎn)，坐標(biāo)為_________。

問題3：根據(jù)問題2的研究，你有什么發(fā)現(xiàn)？

教師以學(xué)生熟悉的二次函數(shù)與一元二次方程引入，引導(dǎo)學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)一元二次方程的根與二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等這一事實(shí)，自然引出本節(jié)課的基本概念：函數(shù)的零點(diǎn)。

環(huán)節(jié)二：函數(shù)零點(diǎn)存在定理的導(dǎo)出

問題4：對(duì)于二次函數(shù)f（x）=x2-2x-3，觀察它的圖象，發(fā)現(xiàn)它在區(qū)間[2，4]上有零點(diǎn)，這時(shí)，函數(shù)圖象與x軸有什么關(guān)系？在區(qū)間[-2，0]上是否也有這種關(guān)系？

問題5：圖1的（1）（2）（3）分別為函數(shù)y=f（x）在三個(gè)不同范圍的圖象，能否僅依據(jù)其中一個(gè)圖象，得出函數(shù)y=f（x）在某個(gè)區(qū)間只有一個(gè)零點(diǎn)的判斷？為什么？

問題6：從二次函數(shù)圖象直觀地看，圖象只要穿過x軸函數(shù)就有零點(diǎn)（不穿過也不一定沒有零點(diǎn)），這是從圖形上來看的，但是圖形不一定準(zhǔn)確，需要利用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推理得出相應(yīng)的結(jié)論，那么如何從數(shù)學(xué)上更準(zhǔn)確地描述穿過x軸？

問題4仍然從學(xué)生熟悉的二次函數(shù)入手研究連續(xù)函數(shù)在給定區(qū)間上存在零點(diǎn)的幾何特征：圖象穿過x軸。 但是當(dāng)自變量取值范圍不同時(shí)，學(xué)生有可能會(huì)因?yàn)閳D象呈現(xiàn)出的細(xì)節(jié)不同會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤的判斷。 問題5的設(shè)置意在引導(dǎo)學(xué)生由“形”一步步的轉(zhuǎn)向“數(shù)”的探索與研究，一個(gè)“大致”的函數(shù)圖象有時(shí)不足以說明零點(diǎn)問題。 因此，必須將圖形特征與代數(shù)特征相結(jié)合，以進(jìn)一步說明研究函數(shù)零點(diǎn)存在代數(shù)特征（函數(shù)零點(diǎn)存在定理）的必要性。 問題6則是在此基礎(chǔ)上的進(jìn)一步追問。

問題7：觀察下面的函數(shù)圖象（如圖2），并完成下列思考。

① 函數(shù)記為y=f（x），在[-2，-1]是否有零點(diǎn)？在[1，2]呢？為什么？

② 任取一個(gè)區(qū)間[a，b][-2，-1]，當(dāng)f（a），f（b）的值滿足什么條件時(shí)，函數(shù)y=f（x）在（a，b）內(nèi)一定有零點(diǎn)？

③ 若f（a）f（b）<0，則y=f（x）在區(qū)間（a，b）上一定有零點(diǎn)嗎？

問題8：由問題7的探究，你能給出函數(shù)在給定區(qū)間存在零點(diǎn)的代數(shù)特征嗎？

教師再一次由函數(shù)的圖象，逐步引導(dǎo)學(xué)生導(dǎo)出函數(shù)零點(diǎn)存在的代數(shù)表征。在該過程中，由“形”到“數(shù)”是學(xué)生認(rèn)知的一大難點(diǎn)，要給足學(xué)生冷靜思考的時(shí)間與充分表達(dá)的機(jī)會(huì)。

問題9：辨析下列命題。

① 如果函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸有公共點(diǎn)，則函數(shù)y=f（x）是否一定存在零點(diǎn)？

② 如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條不間斷的曲線，且f（a）f（b）<0，那么函數(shù)y=f（x）在（a，b）上是否有唯一零點(diǎn)？

③ 如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條不間斷的曲線，且是單調(diào)函數(shù)，f（a）f（b）<0，那么函數(shù)y=f（x）在（a，b）上是否有唯一零點(diǎn)？

④ 如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條不間斷的曲線，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）有零點(diǎn)，那么f（a）f（b）<0是否成立？

⑤ 如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條不間斷的曲線，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）有唯一零點(diǎn)，那么f（a）f（b）<0是否成立？

學(xué)生在經(jīng)歷了問題7和問題8后得到的定理內(nèi)容往往不夠完整，學(xué)生建構(gòu)的定理可能為“函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上滿足f（a）f（b）<0，則函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）上有一個(gè)零點(diǎn)”等，往往會(huì)忽略“連續(xù)不間斷”“存在零點(diǎn)”這兩個(gè)關(guān)鍵要素。因此，通過對(duì)定理的辨析，教師不斷地引導(dǎo)學(xué)生分析函數(shù)零點(diǎn)存在定理的本質(zhì)屬性，排除非本質(zhì)屬性對(duì)定理認(rèn)知的干擾。

環(huán)節(jié)三：函數(shù)零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用

問題10：已知函數(shù)y=f（x）的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有如下對(duì)應(yīng)值表（見表1）。

① 函數(shù)y=f（x）在哪幾個(gè)區(qū)間內(nèi)一定有零點(diǎn)？為什么？

② 能判斷出有幾個(gè)零點(diǎn)嗎？為什么？

問題11：求方程lnx+2x-6=0的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)。

思考1 為什么由f（2）·f（3）<0還不能說明函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)？

思考2 能通過計(jì)算，進(jìn)一步縮小函數(shù)零點(diǎn)所在的范圍嗎？你能提出什么問題？

問題10與問題11是對(duì)函數(shù)零點(diǎn)存在定理的直接應(yīng)用，意在鞏固深化學(xué)生對(duì)定理內(nèi)容的認(rèn)識(shí)，進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)定理使用的條件與關(guān)鍵。 問題10的函數(shù)以列表法形式給出，引導(dǎo)學(xué)生觀察數(shù)據(jù)特征進(jìn)而做出判斷;問題11的函數(shù)則以解析式形式給出，從數(shù)與形兩個(gè)角度幫助學(xué)生理解解題方法;思考2則為下一節(jié)課利用二分法求方程的近似解埋下伏筆。

三、數(shù)學(xué)教學(xué)中問題鏈創(chuàng)設(shè)的有效性思考

基于“函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解”的教學(xué)，筆者對(duì)問題鏈創(chuàng)設(shè)的教學(xué)實(shí)踐做以下思考。

（一）問題鏈的創(chuàng)設(shè)需體現(xiàn)整體性

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)一般會(huì)以某條固定的結(jié)構(gòu)線索展開，如本課例是按照“概念—定理—應(yīng)用”的線索開展的。因此，在開展問題鏈設(shè)計(jì)時(shí)，教師必須整體把握教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)線索，從整體視角對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行解構(gòu)與設(shè)計(jì)。具體來說，要熟知本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)，本節(jié)內(nèi)容在整節(jié)或整章中的地位和作用，本節(jié)內(nèi)容在整個(gè)數(shù)學(xué)分支學(xué)科中的價(jià)值，以及通過本節(jié)課學(xué)生能獲得什么樣的基本知識(shí)、基本技能、基本數(shù)學(xué)思想方法、基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)等。只有通過對(duì)教學(xué)內(nèi)容的整體理解和把握，才能在問題鏈的設(shè)計(jì)中得以體現(xiàn)。因此，問題鏈的設(shè)計(jì)首先應(yīng)指向本節(jié)課的教學(xué)主題與教學(xué)內(nèi)容，在對(duì)本節(jié)課結(jié)構(gòu)線索解構(gòu)的基礎(chǔ)上進(jìn)行分解與劃分。同時(shí)還應(yīng)兼顧本節(jié)課在本章或本學(xué)科分支中的地位與價(jià)值，以及通過本節(jié)課如何培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，以實(shí)現(xiàn)教學(xué)整體性的同時(shí)真正實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)的育人價(jià)值。

（二）問題鏈的創(chuàng)設(shè)需體現(xiàn)思維性

蘇聯(lián)學(xué)者加里寧曾說，數(shù)學(xué)是思維的體操。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要以學(xué)生一定的思維發(fā)展水平為前提，反過來，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)又能在很大程度上促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展。因此，在問題鏈設(shè)計(jì)時(shí)，教師必須考慮學(xué)生的認(rèn)知水平與思維水平，以體現(xiàn)思維性。具體來說，問題鏈的創(chuàng)設(shè)不能因低估學(xué)生認(rèn)知能力與思維發(fā)展的水平而降低教學(xué)要求，如此不僅不能產(chǎn)生合適的課堂認(rèn)知沖突而使課堂枯燥無味，也不利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展。與此同時(shí)，問題鏈的創(chuàng)設(shè)也不能難度跨度過大，這樣不僅不能激發(fā)學(xué)生的求知欲望，還會(huì)加重學(xué)生的學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)，從而導(dǎo)致學(xué)生厭惡數(shù)學(xué)的可能性。由此看來，問題鏈的創(chuàng)設(shè)要有思維的遞進(jìn)，利用問題鏈給學(xué)生搭建合適的思維臺(tái)階，在學(xué)生的“思維發(fā)展區(qū)”的范圍內(nèi)設(shè)置合理、適當(dāng)?shù)膯栴}鏈。在向?qū)W生展示問題鏈時(shí)，教師要根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平和思維能力做出精心的設(shè)計(jì)，既要呈現(xiàn)數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性，還應(yīng)排除數(shù)學(xué)對(duì)象非本質(zhì)屬性對(duì)學(xué)生認(rèn)知的干擾。

（三）問題鏈的創(chuàng)設(shè)需體現(xiàn)主體性

問題鏈光靠教師的設(shè)計(jì)還不足以保證問題鏈創(chuàng)設(shè)的有效性，學(xué)生親歷問題鏈的生成過程才是關(guān)鍵，因此問題鏈的創(chuàng)設(shè)需正確處理預(yù)設(shè)與生成的關(guān)系，需體現(xiàn)學(xué)生的主體性。學(xué)生的主體性主要表現(xiàn)在以下兩個(gè)方面。

第一，問題鏈的生成必須有學(xué)生積極的思維參與。當(dāng)前的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，有些數(shù)學(xué)活動(dòng)實(shí)際上只是學(xué)生機(jī)械地執(zhí)行活動(dòng)，很多時(shí)候?qū)W生只是被動(dòng)地接受教師的指令，沒有學(xué)生主體性的體現(xiàn)。課堂教學(xué)看似有生成，但只是教師的生成，并非是學(xué)生的

生成。問題鏈的創(chuàng)設(shè)要多給學(xué)生留足冷靜思考的時(shí)機(jī)和空間，引導(dǎo)學(xué)生多用規(guī)范的數(shù)學(xué)語言表達(dá)。

第二，問題鏈的生成必須根據(jù)學(xué)生課堂的實(shí)際情況進(jìn)行調(diào)整。問題鏈的預(yù)設(shè)只是教師根據(jù)自身教育教學(xué)的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)開展的設(shè)計(jì)。但同樣的教學(xué)內(nèi)容，不同的教學(xué)對(duì)象、教學(xué)環(huán)境抑或是引導(dǎo)語都會(huì)有不同的生成。因此，教師必須隨時(shí)根據(jù)學(xué)生在課堂中的實(shí)際應(yīng)答做出相應(yīng)的調(diào)整。教師要在課堂中不斷地磨煉自己并形成教學(xué)智慧，從而更好地應(yīng)對(duì)課堂中出現(xiàn)的預(yù)設(shè)與生成的偏差。

（四）問題鏈的創(chuàng)設(shè)需體現(xiàn)發(fā)展性

教育部于2013年啟動(dòng)了普通高中課程修訂工作，于2018年初正式發(fā)布了各科的普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)的修訂版，這一次的修訂進(jìn)一步凝練了學(xué)科核心素養(yǎng)、更新了學(xué)科的教學(xué)內(nèi)容、研制了學(xué)科的學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)、進(jìn)一步增強(qiáng)了標(biāo)準(zhǔn)的指導(dǎo)性。課程標(biāo)準(zhǔn)明確提出數(shù)學(xué)教學(xué)的總目標(biāo)之一是逐步學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、直觀想象素養(yǎng);用數(shù)學(xué)的思維分析世界，發(fā)展邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng);用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界，發(fā)展數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)，增強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力[6]?？梢姅?shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)應(yīng)成為數(shù)學(xué)教師進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)的根本出發(fā)點(diǎn)，數(shù)學(xué)教學(xué)必須直接指向?qū)W生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升。因此，問題鏈的創(chuàng)設(shè)必須體現(xiàn)發(fā)展性，即要兼顧學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展和關(guān)鍵能力的提升。教師應(yīng)充分開展對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)的研究，深入把握培養(yǎng)學(xué)生的哪些數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和培養(yǎng)到什么程度等問題，深刻理解課程標(biāo)準(zhǔn)中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)涵與數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平的劃分標(biāo)準(zhǔn)，把握對(duì)學(xué)生的總體期望，將課程標(biāo)準(zhǔn)中的核心素養(yǎng)的內(nèi)涵和水平層次具化為問題鏈設(shè)計(jì)的每個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)，以更好地實(shí)現(xiàn)學(xué)科育人的總目標(biāo)。

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（責(zé)任編輯：陸順演）