基于液晶光波導(dǎo)的電控偏振旋轉(zhuǎn)器

查正桃，張謙述

（1.西華師范大學(xué) 物理與天文學(xué)院,四川 南充 637009；2.西華師范大學(xué) 電子信息工程學(xué)院,四川 南充 637009）

1 引言

偏振旋轉(zhuǎn)器作為偏振調(diào)制系統(tǒng)中最重要的器件之一[1]，可在不移動(dòng)偏振器件的情況下利用波導(dǎo)中場分量間的能量耦合效應(yīng)實(shí)現(xiàn)波導(dǎo)中橫電(Transverse Electric,TE)、橫 磁(Transverse Magnetic,TM)模式的相互轉(zhuǎn)換[2]，已被廣泛應(yīng)用于密集波分復(fù)用系統(tǒng)[3]，陣列波導(dǎo)光柵解復(fù)用器[4]、光交叉連接[5]等研究領(lǐng)域。

傳統(tǒng)偏振旋轉(zhuǎn)器為無源型器件，主要通過基于非對(duì)稱周期脊形波導(dǎo)[6-7]、彎曲波導(dǎo)[8-9]、混合等離子體光子晶體光纖[10]、傾斜截面波導(dǎo)[11]等技術(shù)實(shí)現(xiàn)。其中，傾斜截面波導(dǎo)能極大地減小偏振轉(zhuǎn)換長度(Polarization Conversion Length,PCL)以及傳輸損耗，但對(duì)傾斜角度的尺寸要求非常嚴(yán)格，此外，上述其余技術(shù)均存在PCL 較大的應(yīng)用局限。為此，近年來基于液晶光波導(dǎo)的電控偏振旋轉(zhuǎn)器[5,12]逐漸引起了研究人員的興趣，因?yàn)橄蛄邢嘁壕Р牧暇哂写蟮墓鈱W(xué)雙折射[13]，可滿足當(dāng)前偏振旋轉(zhuǎn)器的超短PCL 的需要；其次，由于液晶的大電光效應(yīng)導(dǎo)致其指向矢易被低電壓驅(qū)動(dòng)[14]，使得液晶光波導(dǎo)偏振旋轉(zhuǎn)器的電調(diào)諧易于實(shí)現(xiàn)。一般地，液晶光波導(dǎo)都存在取向?qū)?，使得液晶指向矢被錨定。根據(jù)Freedericksz 轉(zhuǎn)變[15]，當(dāng)外加電壓導(dǎo)致液晶指向矢發(fā)生偏轉(zhuǎn)時(shí)，其偏轉(zhuǎn)角度是沿外加電場方向漸變的，而在上述這些電控偏振旋轉(zhuǎn)器的研究中并未考慮液晶指向矢的漸變特性。因此，其得出的偏振旋轉(zhuǎn)效率(Polarization Conversion Efficiency,PCE)是不準(zhǔn)確的。

為了更準(zhǔn)確地分析基于液晶光波導(dǎo)的電控偏振旋轉(zhuǎn)器的PCL 和PCE，本文在向列相液晶介電張量沿著一個(gè)維度漸變的條件下，首先分析了由液晶磁場耦合方程組得出的本征值方程，以便于確定PCL 與外加電壓的關(guān)系；然后對(duì)液晶光波導(dǎo)中的電場傳輸方程進(jìn)行橫向有限差分離散，進(jìn)而得到了交替方向隱式束傳播法(Alternate Direction Implicit-Beam Propagation Method,ADI-BPM)迭代方程組的顯式表達(dá)式，用于求解液晶光波導(dǎo)中的傳播場，從而計(jì)算出不同外加電壓下的PCE。最后，給出一個(gè)數(shù)值案例，通過求解本征模式分析了液晶指向矢的漸變特性對(duì)外加電壓調(diào)控PCL的影響；進(jìn)一步地，將PCL 作為波導(dǎo)長度進(jìn)行傳輸場的求解，并與在液晶場致重新取向均勻（液晶分子的最大偏轉(zhuǎn)角作為所有液晶分子的偏轉(zhuǎn)角）的假設(shè)下得出的傳播場進(jìn)行比較，分析了液晶指向矢的漸變特性對(duì)電場分布以及PCE 的影響。

2 原理分析

被各向同性包層環(huán)繞的向列相液晶芯光波導(dǎo)如圖1(a)所示，其液晶芯區(qū)的寬，厚分別為w,h。

圖1 (a)液晶光波導(dǎo)橫截面示意圖；(b)液晶分子偏轉(zhuǎn)示意圖Fig.1 (a) Schematic diagram of the cross-section of liquid crystal optical waveguide;(b) deflection diagram of liquid crystal molecular

當(dāng)不存在外加電壓時(shí)，液晶層上下邊界的薄聚合物（內(nèi)表面摩擦方向沿x軸方向）使液晶分子沿x軸取向。當(dāng)氧化銦錫(Indium Tin Oxide,ITO)電極之間施加電壓后，液晶指向矢n?將繞z軸在xoy平面內(nèi)偏轉(zhuǎn)，如圖1(b)所示。根據(jù)Frank-Oseen 彈性連續(xù)體理論[16]和歐拉—拉格朗日變分理論[17]可得液晶指向矢的旋轉(zhuǎn)角φ (y)為：

式中，V為外加電壓，k11,k33為Frank 彈性常數(shù),為閾值電壓。其中，ε0為真空中的介電常數(shù)，?ε為液晶的介電各向異性。此外，φm為液晶分子的最大偏轉(zhuǎn)角。對(duì)于這種偏轉(zhuǎn)，波導(dǎo)坐標(biāo)系xyz下液晶的介電張量為[15]

式中，

式中n∥,n⊥分別表示平行和垂直液晶光軸的主軸折射率。設(shè)z軸正方向?yàn)楣鈧鬏敺较?，根?jù)麥克斯韋方程可得液晶中橫向磁場分量間的耦合本征方程組為[18]

式中，Hx，Hy分別表示x，y方向的本征磁場分量，β表示縱向傳播常數(shù)，k0≡2π/λ0，為真空中傳播常數(shù)，λ0為 真空中波長。因?yàn)榻殡姀埩?ε在y方向是漸變的，導(dǎo)致方程組(4)為變系數(shù)偏微分方程組，但在有限差分法中，每一個(gè)單元網(wǎng)格區(qū)域內(nèi)的介電張量都可以被認(rèn)為是均勻的[19]。因此，當(dāng)對(duì)方程組(4)進(jìn)行有限差分離散時(shí)，其在形式上能退化為文獻(xiàn)[19]中的常系數(shù)偏微分方程組，則根據(jù)有限差分法的網(wǎng)格填充規(guī)則[20]可得特征值方程為[19]

式中，M是考慮液晶漸變介電張量的條件下由本征模場的差分系數(shù)[19]填充的稀疏算符矩陣。此外，I為與M相同尺寸的單位陣，上標(biāo)T 表示轉(zhuǎn)置。根據(jù)耦合模理論(Coupled Mode Theory,CMT)[21]，橫向各向異性光波導(dǎo)在半拍長位置能夠?qū)崿F(xiàn)偏振旋轉(zhuǎn)，且PCL 定義為

式中，上標(biāo)e,o 分別對(duì)應(yīng)液晶光波導(dǎo)中的非尋常光波和尋常光波，下標(biāo)1 表示基模。聯(lián)立上述各式即可得到PCL 隨外加電壓變化的規(guī)律。

另一方面，對(duì)于傳播場，根據(jù)麥克斯韋方程組以及Douglas–Rachford 型分離[22]可得菲涅爾近似[20]下電場的傳輸方程為[23]

方程(7)中，neff為參考折射率，?z為z方向的傳輸步長，上標(biāo)l±τ 表示當(dāng)前傳輸位置z±τ?z，其中τ ∈{0,1/2,1} 。此外，Γx、Γy均為方程(7)中自定義的中間變量，電場振幅和橫向算符的表達(dá)式如下：

式中a,b表示x或者y，E表示電場。

盡管文獻(xiàn)[23]中已經(jīng)指出對(duì)方程(7)進(jìn)行橫向差分即可實(shí)現(xiàn)ADI-BPM 求解，但其研究對(duì)象并非為具有漸變介電張量的材料，而且也并未給出式(8)中各算符的差分表達(dá)式。因此，為了能夠求解液晶光波導(dǎo)中的傳播場，應(yīng)推導(dǎo)出式(8)中各橫向算符的顯式差分表達(dá)。根據(jù)有限差分法[20]，利用圖2 所示的差分網(wǎng)格可得方程(7)所對(duì)應(yīng)的ADI-BPM 迭代方程組為

圖2 有限差分法中使用的網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)示意圖。(p,q) 表示中心節(jié)點(diǎn)，其余節(jié)點(diǎn)為距離其最近的8 個(gè)節(jié)點(diǎn)。?x，?y分別表示x 和y 方向上的網(wǎng)格間距Fig.2 Diagram of mesh nodes used in the finite difference method.(p,q) represent the central node,and the other nodes are the 8 nodes closest to the central node.?x and ?y are the mesh spacing in thex andy direction,respectively

這里D,f,K,g均為含有差分系數(shù)和場強(qiáng)分量的表達(dá)式，在每次循環(huán)中它們都是已知量，A,R均表示與當(dāng)前節(jié)點(diǎn)(p,q)有關(guān)的差分系數(shù)，所有這些量的具體表達(dá)式見附錄。當(dāng)考慮所有網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)后，方程組(9)中每一個(gè)方程都可以改寫成一個(gè)具有三對(duì)角稀疏矩陣的特征方程，在初始光場的激勵(lì)下反復(fù)迭代方程(9) 即可求得傳播場分布。此外，在求解中采用了透明邊界條件[24]去壓制波導(dǎo)中輻射模在計(jì)算窗口邊界上引起的不必要反射。

當(dāng)求得傳播場后即可確定任意傳輸位置的PCE,根據(jù)PCE 定義[25]，有

3 仿真實(shí)驗(yàn)

以典型的向列相液晶E7 為例，其在室溫下的彈性常數(shù)為k11=11.1 pN,k33=17.1 pN以及介電各向異性 ?ε 為13.8[26]。真空中的波長 λ0被選擇為1.55 μm，根據(jù)擴(kuò)展柯西方程[27]可得室溫下E7 液晶的主軸折射率分別為n∥=1.697,n⊥=1.502 4。不同外加電壓下介電張量關(guān)于y的曲線如圖3 所示。

從圖3 可以清晰地看到，當(dāng)外加電壓超過閾值以后，ε為y方向漸變的介電張量，而且當(dāng)外加電壓超過某一臨界電壓值后，非對(duì)角項(xiàng) εxy（或 εyx）的漸變曲線不再為拱形，而是近似為M 字形。在本文當(dāng)前的例子中，這一臨界電壓值約為閾值電壓的1.26 倍，此時(shí)液晶分子的最大偏轉(zhuǎn)角φm為45°。

圖3 不同外加電壓下 εxx，εyy，εxy（或 εyx）隨y 的一維漸變曲線Fig.3 One-dimensional gradual change curves of εxx,εyy,εxy (or εyx) withy at different applied voltages

此外，波導(dǎo)包層折射率選擇為1.48，波導(dǎo)芯區(qū)的尺寸w,h均為5 μm，計(jì)算窗口尺寸為8 μm×8 μm，橫向網(wǎng)格尺寸 ?x,?y均等于0.02 μm。圖4顯示了液晶場致重新取向漸變和均勻兩種情況下，經(jīng)特征值方程得出的PCL 與外加電壓的關(guān)系曲線。應(yīng)當(dāng)說明的是，這兩種介電張量在后文所有的圖中分別對(duì)應(yīng)graded 和uniform標(biāo)簽。

圖4 PCL 分別在漸變和均勻兩種介電張量下隨外加電壓變化的曲線Fig.4 PCL varying with applied voltage under gradient and uniform dielectric tensors,respectively

從圖4 可見，通過兩種液晶介電張量得出的PCL 不僅均幾乎不隨外加電壓變化，而且它們之間的差異可以忽略。這是因?yàn)槿我馔饧与妷合滤幸壕Х肿拥墓廨S都始終位于xoy平面內(nèi)，導(dǎo)致近軸光波的折射率很難隨外加電壓改變[28]，從而使得PCL 也很難受外加電壓調(diào)控。因此，可以近似認(rèn)為PCL 與液晶層邊界的錨定能以及外加電壓均無關(guān)。這一點(diǎn)對(duì)于電控液晶光波導(dǎo)偏振旋轉(zhuǎn)器的實(shí)現(xiàn)至關(guān)重要，因?yàn)槠洳▽?dǎo)的長度通常是由PCL 決定的，而希望在改變外加電壓的同時(shí)不用重新調(diào)整波導(dǎo)的長度，也不用考慮錨定能對(duì)其產(chǎn)生的影響。特別地，從圖4 還可以看到這里PCL 約為4 μm，比典型的超短PCL 值[1]還小3.2 μm，這歸因于液晶的大雙折射率。

另一方面，盡管PCL 隨外加電壓的變化可以被忽略，但為了使波導(dǎo)終端傳播場的求解結(jié)果更加精確，采用上述PCL 的平均值作為波導(dǎo)輸出端位置，在當(dāng)前的例子中約等于4.02 μm。初始激勵(lì)光波選擇光斑半徑為2.1 μm的準(zhǔn)-TE 高斯光（y方向電場分量可被忽略），用以模擬窄線寬激光源[29-30]。將上述特征值方程在不同電壓下得出的，由非尋常光波激勵(lì)的基模有效折射率的平均值作為參考折射率neff，傳輸步長 ?z設(shè)為0.01 μm?？紤]到圖3 中非對(duì)角項(xiàng)的兩種截然不同的漸變趨勢，分別選擇閾值電壓的1.26 倍和2.1 倍作為外加電壓值。此外，為了與之前的傳輸場結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，在液晶介電張量為一維漸變和均勻的兩種情況下，分別對(duì)ADI-BPM 迭代方程組進(jìn)行了求解。在初始位置(z=0)以及輸出位置(z=處的傳播場分布如圖5 所示。

從圖5(e)～5(f) 可見，對(duì)于均勻介電張量，當(dāng)外加電壓為閾值電壓的1.26 倍時(shí)（φm為45°），x方向的電場分量Ex的能量幾乎完全被耦合到了Ey上。然而，從圖5(c)～5(d) 可見，對(duì)于一維漸變介電張量，Ex的能量卻并未完全耦合到Ey上，即便此時(shí)非對(duì)角項(xiàng)的峰值已經(jīng)增加到當(dāng)前液晶材料所能達(dá)到的極限(?ε/2)；此外，從圖5(g)～5(j)可見，當(dāng)外加電壓為2.1 倍閾值時(shí)（φm約為76°），反而是一維漸變介電張量（相比于均勻介電張量）從Ex耦合到Ey中的能量更多。為了更清晰地解釋產(chǎn)生這一現(xiàn)象的原因，將這兩個(gè)外加電壓下X截面（yoz平面）和Y截面（xoz平面）上的傳播場分布展示在圖6 和圖7。

圖5 初始和輸出位置處的電場分布。(a)～(b)初始激勵(lì)；(c)～(f) 外加電壓為1.26 倍閾值時(shí)輸出端的傳播場分布；(g)～(j) 外加電壓為2.1 倍閾值時(shí)輸出端的傳播場分布Fig.5 Electric field distribution at initial and output positions.(a)?(b) Initial excitation;(c)?(f) propagation field distribution at the output when the applied voltage is 1.26 times the threshold;(g)?(j) propagation field distribution at the output when the applied voltage is 2.1 times the threshold

圖6 外加電壓為1.26 倍閾值時(shí)X 截面(a)～(d)和Y 截面(e)～(h)的傳播場分布Fig.6 When the applied voltage is 1.26 times the threshold,the propagation field distribution ofX section (a)?(d) andY section (e)?(h)

圖7 外加電壓為2.1 倍閾值時(shí)X 截面(a)～(d)和Y 截面(e)～(h)的傳播場分布Fig.7 When the applied voltage is 2.1 times the threshold,the propagation field distribution ofX section(a)?(d) andY section (e)?(h)

從圖6(e)～6(h)可見，當(dāng)外加電壓為1.26 倍閾值時(shí)，無論介電張量是一維漸變還是均勻的，Y截面的場強(qiáng)都實(shí)現(xiàn)了能量從Ex到Ey的幾乎完全轉(zhuǎn)移，這一結(jié)果與文獻(xiàn)[5]是非常一致的，只是這里的轉(zhuǎn)換是TE 到TM。然而，從圖6(a)～6(d)可見，對(duì)于X截面來說，兩種介電張量得出的結(jié)果存在顯著的區(qū)別。與均勻介電張量下Ex的能量全部被耦合到Ey不同，一維漸變介電張量下只有波導(dǎo)最中心區(qū)域才實(shí)現(xiàn)了Ex到Ey的能量強(qiáng)耦合，而這一截面正是液晶分子指向矢漸變的平面。參照?qǐng)D3 可見，由于液晶分子是在y方向漸變的，除了波導(dǎo)最中心區(qū)域的部分液晶分子能具有當(dāng)前液晶材料決定的最大非對(duì)角項(xiàng)外，其余液晶分子的非對(duì)角項(xiàng)都非常小，尤其是靠近液晶層上下邊界的區(qū)域。根據(jù)CMT[21]，非對(duì)角項(xiàng)越大場分量間能量耦合效應(yīng)就越強(qiáng)，因此，在1.26 倍閾值電壓下，由于液晶分子的漸變特性，在波導(dǎo)芯區(qū)兩邊（靠近上下包層）的液晶分子的耦合能力非常弱，從而導(dǎo)致在PCL 位置仍有很大一部分剩余的Ex，更直觀的結(jié)果見圖5(c)。

對(duì)于電壓為2.1 倍閾值時(shí)，從圖3 可見，由于此時(shí)非對(duì)角項(xiàng)對(duì)y的漸變趨勢不再是拱形，而是M 字形，因此，其能量耦合最強(qiáng)的位置對(duì)稱地位于波導(dǎo)最中心區(qū)域的兩邊，如圖7(a)所示，更直觀的結(jié)果見圖5(g)。此外，從圖3 還可以看到，當(dāng)前電壓下漸變介電張量的非對(duì)角項(xiàng)在液晶層的大范圍內(nèi)都比均勻情況下的非對(duì)角項(xiàng)（y=0 位置的值）更大，因此，一維漸變介電張量相較于均勻介電張量具有更強(qiáng)的耦合能力，如圖7 (a)～7(d)所示。

為了更直觀地看到液晶指向矢的漸變特性對(duì)偏振旋轉(zhuǎn)器性能的影響，我們分別求解了漸變和均勻兩種介電張量下，在波導(dǎo)輸出端的PCE隨外加電壓變化的曲線。此外，為了與傳統(tǒng)無源偏振旋轉(zhuǎn)器的PCE 進(jìn)行比較，采用通過光軸傾斜角確定的PCE 公式[31]（忽略波導(dǎo)長度的切割誤差）

圖8 展示了η1,η2隨外加電壓變化的關(guān)系。

圖8 PCE 隨外加電壓變化的曲線Fig.8 PCE varying with concerning applied voltage

從圖8 明顯可見，在忽視錨定效應(yīng)的理想情況下[12]（即均勻介電張量），液晶光波導(dǎo)也能像無源偏振旋轉(zhuǎn)器[1,31]那樣可以實(shí)現(xiàn)接近100%的最大PCE，并且只需要幾個(gè)伏特的電壓就可以做到。在這里V=1.26Vc約為1.2 伏，考慮到包層具有一定的厚度，因此在實(shí)際中的電壓會(huì)比這個(gè)值更大。然而，由于錨定能的作用導(dǎo)致液晶分子的偏轉(zhuǎn)是漸變的，使得強(qiáng)錨定下的液晶光波導(dǎo)僅能實(shí)現(xiàn)最高約為78%的最大PCE，此時(shí)的外加電壓約為1.5 倍閾值（在當(dāng)前的例子中，約等于1.42伏）。此外，隨著外加電壓的繼續(xù)增加，相較于均勻介電張量，漸變介電張量情況下的PCE 始終更大，即耦合能力更強(qiáng)，原因與上述分析的2.1 倍閾值電壓是一致的。

進(jìn)一步地，我們還可以看到漸變介電張量（相較于均勻介電張量）對(duì)應(yīng)的PCE 隨外加電壓增加而下降得更加緩慢，而且不會(huì)持續(xù)衰減為零，即液晶光波導(dǎo)始終存在場分量間的耦合能力。這是因?yàn)榻殡姀埩糠菍?duì)角項(xiàng)的M 字形分布導(dǎo)致其始終存在兩個(gè)關(guān)于波導(dǎo)中心對(duì)稱的峰值?；谶@些結(jié)果，我們可以得出液晶分子的漸變特性對(duì)其PCE 有極大的影響。

4 結(jié)論

本文在向列相液晶場致重新取向漸變的條件下，根據(jù)液晶磁場耦合方程組得出的本征值方程構(gòu)建了PCL 與外加電壓的對(duì)應(yīng)關(guān)系，然后通過對(duì)電場傳輸方程進(jìn)行橫向有限差分離散得到了能求解液晶光波導(dǎo)中傳播場的ADI-BPM 迭代方程組的顯式表達(dá)，進(jìn)而準(zhǔn)確地分析了液晶光波導(dǎo)的PCL 和PCE。結(jié)果顯示，液晶指向矢的漸變對(duì)PCL 的影響可以忽略，但其得出的最大PCE 相較于液晶重新取向均勻的求解結(jié)果低大約20%。因此，在基于液晶光波導(dǎo)的電控偏振旋轉(zhuǎn)器的實(shí)際制備中，應(yīng)當(dāng)注意取向?qū)拥念A(yù)處理（例如，采用雙邊對(duì)稱弱錨定從而提高PCE），因?yàn)殄^定能的強(qiáng)弱直接影響到其器件的性能。

盡管如此，基于液晶光波導(dǎo)的電控偏振旋轉(zhuǎn)器仍然具有非常大的應(yīng)用潛力，因?yàn)閺奈覀兊姆抡鎸?shí)驗(yàn)中可見液晶光波導(dǎo)只需要4 μm 的PCL 以及幾個(gè)伏特的低電壓即可實(shí)現(xiàn)最大PCE，這是傳統(tǒng)偏振旋轉(zhuǎn)器所不具有的特性。

附錄：

場量以及差分系數(shù)表達(dá)式如下：

以及R1(p,q)—R15(p,q)，S1(p,q)—S7(p,q)可通 過對(duì)式(14)進(jìn)行如下轉(zhuǎn)換得到：