基于降維算法從少量測量數(shù)據(jù)中重構溫度場

羅 蕓，錢 進，王一桂，朱道興

（1貴州大學 電氣工程學院，貴陽 550025；2中國電建集團貴州工程有限公司，貴陽 550025）

0 引 言

溫度分布信息對鍋爐、大氣層、海洋等的監(jiān)測都非常重要，其獲取方法大概可以分為2種：計算方法和測量方法。在實際應用中，2種方法都有其局限性。計算方法是將數(shù)學問題離散化形式表示，但由于計算方法運算過程復雜且對計算資源要求較高，溫度信息再現(xiàn)實時性差。測量方法受測量環(huán)境、被測物結(jié)構、測量設備安裝以及工程造價等因素的影響，難以獲得全面溫度分布信息。

為了對適合工業(yè)現(xiàn)場溫度分布進行快速、準確的重建，將降維算法引入溫度分布重建，綜合計算方法和測量方法的優(yōu)點，由計算方法提供溫度分布重建的樣本數(shù)據(jù)集，測量方法得到少量溫度傳感器數(shù)據(jù)，使用數(shù)據(jù)降維算法提取樣本數(shù)據(jù)集中溫度分布特征，結(jié)合有限溫度測量數(shù)據(jù)對溫度分布實現(xiàn)實時重建。

利用本征正交分解（POD）降維方法進行溫度分布重建以及分析，獲得良好的效果，也是近些年來的研究熱點。POD算法是數(shù)據(jù)驅(qū)動的維度降低算法，從大量的已知數(shù)據(jù)中提取元數(shù)據(jù)的主要特征，得到原數(shù)據(jù)的低維表達。Woojin等人采用本征正交分解方法提取低維基向量，重構了500 MW切向燃燒煤粉鍋爐溫度場，重構效果良好。在POD方法的基礎上Sirovich等人首次提出了Gappy POD方法，該方法利用POD基結(jié)合部分測量數(shù)據(jù)重建缺失數(shù)據(jù)進行補全重構。與常用的基于POD的降維方法相比，Gappy POD的顯著優(yōu)點之一是其系數(shù)矢量是根據(jù)部分測量數(shù)據(jù)求解的，不需要了解測量對象物理過程的詳細信息。Lei等人基于Gappy POD方法，提出數(shù)值模擬信息和測量信息相結(jié)合，從局部測量數(shù)據(jù)中重建穩(wěn)定溫度場，通過數(shù)值仿真驗證了其可行性和有效性。陳敏鑫等人、及孫單勛提出了一種將CFD信息融合至Gappy POD算法中實現(xiàn)了對物理場的實時重建方法，該方法重建范圍大，準確性高，為未來物理場預測重建提供了一種新的思路。

綜上所述，提出基于Gappy POD算法，結(jié)合部分測量數(shù)據(jù)對溫度場進行準確重建，具體重建流程如圖1所示，并分析研究Gappy POD算法進行重建時，POD基個數(shù)、傳感器數(shù)量和測量位置等因素對溫度場重建的影響。

圖1 重建流程Fig.1 Reconstruction process

1 本征正交分解方法

1.1 標準POD方法

標準POD方法主要思想是將原始溫度場分解為基函數(shù)（POD基）和基系數(shù)的線性組合。應用POD算法，原始溫度場組成的快照矩陣的大部分信息由少數(shù)POD基近似表示，進而實現(xiàn)了降維。

將多組溫度場數(shù)據(jù)構成快照矩陣合集（x，t）（1，），是空間坐標，是溫度場標量編號。其樣本矩陣形式可表示為：

計算快照矩陣各個節(jié)點的平均值，即：

由此得到溫度場的脈動量矩陣，即：

其中，為特征值，為特征向量。

通過式（6）、式（7）可以計算各階POD基Φ（）和其對應的模態(tài)系數(shù)a（），具體公式如下：

POD基表示捕獲溫度場的主要特征，前個POD模態(tài)所捕獲的能量占全階模態(tài)的能量為：

快照矩陣中任意溫度場可以由溫度場的平均值和一組基模態(tài)和線性組合來重構，即：

1.2 Gappy POD方法

為了使值最小，對上式中的b求偏導，令偏導等于0得到誤差最小值。研究推得的數(shù)學公式如下：

整理得：

進一步地，可以計算出：

為了后文的論述，定義均方根誤差為重建誤差：

2 溫度場重建仿真研究

2.1 二維溫度場模型仿真

為了對待測對象進行二維溫度場仿真研究，采用雙峰偏斜溫度場模型，運用Matlab軟件進行仿真實驗。

雙峰偏斜數(shù)學模型：

其中，（，）表示雙峰偏置溫度分布模型坐標點(，)處溫度值（K）；表示橫坐標（m）；表示縱坐標（m）；、表示邊界條件。

使用式（18）在計算區(qū)域內(nèi)計算溫度值，計算區(qū)域為4×4 m，采樣步長為0.1 m，采集1 681個溫度值，形成溫度分布數(shù)據(jù)。計算不同邊界條件下的溫度分布數(shù)據(jù)，構建樣本數(shù)據(jù)集以及測試集。設定雙峰偏斜溫度分布模型樣本數(shù)據(jù)集以及測試集邊界條件見表1、表2。

表1 樣本數(shù)據(jù)集邊界條件Tab.1 Boundary conditions of sample data sets

表2 測試數(shù)據(jù)集邊界條件Tab.2 Boundary conditions of test data sets

根據(jù)表1、表2給出的邊界條件，共有30組樣本數(shù)據(jù)和5組測試數(shù)據(jù)，應用公式（15），計算溫度分布數(shù)據(jù)，采樣形成維數(shù)為1 681×30的樣本數(shù)據(jù)集和維數(shù)為1 681×5的測試數(shù)據(jù)集。

2.2 溫度場重建結(jié)果

在本節(jié)中，使用Gappy POD方法結(jié)合部分溫度測量數(shù)據(jù)重建溫度場。將樣本數(shù)據(jù)集進行特征分解，按照公式（8）確定POD基的個數(shù)，構成轉(zhuǎn)化矩陣，選擇幾個坐標點作為實際溫度測點，坐標點的溫度數(shù)據(jù)作為溫度測量值，結(jié)合轉(zhuǎn)化矩陣對測試數(shù)據(jù)集進行溫度場重建。

首先對30個不同工況的樣本數(shù)據(jù)集進行POD分析，得到用于重構溫度場的POD基。不同POD基所占能量曲線和前兩階POD模態(tài)分別如圖2、圖3所示。從圖中可以看出前兩階POD模態(tài)所占能量幾乎是總能量的100%，這意味著高維數(shù)據(jù)可以用2個空間模態(tài)來準確表達，高維數(shù)據(jù)可以得到顯著壓縮。

圖2 各階POD基所占能量Fig.2 The energy of each order POD base

圖3 前兩階POD模態(tài)Fig.3 The first two order POD

其次，對表2中的5組測試工況選擇前兩階POD模態(tài)、10個溫度測點和相同測點位置進行溫度分布重建。重建結(jié)果如圖4所示，圖4（a）～（e）展示了測試工況原始溫度場，圖4（f）～（j）給出了重建溫度場結(jié)果。按照公式（17）計算重建誤差如圖5所示。

圖5 測試工況重建誤差Fig.5 Test condition reconstruction errors

由圖4可以看出，重建溫度分布與原始溫度分布大致保持一致，重建效果良好。

圖4 重建結(jié)果Fig.4 Reconstruction results

圖5 中，樣本工況范圍內(nèi)的測試工況1～3的重建誤差小于在樣本范圍外的測試工況4～5的重建誤差，但其溫度分布重建效果同樣良好，全部測試工況重建誤差均在1×10之下；測試工況4離樣本工況范圍近，測試工況5離樣本工況范圍遠，測試工況5的重建誤差大于測試工況4的重建誤差。因此結(jié)合Gappy POD和部分測量數(shù)據(jù)的溫度分布重建算法有著良好的適用性和準確性。

3 溫度場重建結(jié)果誤差分析

針對溫度場的重建，使用控制變量法來分析POD基個數(shù)、傳感器數(shù)量（測點數(shù)量）、傳感器放置位置（測點位置）等因素對重建結(jié)果造成的影響。為了消除實驗帶來的隨機誤差，所有結(jié)果均進行了多次，做圖數(shù)據(jù)為多次實驗的平均值。

3.1 POD基數(shù)量對重建結(jié)果的影響

圖6中展示了測試工況1的重建誤差隨著POD基數(shù)量的變化情況。利用10、50和70個實際測量數(shù)據(jù)，在固定的測量數(shù)據(jù)情況下，隨機選取不同位置的測點進行溫度重建計算，做圖數(shù)據(jù)為多次計算的平均值，消除測點位置對結(jié)果產(chǎn)生的影響。從圖6中可以看出，使用前兩階POD基進行重構，比使用前一階POD基進行重構，重構誤差大大減小，重構誤差隨著POD基數(shù)量的增加，先減小、而后趨于穩(wěn)定。3種不同的測點數(shù)據(jù)下，重建誤差隨POD基數(shù)量的變化保持相同的趨勢。

圖6 利用10、50和70個測量數(shù)據(jù)，重建誤差隨POD基數(shù)量變化曲線Fig.6 The reconstruction errors curve with the number of POD bases by using 10，50 and 70 measurements

3.2 測點位置對重建結(jié)果的影響

圖7為3和5個傳感器在隨機位置點的重構誤差。

從圖7中可以看出，由于測量數(shù)據(jù)的測點位置是隨機的，即使同樣數(shù)量的測點數(shù)據(jù)，測點位置不同，重建誤差變化較大。

圖7 3和5個傳感器數(shù)量在隨機位置點下的重構誤差Fig.7 Reconstruction errors of 3 and 5 sensors at random position points

圖8為利用2個POD基在不同傳感器數(shù)量和不同隨機位置下重構的誤差，選取不同數(shù)量的測量數(shù)據(jù)，隨機選擇測點位置，進行5組實驗，得到5組計算結(jié)果。由圖8可以看出，不同隨機位置測點的重建誤差均是隨傳感器測量數(shù)據(jù)數(shù)量的增加由降低到趨于穩(wěn)定，但測點位置不同，其重建誤差也不相同。

圖8 不同傳感器數(shù)量和不同隨機位置的重建誤差Fig.8 Reconstruction errors of different random positions with different number of sensors

由此可見傳感器的放置位置十分重要，不同的放置位置對其在溫度分布重建算法中影響程度也不同。

3.3 測點數(shù)量對重建結(jié)果的影響

在傳統(tǒng)的溫度預測和重構中，預測和重構結(jié)果準確度高需要大量的傳感器測量數(shù)據(jù)做支撐，然而，大量傳感器使用卻需要大量資金、人力和物力投入。因此，盡量少的傳感器數(shù)量使用也是衡量預測重構模型的標準之一。由上文可知測點位置對重建結(jié)果的影響，為消除此影響，對此進行多次計算取平均值。

利用一階、二階和三階POD基進行重建，重構誤差如圖9所示。由圖9可以看出，一階POD基重建誤差隨傳感器數(shù)量增加雖呈下降趨勢，但過程跌宕起伏；二階和三階POD基重建誤差隨傳感器數(shù)量增加而減少、再趨于穩(wěn)定。一階與二、三階趨勢不相同，這是因為一階POD基所占能量較低，對數(shù)據(jù)反應能力較弱，這與前文中提出的結(jié)論是一致的。

圖9 不同POD基在不同傳感器下的重構誤差Fig.9 Reconstruction errors under different sensors with different POD bases

由圖8和圖9可知，重建誤差均在測點數(shù)量為5后趨于穩(wěn)定，由此可知傳感器最佳數(shù)量為5個。

4 結(jié)束語

（1）針對有限的已知測量數(shù)據(jù)的溫度場重構，本文結(jié)合Gappy POD方法，利用少量POD基能夠快速準確地重構溫度場，為了驗證算法的可行性和適用性，重建5組測試工況，重建誤差均在精度要求范圍內(nèi)，對于其邊界條件不在快照矩陣范圍內(nèi)的測試工況4、5的重建，仍有令人滿意的重建結(jié)果。

（2）重構誤差隨POD基數(shù)量的增加先減少、而后趨于穩(wěn)定，少量的POD基就能重構溫度場，對后續(xù)低階模型有一定指導意義。

（3）同樣數(shù)量的傳感器，放置位置不同，重建誤差變化較大，由此可見測點位置所攜帶信息重要程度在重建算法中也各有不同，因此測點位置的優(yōu)化布置尤為重要，后期會對最佳測點位置方式進行研究。

（4）重建誤差隨傳感器數(shù)量的增加先減少、再趨于穩(wěn)定，根據(jù)成本和計算準確性考慮，傳感器布置最佳數(shù)量為5個，顯著地減少測量傳感器的數(shù)量，可降低溫度分布測量的復雜性與測量成本。